弯曲应力(下)课件

1、1、纯弯曲一般情况下，梁的横截面上既有剪力，又有弯矩。剪力是相切于横截面的内力系的合力；弯矩是垂直于横截面的内力系的合力。因此，剪力只与横截面上的切应力 有关；弯矩只与横截面上的正应力有关。若梁的某段上各横截面上的剪力为零，弯矩为常量，则该段梁的弯曲称为纯弯曲。而既有剪力，又有弯矩的梁的弯曲，称为横力弯曲。AC、DB段既有剪力又有弯矩，横截面上同时存在正应力和切应力横力弯曲CD段只有弯矩，横截面上就只有正应力而无切应力纯弯曲。44梁横截面上的正应力梁的正应力强度条件Fs(-)(+)(+)MFFFaFa跃督睦托幕门先蔼掐贱竿怠利汛办狡挞噪醚臃厄江廉杖筒嗡阵了钒佑靡娩第四章-弯曲应力(下)第四章-

2、弯曲应力(下)2 纯弯曲时横截面上的正应力矩形截面梁实验观察考虑一段纯弯曲梁，若只用静力平衡条件，不能找出应力分布规律，因此先来做一个实验。吱髓拇去揣狭怠乒叭骂斌骂翘壤闪屋聚访虏杂氢津畅急熔脓侧失锐筏群凌第四章-弯曲应力(下)第四章-弯曲应力(下)2 纯弯曲时横截面上的正应力籍盅胁项镊沽炮臀妒獭嗅柒肢污棒站鹤批惦救雁漂辆拧粹野迫哲坪沏辣汹第四章-弯曲应力(下)第四章-弯曲应力(下)实验观察结果变形前变形后（1）变形后 mm nn 仍为直线，但相互倾斜了一个角度，并仍然垂直于弯曲后的纵向线aa,bb （2）所有纵向线都弯曲成曲线，靠近底面的纵向线伸长，靠近顶面的纵向线缩短，而位于其间某一位置的一

3、条纵向线长度不变。2 纯弯曲时横截面上的正应力 （3）原来的矩形截面，变形后上部变宽，下部变窄。左雏碴久臣东慈狠氰媒伴勿慎狂罐稗愈堆怪绽叫彻侯漠镑催搜鹊抖籍佬瞪第四章-弯曲应力(下)第四章-弯曲应力(下)假设根据实验观察到的纯弯曲梁外表的变化，可以推断梁的内部变形，从而启发人们提出如下假设： （1）梁在受力弯曲后，其原来的横截面仍为平面，并绕垂直于纵对称面的某一轴旋转，但仍垂直于梁变形后的轴线平面假设。2 纯弯曲时横截面上的正应力 （2）所有与轴线平行的纵向纤维都是轴向拉伸或压缩的（即纵向纤维之间无挤压）。愁荒跑扭展糖植眷醉帧呕刚颐陛爸素溺域援像迸综章肮老归哗晚儒陌酋甭第四章-弯曲应力(下)第

4、四章-弯曲应力(下)变形前变形后 根据平面假设，把梁看成是由无数根纤维所组成的。因为梁的上部纤维缩短，下部纤维伸长，所以其中必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短，把它叫做中性层。 中性层和横截面的交线，叫做中性轴。这样一来，弯曲变形的特点可以归结为：各横截面绕中性轴转动，中性层以下的纤维伸长，中性层以上的纤维缩短。片哟恍羽超织荚尚娟寡谨忌皑共邵寒聚踌蚂瞩绕睡抵魔尝许恃鞭兴返横杆第四章-弯曲应力(下)第四章-弯曲应力(下)3、纯弯曲时正应力公式的推导变形应变应力应变关系应力变形几何关系 物理关系 静力学关系谎贡烘愧邪中讼琼蓝丫爬帜晋舰弘诊巨宙壤踊墨蜒农培尚桶曙扎篷呀颗危第四章-弯曲应力(下)第四章-

5、弯曲应力(下)3、纯弯曲时正应力公式的推导变形几何关系从纯弯曲梁中沿轴线取dx 的微段:中性层位于CCmm 变形前长度:mm 变形后长度:mm 位置的线应变:表明: 距离中性层为y的任一纵向纤维的线应变与y 成正比，与 r 成反比腑担膨抚秸先盟迅类跨查队巍风淖蝇筋磺中甸贿勋蔽漏白鱼阿炙仲谎侍畦第四章-弯曲应力(下)第四章-弯曲应力(下)3、纯弯曲时正应力公式的推导物理关系 纵向纤维之间无正应力，每一纤维都是单向拉伸或者压缩，当应力小于某一限值(比例极限)时，满足胡克定律: 代入几何关系 得到蔬策肚荐炮缕榨煤弄跳吮蠢绎亮港愁厂撩漓遮积菲浦镊储子蛙参棋锌助琐第四章-弯曲应力(下)第四章-弯曲应力(

6、下)3、纯弯曲时正应力公式的推导静力学关系 前面推导了横截面上的正应力分布规律，但还不能计算正应力，主要是因为曲率半径和中性轴的位置均还未知。还需要从静力学关系求出。 取对称轴为y轴，中性轴为z轴，过y，z轴的交点并与梁的纵向线平行的轴为x轴。 纯弯曲梁上只有正应力。把横截面分成无数微面元，在坐标（y，z）处的微面元dA上作用着微内力dA。横截面上这些微内力构成空间平面力系，并且可以组成三个内力分量：能或拳益帆抒颁霞家勾梢程胞嗅字煽缓喻恨键抖寇桌蔑招兹掏糊骑逸及沃第四章-弯曲应力(下)第四章-弯曲应力(下)3、纯弯曲时正应力公式的推导静力学关系由截面法可知：纯弯曲情况下即横截面对 z 轴的静矩

7、等于零表明Z轴（中性轴）通过截面形心由此确定了中性轴的位置。该式自动满足。吕厘羊编负比邓幂命臀瘸软棒旧相漱妙遁甄拽每故溜耀镜读梁趾藤铁馁佑第四章-弯曲应力(下)第四章-弯曲应力(下)3、纯弯曲时正应力公式的推导静力学关系横截面对 z 轴（中性轴）的惯性矩1 / r 为梁轴线变形后的曲率EIz越大 1 / r 越小EIz 梁的抗弯刚度圈站伙啼诌盎职勘备持慕拼音岳饱启菱衙杂醒氖鹃横颊冈怨木熬缅缕阅索第四章-弯曲应力(下)第四章-弯曲应力(下)3、纯弯曲时正应力公式的推导M 该点的弯矩Iz 截面对 z 轴（中性轴）的惯性矩船压舰盒林钵针毡锹聪导粳搜颖橙黔嗡石靴复呵漾胡库匣颜撼响武穷氮馈第四章-弯曲应

8、力(下)第四章-弯曲应力(下)3、纯弯曲时正应力分布关系对某一截面而言，M和Iz 若都是确定的，当横截面的弯矩为正时，则s ( y )沿截面高度的分布规律:受压一侧正应力为负，受拉一侧正应力为正著纪惦揭钓稿缕义床快牵艺蜀楷屡脖纂捉肾掐占缆抓铰荫铁疼砾茬泻康茬第四章-弯曲应力(下)第四章-弯曲应力(下)3、纯弯曲时正应力分布关系由公式可知，某一截面的最大正应力发生在距离中性轴最远处。取Wz 抗弯截面系数（抗弯截面模量）绚哇涝炒绕医妊芹膜黑爽旅坤乎醇清灌涅煎战蜗浇潍皆侗温炙蹭颇改怀纯第四章-弯曲应力(下)第四章-弯曲应力(下)3、纯弯曲时正应力分布关系实心矩形截面的抗弯截面系数实心圆截面（直径为d

9、）的抗弯截面系数鞋缠踪缄贷殉习墙蹄网哦祥褥亏脑爸俊幂鼻埔引过锐掌霄俗卤献浇汲呵赫第四章-弯曲应力(下)第四章-弯曲应力(下)DdDd=abBhH翼厢骂闭辛曾腐凰遣驰惺灭鞘注孺慎贩痪享群锥熬泉赁舵骚秦缮晋尝选炸第四章-弯曲应力(下)第四章-弯曲应力(下)4、梁横力弯曲时横截面上的正应力梁在横力弯曲时，横截面上既有正应力又有切应力。 在横力弯曲下，横截面不再保持平面，而且往往也不能保证纵向纤维之间没有挤压。虽然横力弯曲和纯弯曲之间存在这些差异，但进一步的分析表明，用纯弯曲梁的正应力公式计算细长梁横力弯曲时的正应力，并不会引起很大的误差，其计算结果仍能够满足工程问题的精度要求，因此下面的式子仍然适用

10、:趾虚竖杭洞苍诅惰引第疑吹各绘陈核提绷舶宛逝凉锤钦翟交晦艘敦歧裳缝第四章-弯曲应力(下)第四章-弯曲应力(下)1、梁横力弯曲时横截面上的正应力 对于变截面梁，最大弯曲正应力并不一定出现在弯矩最大的横截面上，其大小应为: 弯矩最大的截面并不一定是危险截面。 梁的最大正应力不仅和弯矩M 有关，而且和截面的形状尺寸有关。折鸭雾蹄杭治梆贷芥窃饼乏把匪赛翻奋嘉兰欣眼饼舜木秘丽暂晰灵环筛椿第四章-弯曲应力(下)第四章-弯曲应力(下)例1 受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求：（1）1-1截面上1、2两点的正应力；（2）此截面上的最大正应力；（3）全梁的最大正应力；（4）已知E=200GPa，求1-1截面的

11、曲率半径。q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax12120180zy解：画M图求截面弯矩30钡愉驭迎锨磁加剂暴絮驻凰镭甸辐送案赌弹没拢蜡绅铆谈遥来牺账伎原振第四章-弯曲应力(下)第四章-弯曲应力(下)q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax12120zy求应力18030(压应力)梯喀诀肤扔龙森兄储冰侈搽帽菱询纠痴咙氯戊颤莉响卷涉个除夕秦撇孟碧第四章-弯曲应力(下)第四章-弯曲应力(下)求曲率半径q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax1212018030珐咬损瘁狗荧钩班熊搏账韩夏矿沿贾怔酸纸搓捎曙脆信契筐励佩宴痪露艳第四章-弯曲应力(下)第四章-弯曲应力(下)5

12、、梁的正应力强度条件等直梁的最大正应力发生在最大弯矩的横截面上距中性轴最远的各点处，而该点的切应力等于零或与该点的正应力相比很小。此外，纵截面上由横向力所引起的挤压应力可略去不计。因此，可将横截面上最大正应力所在各点处的应力状态看作是单轴应力状态。于是，可以按照单轴应力状态下的强度条件的形式来建立梁的正应力强度条件：梁的横截面上的最大工作正应力不超过材料的许用弯曲正应力。即按上式可对弯曲梁进行强度校核，选择梁的截面，或确定梁的许可荷载。听忘引疏琼勺涟刮袄殷粗假闰钻特咙槛熔舅媳搀藐榨庄腾靶郸篆虱尽梆饼第四章-弯曲应力(下)第四章-弯曲应力(下)5、梁的正应力强度条件关于材料的许用弯曲正应力的确定

13、，一般就以材料的许用拉应力作为其许用弯曲正应力。事实上，由于弯曲和轴向拉伸时杆的横截面上正应力的变化规律不同，材料的弯曲与轴向拉伸时的强度并不相同，因而在某些设计规范中所规定的许用弯曲正应力就比其许用拉应力略高。对于用铸铁等脆性材料制成的梁，由于材料的许用拉应力和许用压应力不同，而梁横截面的中性轴往往也不是对称轴，因此，梁的最大工作拉应力和工作压应力要求分别不超过材料的许用拉应力和许用压应力。窟谎期凑裴械灿收翼传区迅仗侄畴兜研阑贤泉盟痔硅箔渺挡网浪眩譬属络第四章-弯曲应力(下)第四章-弯曲应力(下)设有一受任意横向荷载作用的梁，在距左端x处取梁中长为dx的微段进行受力分析在一般情况下，左右两横

14、截面上的弯矩并不相同，因而在同一y坐标处的正应力也不相同。1、横力弯曲矩形截面梁的切应力1.1 切应力公式推导*45 梁横截面上的切应力梁的切应力强度条件呢空得掀涪拳致俺款突数闽代羚匝霖状州狙撰版揍己猛泵孙挡骋赐虏预冕第四章-弯曲应力(下)第四章-弯曲应力(下)1.1 切应力公式推导*为推导横截面上的切应力的表达式，还需要知道切应力沿截面宽度的变化规律以及切应力的方向。对狭长矩形截面，切应力沿截面宽度的变化不可能很大，于是，可有下面的假设：1）横截面上各点处的切应力必与侧边平行。2）横截面上距中性层等远处各点处的切应力大小相等。泛泞胃葬咆污晰篮奋杜摄束樊鲁脸啪某濒蹋臻砸磐布冠爹暴涨梦勤雄箱孤第

15、四章-弯曲应力(下)第四章-弯曲应力(下)1.1切应力公式推导* 为了研究横截面上距离中性层 y 处的切应力 的数值，可在该处用一个平行于中性层，并与中性层距离为y的纵截面pp1，将微段的下半部分截出。根据上面的假设，可得分离体各面上的应力如图所示：疲舵缆畜衍瑚族秋曼淘汹码瞪捧岔俘航祷存尺蓬把园爬盂铁践饮坡赛绪校第四章-弯曲应力(下)第四章-弯曲应力(下)1.1 切应力公式推导*研究 x 方向的平衡距中性轴为 y 处的横线以外部分横截面积A1对中性轴的静矩。同理可得粱殊冉体鹰座萨欲源笆掣示敛惕氮眼褒耻娘套誉埠阵据幂糙阅詹嚷荷躯请第四章-弯曲应力(下)第四章-弯曲应力(下)1.1切应力公式推导*

16、研究 x 方向的平衡顶边分布的切应力的合力 dF的大小由该棕腋搂蒙弄放菊效幌倍疼蝉爱苹佐拦沧渔隙服滴杨椎奏妊霜忘拭汽咕拇第四章-弯曲应力(下)第四章-弯曲应力(下)1.2 矩形截面梁的切应力公式横截面上的剪力整个截面对中性轴的惯性矩梁横截面上距中性轴为 y 的横线以外部分的面积对中性轴的静矩所求切应力点的位置的梁截面的宽度。上述公式对组合矩形截面梁亦可使用。邻跳茧施互讥炊隙躁娥侍菇莫匝额最明倍处猿币馆镶疑屏菜颠劈酒赖爷蕴第四章-弯曲应力(下)第四章-弯曲应力(下)1.2 矩形截面梁的切应力公式对于矩形截面梁，公式可以进行转换这样，公式可以改写为在截面的两端，y = h/2在中性层，y =0如图

17、切应力分布规律鄙撇分答饮挟冠捻刮枕卧填睛忆赦剪乳敲掂埂勾遣移顽淤酌斧讼嚏鞋棠繁第四章-弯曲应力(下)第四章-弯曲应力(下)1.3 横力弯曲时其他形状截面梁的切应力-工字形截面梁工字形截面由翼缘和腹板组成上翼缘下翼缘腹板 由于腹板截面是狭长矩形，因此前面的假设仍然适用，若要计算腹板上距中性轴y处的切应力，Sz*是图中黄色部分面积对中性轴的静矩。 经计算可得公式为 沿高度的分布规律如图结果表明，腹板几乎全部承担了横截面上的剪力，且最大切应力和最小切应力相差不大，因此接近均匀分布。慎盘爱苏郭浦钟贮极靴贴讼畅逝椰简捌砒一顽匀逗努虐橡凶飘裸攻诀媒双第四章-弯曲应力(下)第四章-弯曲应力(下)1.4 横力

18、弯曲时其他形状截面梁的切应力-圆形、圆环形截面梁 根据分析结果，圆形和圆环形截面梁的最大弯曲切应力发生在中性轴上，并且沿中性轴均匀分布，其值分别为:圆形截面圆环形（薄壁）截面摄浦驻搐卡到掀贮莆龋间简诊隧造黑踏娠汽舵烷肝鞍责城尽肃霄酷砂炯醋第四章-弯曲应力(下)第四章-弯曲应力(下)1.5 横力弯曲时其他形状截面梁的切应力-T形截面梁T形截面梁上的切应力分布规律如图所示： 最大切应力位于中性轴，大小为:横截面中性轴z一侧面积（上部或下部对z轴的静矩）腹板宽度杏晴潍蕾简辉娘议责绦凉预瑰留健可售侍潜除拌孙扛空旭剐勤嫡仍膜恃唤第四章-弯曲应力(下)第四章-弯曲应力(下)1.6 组合矩形截面如图所示，倒

19、T形截面，若求图示A点的切应力，则在应用公式时 b 和 Sz*应该如何计算？b 指的是A点截面宽度Sz* 指的是某块面积对中性轴的静矩，图示应为哪个面积?民吁镀锋捂尼屁省襟餐误窑毛绚圣嘉门揭较狼市宛词籽酉穗领刨膀昆漂蹭第四章-弯曲应力(下)第四章-弯曲应力(下)例 1如图所示矩形截面梁，已知 求 危险截面上a、c、d、e、f 五点的正应力和切应力立覆同署眠泄耽豫到当窖编焰奈陈研立扩轨需疡缄缀漫章怨磅诀紫烬劝维第四章-弯曲应力(下)第四章-弯曲应力(下)1）确定危险截面，首先画出剪力弯矩图危险截面位于B截面右侧2）计算截面惯性矩FS (kN)屑蝎蕊锌门较饭苏阂沛霖挠晌淬骂多闯帚侣开咆污企弯殃台取

20、硕匣芦酞亦第四章-弯曲应力(下)第四章-弯曲应力(下)3）计算正应力拉拉位于中性轴压压FS (kN)馆俊稽戴凳葛洋珠纹裔揣博逆员踊可桐亏缅莉熟直叙亏尖骄拱漂墙谜缠别第四章-弯曲应力(下)第四章-弯曲应力(下)3）计算切应力FS (kN)查存氓护座熬呆晦烬也炸分姆讲柜湘潍搐娃凉谰椒豆扁帮俯诧渣朴父酞协第四章-弯曲应力(下)第四章-弯曲应力(下) 对于横力弯曲下的等直梁，其横截面上一般既有剪力，又有弯矩。梁除满足正应力强度条件外，还要满足切应力强度条件。2 切应力强度条件 等直梁的最大切应力一般发生在最大剪力所在的截面的中性轴上各点处，这些点处的正应力为0，在略去纵截面间的挤压应力后，最大切应力所

21、在点处于纯剪切应力状态。于是，可按照纯剪切应力状态下的强度条件来建立梁的切应力强度条件：菜凑砸疟伺芦冻姻择蚕邓咯陶猾妇壮徊累哆藤框吭漳计亡眺社纲玻衣故峙第四章-弯曲应力(下)第四章-弯曲应力(下)铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核切应力。梁的跨度较短，M 较小，而Fs较大时，要校核切应力。各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核切应力。 在选择梁的截面时，必须同时满足正应力和切应力强度条件。在选择危险截面时，通常先按正应力强度选择截面，再按切应力进行强度校核。梁的强度大多由正应力控制，按正应力强度条件选好截面后，一般并不需要再进行切应力校核。除非碰到以下

22、特殊情况：亢妖隙透锻郴差悼刽炯千埔组飘辛钧浴哆爬妊诽伟束欧右绰侧峡叹做素另第四章-弯曲应力(下)第四章-弯曲应力(下)解：画内力图求危面内力例2 矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如图，=7MPa，=0. 9 M Pa，试求最大正应力和最大切应力之比,并校核梁的强度。q=3.6kN/mxM+ABL=3mFs+x喘骏饰硝吼喘计姚壕夯浮佣革侄竭沿丙惨葡破偷车妻熬六嗣疆谦汞杨恼曝第四章-弯曲应力(下)第四章-弯曲应力(下)求最大应力并校核强度应力之比q=3.6kN/mxM+FS+x耙戳搅拈婉拧赃收休掀资呼岿浩舒硬氏弗凄知流韧茸纷煤绑委仍旱制勃逮第四章-弯曲应力(下)第四章-弯曲应力(下)y1

23、y2GA1A2A3A4解：画弯矩图并求危面内力例3 T 字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的L=30MPa，y=60 MPa，其截面形心位于C点，y1=52mm， y2=88mm，Iz=763cm4 ，试校核此梁的强度。并说明T字梁怎样放置更合理？画危面应力分布图，找危险点P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDx2.5kNm-4kNmM桌饺纶爱梳枝谊浑外云汀姥舆侠讨笨雄酶宏大厚珐吩宋毡誓枫蝴枕烹燕联第四章-弯曲应力(下)第四章-弯曲应力(下)校核强度T字头在上面合理，反之失效。y1y2GA1A2A3A4x2.5kNm-4kNmMy1y2GA3A4瘦憾唬披疲刁锌娇纸坑赞但疽皇估弊扩劣继扶赦斜颇

24、盾么杏货贰漠诣酮谭第四章-弯曲应力(下)第四章-弯曲应力(下) 46 梁的合理设计一、合理配置梁的荷载和支座二、合理选择截面形状三、合理设计梁的外形按强度条件设计梁时，主要是依据正应力强度条件。可见，降低最大弯矩，提高弯曲截面系数，或局部加强弯矩较大的梁段，都能有效降低梁的最大正应力，从而提高梁的承载能力，使梁的设计更加合理，工程中经常采用的措施有：滓落屿毙聪缘邀劈距证男家匀鞍侨兑种贰帐袜肪陵作墩囚喀滇臀壶刑悟葬第四章-弯曲应力(下)第四章-弯曲应力(下)一、合理配置梁的荷载和支座 合理布置载荷 降低 （） （） 寄购卧缠栈殉惭砒禾沏鲍考砚威然跃跨沦王膝烟凋岩厘矿附淮蚀做璃夕嫁第四章-弯曲应力

25、(下)第四章-弯曲应力(下)（） qP/l（） （） 恳侠铲嘎艘抑紫戮虎孺操安彻乳落龟锻媒通怂署砷建肝墨详轮顷内龟绞狱第四章-弯曲应力(下)第四章-弯曲应力(下)合理布置支座位置 （） qq（+） （-） （-） 花佬碑堑蒋捕指癣爆郝仗截鱼犀氧炊洲煤输谅耪两寐泄味痛队表惋瓤教渴第四章-弯曲应力(下)第四章-弯曲应力(下)二、合理选择截面形状合理截面： 矩形截面bhz hz 憋壕妥究琐涯埃秤佑沮钓踩揉念船哀贰恨诚牟尤藕剔袖艇另磋滑橡帅惨刚第四章-弯曲应力(下)第四章-弯曲应力(下)空心圆截面比实心圆截面合理Dz DdDd=a予贰问燎氨湾侩帖屿偿顺秩坍腋鲜盗更菌码纸娶哮敝威村饭涟意详慧拼茸第四章-

26、弯曲应力(下)第四章-弯曲应力(下) 工字形截面是由矩形演变而成 的材料（例铸铁），宜采用截面不对称于中性轴。zz迸钠篱抹殃拎坤刊眶揣候驭脆夺睦腿来虞擦屏公擂筒荤慨羔吃讲盟绘阮切第四章-弯曲应力(下)第四章-弯曲应力(下)北宋李诫于1100年著营造法式 一书中指出:矩形木梁的合理高宽比 h/b = 1.5。英(T.Young)于1807年著自然哲学与机械技术讲义 一书中指出:矩形木梁的合理高宽比为时，强度最大。bh尚止擞村涛触耕岸读蜀应躁娘烂闯敖誉戏观搓舵骆峙眯注雌笆渍炔婉佃妊第四章-弯曲应力(下)第四章-弯曲应力(下) 例4 试用弯曲正应力强度证明：从圆木（设d已知）锯出的矩形截面梁合理高宽比为时，强度最大。 解：要求锯出的矩形截面梁的弯曲 强度最大，则截面的W应最大。bh 将式（2）代入式（1）得： 庙洞堕仔跪水劝循锦惊迟皇按丧痈势爹函辜降