扭转§45圆杆在扭转时的变形刚度计算课件

1、第四章 扭转4.5 圆杆在扭转时的变形、刚度计算4.1 概述4.2 传动轴的外力偶矩、扭矩及扭矩图4.3 等直圆杆在扭转时的应力、强度条件4.6 简单静不定轴4.4 圆杆在扭转时的强度条件4.1 扭转的概念一、扭转的概念及实例汽车的转向操纵杆电动机传动轴扭转工程上的轴是承受扭转变形的典型构件，如示的攻丝丝锥，桥式起重机的传动轴以及齿轮轴等。 机器的传动轴、水轮发电机的主轴、石油钻机中的钻杆、桥梁及厂房等空间结构中的某些构件等，扭转是其主要变形之一。ABABjgmm扭转的变形特征：杆件的任意横截面都发生绕杆件轴线 的相对转动。扭转的受力特征 ：在杆件的两端作用两个大小相等、 转向相反、且作用平面

2、垂直于杆件轴线的力偶。二、扭转受力计算简图4-2 传动轴的外力偶矩 扭矩和扭矩图一、 传动轴的外力偶矩的计算转速：n(转/分)输入功率：P(kW)T图示的传动机构，通常外力偶矩m不是直接给出的，而是通过轴所传递的功率P 和转速n计算得到的。一传动轴，转速为 n转/min ，轴传递的功率由主动轮输入，然后由从动轮输出。若通过某一轮所传递的功率为 P千瓦（KW)，则作用在该轮上的外力偶矩 m 可按以下方法求得。从动轮主动轮从动轮图 3-5n转速：n(转/分)输入功率：P(kW)T若功率 P 采用公制马力（PS）表示，则外力偶矩为轴在m作用下匀速转过角度，则功：1PS=735.5Nm/s , 1HP

3、=745.7Nm/s , 1kW=1.36PSmnmnA(a)二、扭矩 扭矩图TmIIBnxnmII右手定则：右手四指内屈，与扭矩转向相同，则拇指的指向表示扭矩矢的方向，若扭矩矢方向与截面外法线相同，规定扭矩为正，反之为负。扭矩符号规定：mITImIITmITImIIT用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的扭矩，从而绘制出表示扭矩与截面位置关系的图线，称为扭矩图。 2 扭矩图 图示圆轴中，各轮上的转矩分别为mA4kNm， mB10kNm, mC6kN m，试求11截面和22截面上的扭矩，并画扭矩图。1122轮轴轴承 例题解：分2段研究AB段：T1+mA=0T1

4、=-4kNm1122T1BC段：T2-T2+mC=0T2=6kNm1122轮轴轴承6kNm4kNmTT1=-4kNmT2=6kNm一圆轴如图所示，已知其转速为n300转分，主动轮A输入的功率为NA400kW，三个从动轮B、C和D输出的功率分别为NBNC120kW，ND160kW。试画出此圆轴的扭距图。112233轴的转向 例题n300转分，NA400kW，NBNC120kW，ND160kW。1122333.82kNm7.64kNm5.10kNm解:1.计算外力偶矩2. 计算各段扭矩、画扭矩图T最大扭矩在 CA段内。meme4-3 圆轴扭转横截面上的应力一、扭转实验1.实验前：在圆筒的表面画上等

5、间距的纵向线和圆周线施加外力偶2.实验后：圆周线不变；纵向线变成斜直线。横截面保持为形状，大小均无改变的平面，相邻两横截面绕圆筒轴线发生相对转动。平面假定meme变形几何平面假定平面假设成立相邻截面绕轴线作相对转动横截面上没有正应力，只有剪应力, 各点的剪（切）应力的方向必与圆周线相切(垂直于半径)。结论dxTTdx 二、横截面上的应力1. 变形几何关系：gmmdx 扭转角沿长度方向变化率。剪切虎克定律： 2. 物理关系：剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（ p)，剪应力与剪应变成正比关系。Ttmaxtmax虎克定律：剪应力方向垂直于半径3. 静力学关系：TOdA令OrdAdA截

6、面的极惯性矩圆轴扭转任一点剪应力计算公式。公式讨论： 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面 直杆。 式中：T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。 该点到圆心的距离。 Ip极惯性矩，纯几何量，无物理意义。抗扭截面系数 三、最大切应力公式对于实心圆截面：DdO对于空心圆截面：dDOd应力分布TtmaxtmaxtmaxtmaxT（实心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻， 结构轻便，应用广泛。应力公式1)横截面上任意点：2)横截面边缘点：其中：d/2OT抗扭截面模量D/2OTd/2空心圆实心圆四、 薄壁圆筒的扭转 薄壁圆筒：壁厚（r0：为平均半径）

7、一、实验：平面假设成立相邻截面绕轴线作相对转动横截面上没有正应力，只有剪应力,剪应力在截面上均匀分布，各点的剪（切）应力的方向必与圆周线相切(垂直于半径)。扭转实验后结论l于是由静力关系，得到得到在强度相同的条件下，用d/D=0.5的空心圆轴取代实心圆轴，可节省材料的百分比为多少?解：设实心轴的直径为 d1 ，由得：0.80.81.1920.80.512 例题由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的切变模量分别为G1和G2，且G1=2G2。圆轴尺寸如图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关于横截面上的切应力分布，有图中（A）、（B）、（C）、（D）所示的四种结论，请判断哪一种是正确的。

8、(A)(B)(C)(D) 思考题解：圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动，这表明二者形成一个整体，同时产生扭转变形。根据平面假定，二者组成的组合截面，在轴受扭后依然保持平面，即其直径保持为直线，但要相当于原来的位置转过一角度。 因此，在里、外层交界处二者具有相同的切应变。由于内层（实心轴）材料的剪切弹性模量大于外层（圆环截面）的剪切弹性模量（G1=2G2），所以内层在二者交界处的切应力一定大于外层在二者交界处的切应力。据此，答案（A）和（B）都是不正确的。 在答案（D）中，外层在二者交界处的切应力等于零，这也是不正确的，因为外层在二者交界处的切应变不为零，根据剪切胡克定律，切应力也不可能等于零。

9、 根据以上分析，正确答案是（C）一、扭转失效预扭转极限应力低碳钢试件：沿横截面断开。铸铁试件：沿与轴线约成45的螺旋线断开。4-4 圆轴扭转强度条件预合理设计应力二、圆轴扭转时的强度计算强度条件：对于等截面圆轴：( 称为许用剪应力。)强度计算三方面： 校核强度： 设计截面尺寸： 计算许可载荷：某汽车主传动轴钢管外径D=76mm，壁厚t=2.5mm，传递扭矩T=1.98kNm，t=100MPa，试校核轴的强度。 解：计算截面参数： 由强度条件：故轴的强度满足要求。 例题故轴的强度满足要求。 同样强度下，空心轴使用材料仅为实心轴的三分之一，故空心轴较实心轴合理。 若将空心轴改成实心轴，仍使，则由上

10、式解出：d=46.9mm。空心轴与实心轴的截面面积比(重量比)为： 功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图，许用剪应力 =30M Pa, 试校核其强度。Tm解：求扭矩及扭矩图计算并校核剪应力强度此轴满足强度要求。D3 =135D2=75D1=70ABCmmx 例题已知：P7.5kW,n=100r/min,许用切应力40MPa, 空心圆轴的内外径之比 = 0.5。求: 实心轴的直径d1和空心轴的外径D2。 例题 一传动轴如图所示，其转速 n = 300r/min ，主动轮输入的功率为有 P1 = 500 kW 。若不计轴承摩擦所耗的功率，三个从动轮输出的功率分别为 P2 = 1

11、50 kW 、P3 = 150 kW及P4 = 200 kW。试做轴力图。(a)ABCDP1P2P3P4n 例题解:1.计算外力偶矩AABCD(b)+4.789.566.37(d)（同前面例题）实心等截面直轴，d=110mm，(1) 试求截面上距轴线40mm处的点的剪应力。(2) 若已知=40MPa，试校核轴的强度。解：内力分析由扭矩图得知T2=9.56kN.m危险横截面在AC段，Tmax=9.56kN.m应力计算 例题 强度计算若AD轮互换位置，试校核轴的强度。解：互调AD轮位置后，扭矩图如图所示: 强度不符合要求。Tmax=15.9 kN.m 例题若BD轴改用内外径之比为9:10的空心轴，

12、在保证同样强度条件下，试确定空心轴的内外径d与D；并计算空心与实心轴的材料消耗之比。解：由得d=0.9D=141mm 例题因不知道壁厚，所以不知道是不是薄壁圆筒。分别按薄壁圆筒和空心圆轴设计薄壁圆筒设计Dd设平均半径 R0=(d+)/2空心圆轴设计当R0/10时，即可认为是薄壁圆筒一内径d=100mm的空心圆轴如图，已知圆轴受扭矩T=5kNm，许用切应力=80MPa，试确定空心圆轴的壁厚。 例题圆柱形密圈螺旋弹簧的计算1. 应力的计算=+tQtTQT近似值：PQT2. 弹簧丝的强度条件:精确值：（修正公式，考虑弹簧曲率及剪力的影响）其中：称为弹簧指数。称为曲度系数。PP圆柱形密圈螺旋弹簧的平均

13、直径为：D=125mm，簧丝直 径为：d =18mm，受拉力 P=500N 的作用，试求最大剪应力的近似值和精确值；若 G =82GPa，欲使弹簧变形等于 6mm， 问：弹簧至少应有几圈？解：最大剪应力的近似值： 例题最大剪应力的精确值：弹簧圈数：（圈）一、扭转时的变形相对扭转角：GIp抗扭刚度，表示杆抵抗扭转变形能力的强弱。4-5圆轴扭转变形 刚度条件单位长度的扭转角：或图 所示等直圆杆，AB 两截面的相对扭转角为： 图所示阶梯圆杆，如各段材料也不同，AB 两截面的相对扭转角为： 从中取 dx 段，dx 段两相邻截面的扭转角为： 图所示等直圆杆受分布扭矩 t 作用，t 的单位为 。AB 截面

14、相对扭转角为： 从中取 dx 段，该段相邻两截面的扭转角为： AB 截面相对扭转角为： 式中：图所示为变截面圆杆，A、B 两端直径分别为 d1、d2 。 二、刚度条件取值可根据有关设计标淮或规范确定。或 称为许用单位扭转角。刚度计算的三方面： 校核刚度： 设计截面尺寸： 计算许可载荷：有时，还可依据此条件进行选材。下列框图表示了求解过程： 图示阶梯轴。外力偶矩M10.8KNm， M22.3KNm， M31.5KNm，AB段的直径d14cm，BC段的直径d27cm。已知材料的剪切弹性模量G80GPa，试计算AB和AC。0.8kNm1.5kNm0.8m1.0mABC 例题 图示一空心传动轴，轮1为

15、主动轮，力偶矩M19kNm，轮2、轮3、轮4为从动轮,力偶矩分别为M24kNm，M33.5kNm，M41.5kNm。已知空心轴内外径之比d/D1/2，试设计此轴的外径D，并求出全轴两端的相对扭转角24。G80GPa，60MPa。500500500 例题M19kNm，M24kNm，M33.5kNm，M41.5kNm。d/D1/2，G80GPa，60MPa。5kN1.5kN4kN500500500已知钻探机杆的外径D=60mm，内径d=50mm，功率P=7.35kW，转速n=180r/min，钻杆入土深度L=40m，G=80GPa，=40MPa。设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的，试求：（1）单

16、位长度上土壤对钻杆的阻力矩M；（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核；（3）求A、B两截面相对扭转角。 例题D=60mm，内径d=50mm，P=7.35kW，n=180r/min，L=40m，G=80GPa，=40MPa。单位长度阻力矩图示圆截面轴AC，承受扭力矩MA， MB与MC 作用，试计算该轴的总扭转角AC(即截面C对截面A的相对转角)，并校核轴的刚度。 已知MA180Nm， MB320 N m， MC140Nm，I3.0105mm4，l=2m，G80GPa，0.50m。解： 1扭转变形分析利用截面法，得AB段BC段的扭矩分别为：T1180 Nm， T2-140 Nm设其扭转角分别为AB和

17、BC，则： 例题 各段轴的扭转角的转向，由相应扭矩的转向而定。 由此得轴AC的总扭转角为 2 刚度校核 轴AC为等截面轴，而AB段的扭矩最大，所以，应校核该段轴的扭转刚度。AB段的扭转角变化率为：可见，该轴的扭转刚度符合要求。某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率N1 = 500 马力， 输出功率分别 N2 = 200马力及 N3 = 300马力，已知：G=80GPa ， =70M Pa， =1/m ，试确定： AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2 ？ 若全轴选同一直径，应为多少？ 主动轮与从动轮如何安排合理？解：图示状态下,扭矩如 图，由强度条件得： 500400N

18、1N3N2ACBTx7.024 4.21(kNm) 例题由刚度条件得：500400N1N3N2ACBTx7.0244.21(kNm) 综上：全轴选同一直径时 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应 该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径才 为 75mm。Tx 4.21(kNm)2.814传动轴上有三个齿轮，齿轮2为主动轮，齿轮1和齿轮3消耗的功率分别为和。若轴的转速为，材料为45钢，。根据强度确定轴的直径。1230.3m0.4mxT155N.m39.3N.m解: (1) 计算力偶距 (2)根据强度条件计算直径从扭矩图上可以看出，齿轮2与3 间的扭矩绝对值最大。 例题

19、若上题规定 且已知 按刚度条件确定轴的直径，并求齿轮3对齿轮1的转角。解： 1230.3m0.4mxT155N.m39.3N.m 例题 长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为 =0.8 ，G=80GPa ，许用剪应力 =30MPa，试设计杆的外径；若=2/m ，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。解：设计杆的外径 例题40NmxT代入数值得：D 0.0226m。 由扭转刚度条件校核刚度40NmxT右端面转角为： 一内径为d、外径为D=2d的空心圆管与一直径为d的实心圆杆结合成一组合圆轴，共同承受转矩Me。圆管与圆杆的材料不同，其切变模量分别为G1和G

20、2，且G1=G2/2，假设两杆扭转变形时无相对转动，且均处于线弹性范围。试问两杆横截面上的最大切应力之比1/2为多大？并画出沿半径方向的切应力变化规律。 例题因两杆扭转变形时无相对转动三、 提高圆轴扭转强度和刚度的措施为了使 与 下降，有两条途径。使Tmax降低。(通过调整主动轮的位置)提高Wt 和 IP。(b)采用空心轴。(a)加大直径；若d2d，则 Wt 8Wt IP 16IP4-6 扭转超静定问题解决扭转超静定问题的方法步骤：平衡方程；几何方程变形协调方程；补充方程：由几何方程和物理方程得；物理方程；解由平衡方程和补充方程组成的方程组。长为L的等截面圆轴AB，两端固定；外力偶M0作用于C

21、处使轴发生扭转变形，已知轴的抗扭刚度GIP，试求轴在C截面处的扭转角。解：取AB为研究对象1) 静力平衡方程Mx=0:MA+MB-M0=0 2) 变形协调方程CC 例题3) 物理关系方程联解方程与，得补充方程：MA a=MB b 联解方程与 ，得：C长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为 =0.8 ，外径 D=0.0226m ，G=80GPa，试求固端反力偶。解：杆的受力图如图示， 这是一次超静定问题。 平衡方程为： 例题几何方程变形协调方程 综合物理方程与几何方程，得补充方程： 由平衡方程和补充方程得：另:此题可由对称性直接求得结果。4-7 非圆

22、截面等直杆在自由扭转时的应力和变形非圆截面等直杆：平面假设不成立。即各截面发生翘曲不保持平面。因此，由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公式不适用，须由弹性力学方法求解。一、自由扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲不受限制，任意两相 邻截面的翘曲程度完全相同。横截面上无正应力二、约束扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲受到限制，相邻截面 的翘曲程度不同。横截面上有正应力，但很小。 自由扭转时，主要结果如下： (1) 横截面周边各点处剪应力方向与周边相切，角点处剪应力为零。(2) 剪应力在截面上非线性分布。 (3) 最大剪应力发生在矩形长边中点处。三、矩形截面杆的扭转剪应力分布如图：（角点、形心、长短边中点）hb