数字信号处理：第二章 离散时间信号

1、 第二章：离散时间信号2.1 信号的基本概念2.2 信号的时域描述2.3 信号的频域描述2.4 从模拟信号到数字信号2.5 信号数字化过程中的参数选择 2.1 信号的基本概念2.1.1 什么是信号2.1.2 信号的分类信号：携带有信息的物理量或者物理现象 2.1.1 什么是信号 现实世界中的信号有两种自然和物理信号，如雷电过程产生的声、光信号；大脑、心脏运动分别产生的脑电信号和心电信号；地震产生的地震波信号等人工产生信号，经自然的作用和影响而形成的信号，如雷达信号、通信信号等信号通常是随时间变化的有限的实值函数，也可以是随空间等其他变量变化的有限实值函数图像信号就是典型的空间变量的函数语音信号

2、是以时间为变量的函数 2.1.1 什么是信号信号要满足：实值性和有限性实值性，要求信号的取值都是实数，而不是整数或者负数。这主要是现实世界中的信号大部分都是模拟信号，如速度、电压、电流、温度等信号都是连续变化的量。自然界的信号，目前为止都是实数的，暂时还没有发现自然的复数信号。既然信号的值是实数，那为什么信号处理中要大量用到复信号呢？为了数学处理上的方便，本课程主要以复信号为基础来讨论信号处理问题有限性，信号的值必须是有限，而不能无限大。自然界的信号值如果无穷大的话，那需要无穷大的能量。从能量守恒的角度看，信号的值也必须有限。有限还可以指能量的有限性、功率的有限性、带宽的有限性等。 2.1.2

3、 信号的分类确定性信号：信号随时间的变化服从某种确定的规律，可以用明确数学关系式描述，任意时刻能精确确定信号取值，即可以预先知道信号的变化规律随机信号：不能预知他随时间变化的规律，不能用数学关系式描述，其幅度、相位都只能从概率分布角度进行描述按信号是否为确定性，可分为确定信号和随机信号两大类现实中不存在完全的确定性信号，因为现实中的信号，都不可避免地要受到噪声的污染，因此确定性信号的研究更多是理论上的意义。确定性信号的规律性和可重复性，使很多物理过程可以采用确定性信号来描述和建模，深入分析其确定性信号的特征，有助于更好地从被污染的信号中提取出有用的信息，这是信号处理非常重要的任务之一确定性信号

4、可进一步细分为周期信号和非周期信号。周期性是指信号是否按某一固定时间重复出现，如果是，则为周期信号，否则为非周期信号随机信号可细分为平稳信号和非平稳信号。随机信号的平稳性，可从概率分布的角度来分析，也可从均值和方差的角度来讲。 2.1.2 信号的分类连续时间信号：在自变量的整个连续区间内都有定义的信号。“连续”指的是定义域，而信号的值域，也即信号的幅度取值范围，可以是连续的，也可以是不连续的离散时间信号：仅在一些离散的点上才有定义的信号。“离散”指的是定义域，而信号的值域可以是连续的，也可以是不连续的若从时间变量的取值是否连续出发，可分为连续时间信号和离散时间信号两大类一个时间离散信号f(n)

5、，其信号来源可能本来就是离散的，如f(n)表示某一天的平均气温，显然自变量n只能是离散的整数大部分情况下，离散时间信号是由连续时间信号经过采样后得到的。离散时间信号也称为“序列”，后续讨论中，没有特别指明的情况下，信号指的是离散时间信号 2.1.2 信号的分类模拟信号：定义域和值域均连续的信号，即时间和幅度都连续。因此，模拟信号肯定是连续时间信号，对于时间连续信号而言，幅度上是否连续并不重要，故连续信号和模拟信号这两个概念通常情况下并不严格区分，而且时常混用。现实世界中的绝大部分信号，如温度、压力、速度、电压、电流等都是模拟信号。数字信号：时间和幅度都不连续的信号。因此，数字信号肯定是时间离散

6、信号。现实世界中也存在一些数字信号，如记录股票每天收盘价格的金融信号等。当然，更多的数字信号是从模拟信号经过模/数转换而得到的。 模拟信号和数字信号两大类连续信号与离散信号，模拟信号与数字信号，很多同学经常对这几个概念混淆不清模拟信号是连续信号的一个子集数字信号是离散信号的一个子集信号时间幅度连续信号连续任意离散信号不连续任意模拟信号连续连续数字信号不连续不连续 2.1.2 信号的分类因果信号：只有 时x(n)才有非零值，否则为非因果信号。从信号的因果性角度出发，可分为因果信号和非因果信号 2.2 信号的时域描述2.2.1 信号的时域表示2.2.2 典型信号2.2.3 信号的基本运算 2.2.

7、1 信号的时域表示 离散时间信号x(n)若是从模拟信号 均匀采样得到，则离散时间信号x(n)可表示为： 为采样周期，n为整数，下表a表示模拟信号离散时间信号仅在 时刻有值，而在其他时刻没有定义，但并不是没有值数字信号处理中， 中的采样周期 一般不再写出，而n表示采样时的序号，所以用x(n)表示第n个离散点的值。 离散时间信号x(n)若有解析表达式，则可用公式表示，如一个三角形信号x(n)可写为：式中，对 的x(n)默认值为0 2.2.1 信号的时域表示 离散时间信号x(n)的另一种时域表示方法为，将序列x(n)表示成按一定次序排列的数值的集合。从这个意义上讲，离散时间信号通常也称为序列。如，三

8、角形信号也可表示为：式中，箭头所指的值表示n=0时x(n)的值，这里x(0)=5n值规定为自左向右逐一递增这种方法能够表示没有解析式的x(n) ，因而使用更多。 离散时间信号x(n)的另一种时域表示方法为图示法，横坐标为n，纵坐标为x(n)的值虽然图中横坐标画成一条连续的直线，但x(n)只有在n为整数值时才有定义，对于非整数值， x(n)是没有定义的 2.2.2 典型信号 单位冲激信号 ，也称为单位抽样信号、单位抽样序列、或者Kronecker函数，数学定义如下：单位抽样信号是最简单、最基本的离散时间信号，也是重要的离散时间信号之一 类似于时域连续信号中的冲激函数 ，他们的作用是相同的，不同的

9、是， 是广义函数，在t=0时刻幅度趋向于无限大，即无幅度可言，只有用面积来表示强度 反映一种持续时间极短、函数值极大的信号类型，如电学中的累积电闪、力学中瞬间作用的冲击力等 在n=0时刻有确定的幅度值，即为1 2.2.2 典型信号 单位阶跃信号u(n)，也称为单位阶跃序列，数学定义如下：单位阶跃信号等效的物理模型是开关的闭合单位阶跃信号的基本特性是单边性，即n0时， u(n)全是0，在 时u(n)全是1。利用这种单边性可以构成其他许多单边信号由 和u(n)的定义可已看出，单位冲激信号 是单位阶跃信号u(n)的一次差分，即单位阶跃信号u(n)是单位冲激信号 的求和，即 2.2.2 典型信号 脉冲

10、信号p(n)，也称为矩形序列 ，数学定义如下：N为脉冲宽度脉冲信号的特点是只有在n=0到n=N-1这样一个长度为N的窗内才有值，在其他范围取值均为0脉冲信号在雷达、通信等系统中有非常广泛的应用，而且矩形序列作为一种最基本的窗函数，几乎应用于任何的信号处理过程中与其他信号的关系 2.2.2 典型信号 正弦信号x(n) ，数学定义如下：A表示信号的幅度， 为初始相位 为数字角频率，也称为数字频率，其单位是弧度，表示信号变化的速率，或者说表示相邻两个信号值之间变化的弧度数， 和通常所说的以Hz为单位的模拟频率f 既有区别又有联系。 正弦信号x(n) ，可以看作是由如下模拟正弦信号经采样得到的 f为模

11、拟频率，单位为Hz ， 为采样周期，单位为秒， 为模拟角频率，单位为弧度/秒(rad/s) 2.2.2 典型信号模拟频率f，模拟角频率 和数字角频率 之间的关系为： 为采样频率凡是经模拟信号采样后得到的离散信号，其模拟频率和模拟角频率与数字角频率成线性关系，或者说数字角频率是模拟角频率对采样频率的归一化频率。现实生活中的很多物理现象都可以用正弦信号来描述，比如交流电源信号、通信载波信号、音频信号等。正弦信号的复数形式，即复正弦信号，其数学定义式为：这也是非常重要的一种基本信号，他不仅是离散信号做傅里叶变换时的基函数，同时也是线性时不变系统的特征信号。 2.2.2 典型信号 指数信号的数学定义为

12、：a为实数，则为实指数信号当 时，x(n)随n的增加而指数发散当 时，x(n)随n的增加而指数收敛当 时， x(n)随n为常数如果a为正数， x(n)的函数值是单调变化如果a为负数， x(n)的函数值是正负交替变化实指数信号可以描述许多物理现象，如生物的自然繁衍、银行存款的本金利息、原子核的裂变等都具有指数增长的特性；而声音在大气中的传播、RC电路的响应、受到污染的生态环境质量等则是按指数衰减特性发生变化若a为复数，可将a写为 的形式，其中 ，这样x(n)就变成复指数信号，即 ，若r=1，则变成复正弦信号；若r1，则x(n)为发散的复正弦信号 2.2.3 信号的基本运算信号的基本运算包括：相加

13、、相减、累加、相乘和移位相加：将两个信号x1(n)和x2(n)在相同时刻n时的值对应相加，其数学定义为： y(n)= x1(n)+ x2(n)相减：将两个信号x1(n)和x2(n)在相同时刻n时的值对应相减，其数学定义为： y(n)= x1(n)- x2(n) 2.2.3 信号的基本运算累加：数学定义为：表示序列y(n)在任一点的值为x(n)在该点的值与该点之前的所有点的值之和理论上讲，累加的起始时刻可以是- ，结束时刻也可以是+ ，但在实际中，由于因果性的制约，结束时刻最大为n相乘：将两个信号x1(n)和x2(n)在相同时刻n时的值对应相乘，其数学定义为： y(n)= x1(n) x2(n)

14、= x1(n) x2(n) 2.2.3 信号的基本运算移位：给定离散信号x(n)和常数k0，若信号y1(n)和y2(n)分别定义为：y1(n)= x(n-k)y2(n)= x(n+k)y1(n)是整个x(n)在时间轴上右移k个采样周期得到的新信号，常称为x(n)的延时信号，延时时间为k个采样周期y2(n)是整个x(n)在时间轴上左移k个采样周期得到的新信号由于现实中因果性的约束，在信号处理中左移的情况比较少，最常用的信号的右移，也即信号的延时。在数字信号处理硬件设备中，延时是由一系列的移位寄存器来实现的 2.3 信号的频域描述2.3.1 离散时间傅里叶变换(DTFT)2.3.2 典型信号的DT

15、FT 2.3.1 离散时间傅里叶变换(DTFT)信号在频域是用频谱来表示的，频谱即为信号的傅里叶变换 连续时间信号的傅里叶变换(CTFT)与拉普拉斯变换(LT) 周期信号的傅里叶级数(FS)设周期信号x(t)，其周期为T，角频率0=2/T，当满足狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级数 称为x(t)的傅里叶级数 系数an , bn称为傅里叶系数 可见， an 是n的偶函数， bn是n的奇函数。(1) 三角形式 2.3.1 离散时间傅里叶变换(DTFT)狄里赫利(Dirichlet)条件在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个在一周期内，极大值和极小值的数目应是

16、有限个在一周期内，信号绝对可积。 2.3.1 离散时间傅里叶变换(DTFT)(2) 其他形式：将下式中 的同频 率项合并，可得 式中，A0 = a0 可见：An是n的偶函数， n是n的奇函数。an = Ancosn， bn = Ansin n，n=1,2,上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。 A0/2为直流分量 A1cos(0t+1)称为基波或一次谐波，其角频率与原周期信号相同 A2cos(20t+2)称为二次谐波，其频率是基波的2倍 一般而言，Ancos(nt+n)称为n次谐波。 2.3.1 离散时间傅里叶变换(DTFT)(3) 指数形式：系数X(jn0)称为复傅里叶系数 利用 c

17、osx=(ejx + ejx)/2可从三角形式推出：n的偶函数：an ， An ， |Xn | n的奇函数: bn ，n 三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用指数形式的傅里叶级数。 2.3.1 离散时间傅里叶变换(DTFT)(4) 周期信号的频谱 从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变化的关系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信号的频谱图。 周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系，即 将An(n 0)和n (n 0)的关系分别画在以为横轴的平面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相位频谱图。因为n0，所以称这种频谱为单边谱。 也可画|Xn|

18、 (n 0)和n (n 0)的关系，称为双边谱。若Xn为实数，也可直接画Xn 。 对于双边频谱，负频率，只有数学意义，而无物理意义。为什么引入负频率？ f(t)是实函数，分解成虚指数，必须有共轭对ejnt和e-jnt，才能保证f(t)的实函数的性质不变。 2.3.1 离散时间傅里叶变换(DTFT)频谱图示（单边）幅度频谱相位频谱离散谱，谱线 2.3.1 离散时间傅里叶变换(DTFT)频谱图示（双边）幅度频谱相位频谱离散谱，对称性特点：离散性;谐波性;收敛性 2.3.1 离散时间傅里叶变换(DTFT)(5)周期信号的功率Parseval等式物理意义：直流和n次谐波分量在1电阻上消耗的平均功率之和

19、。 n0时， |Xn| = An/2。周期信号一般是功率信号，其平均功率为这是Parseval定理在傅里叶级数情况下的具体体现。 2.3.1 离散时间傅里叶变换(DTFT)信号频带宽度的概念集中信号主要能量的频率范围称为信号的频带宽度，或简称为信号的带宽，用符号F表示。(1) | X n |最大值的1/10为限；(对单调递减型频谱)(2) 总功率90%为限。(由Parseval定理求)语音信号 频率大约为 3003400Hz音乐信号5015,000Hz系统的通频带信号的带宽，才能不失真扩音器与扬声器 有效带宽约为 1520,000Hz 2.3.1 离散时间傅里叶变换(DTFT) 非周期信号的傅

20、里叶级数(FS)T 时，虽然各频谱幅度无限小，但相对大小仍有区别，引入频谱密度函数：X(j)称为x(t)的频谱密度函数，简称频谱。(1)从周期信号的傅里叶级数到非周期信号的傅里叶变换 2.3.1 离散时间傅里叶变换(DTFT)说明 x(t)和X(j)是一一对应的。它们是相同信号的不同表达形式，包含了相同的信息，但自变量不同。FT将以时间为自变量的函数变成了以频率为变量的函数，将信号从时域变换到了频域。建立在这种变换上的系统分析方法称为变换域法。 FT：连续非周期函数非周期连续函数； FS: 连续周期函数非周期离散函数。 2.3.1 离散时间傅里叶变换(DTFT)公式的适用条件在频域中用 j 作

21、自变量，目的是为了便于引入拉普拉斯变换有限间断点、有限极值点、x(t)绝对可积（a）能量有限（b）Direchlet 条件(充分条件):（c）引入冲激信号，可以表示更多的函数（如周期信号） 2.3.1 离散时间傅里叶变换(DTFT)(2)非周期信号的能量密度Parseval等式证明 2.3.1 离散时间傅里叶变换(DTFT)例 求冲激函数 (t)的频谱。解CTFT的对称性质：若则直流信号 2.3.1 离散时间傅里叶变换(DTFT)信号在频域是用频谱来表示的，频谱即为信号的傅里叶变换对离散信号来说，其傅里叶变换称为离散时间傅里叶变换(Discrete Time Fourier Transorm,

22、DTFT)与连续信号的傅里叶变换类似，离散信号x(n)的DTFT可用数学公式表示为： X(e j )是数字频率 的连续函数X(e j )是周期为2的周期函数, X(e j )= X(e j(+ 2k) )若x(n)是由带宽有限的模拟信号xa(t)采样得到，则x(n)的频谱可以看作是xa(t)频谱的周期延拓，或者说时域采样等效于频域的周期延拓。DTFT存在的充分条件是序列绝对可和或平方可和 2.3.1 离散时间傅里叶变换(DTFT)证明：两边同乘以e jm，并在一个周期内积分若一致收敛，交换积分与求和的顺序即 2.3.1 离散时间傅里叶变换(DTFT)序列的DTFT X(ej) 一般为 的复函数

23、，可表达为幅度谱和相位谱的形式，也可表达为实部和虚部的形式。相位谱 的主值区间为(-， 2.3.2 典型信号的DTFT 单位冲激信号 ，也称为单位抽样信号、单位抽样序列、或者Kronecker函数，其DTFT为这说明， 的DTFT恒为1 脉冲信号p(n)，也称为矩形序列 ，其DTFT为在信号处理中，由于信号的DTFT常为复数，因此常将其表示为幅度和相位的形式对分子分母分别提取一个公因子，然后再得到幅度和相位的处理方法是数字信号处理中常用的一个技巧 2.3.2 典型信号的DTFT指数信号 ，其DTFT为当|a|1时，求和不收敛，序列的DTFT不存在当|a|1时a=0.5 2.4 从模拟信号到数字

24、信号2.4.1 采样2.4.2 量化2.4.3 编码 2.4 从模拟信号到数字信号自然界中的绝大部分信号是模拟信号，如语音和音频信号、雷达和声纳数据、地震和生物信号等。为了对这些模拟信号进行数字化的处理，首先是要将模拟信号转换为数字信号。在信号处理中，这个转换的过程称为“模-数”变换（Analog-Digital,A/D）。实现A/D变换的器件叫做“模-数”变换器（Analog-Digital Converter, ADC）。A/D变换的实现过程如右图所示。由图可以看出，实现A/D变换主要包括三个步骤： 2.4 从模拟信号到数字信号采样：模拟信号首先被等间隔地取样，这时信号在时间上就不再连续了

25、，但在幅度上还是连续的。经过采样处理之后，模拟信号变成了离散时间信号。量化：每个信号采样的幅度以某个最小数量单位的整数倍来度量。这时信号不仅在时间上不再连续，在幅度上也不连续了。经过量化处理之后，离散时间信号变成了数字信号。编码：将数字信号编码成B位长度的二进制字。虽然在量化之后信号已经变成了数字信号，但二进制字的表示方法有很多。ADC还要根据精度、动态范围及实现成本等多个角度选择所需的二进制编码方式。经过编码处理之后得到的信号才是我们通常所说的比特流。对这个比特流的处理才是通常所说的数字信号处理。在数字信号处理理论中，经过采样处理得到离散信号是最为关键的一步。只有在考虑到具体实现的时候，量化

26、和编码的问题才必须要考虑。这也是数字信号处理有时也称为离散时间信号处理的原因所在。ADC是实际数字信号处理系统中非常关键的一环，下面的网址给出的是美国国家半导体公司一份很有价值的介绍ADC实现原理的资料，非常值得一看。/detail/deepdsp/4050236 2.4.1 采样从理论上讲，采样的过程可以等效为模拟信号xa(t)通过一个快速闭合和断开的电子开关S，如图所示：设电子开关每隔时间Ts闭合一次，理想情况下，电子开关的闭合时间 ，即电子开关在闭合后马上断开，这时在电子开关输出端得到的就是xa(t)在t=nTs时刻的值，即xa(nTs)， Ts称为采样周期。这样就实现了模拟信号在时间上

27、的离散化，采样后模拟信号有一些离散时间的值来表示，这些采样的值等于原始的模拟信号在离散时间点处的值。 采样得到的离散时间信号只有在离散的时间点上才有值，两个离散点之间的值被扔掉了，这会导致信息的损失吗？由采样后的离散信号能还原原始的模拟信号吗？ 2.4.1 采样直观上来理解，Ts越小，即采样间隔越小，被扔掉的信号越小，由离散信号还原原始模拟信号的可能性越大。那么采样周期Ts的取值满足什么样的条件，或者说采样频率fs=1/ Ts的取值满足什么样的条件下，离散时间信号和对应的模拟信号之间所包含的信息完全一样呢？采样定理回答了这个问题，在介绍采样定理之前，先看一个简单的正弦信号采样的实际例子，以便对

28、采样过程中的混叠、带宽等概念有一个直观的认识。假定xa(t)是一个简单的正弦信号，幅度为1，频率为7Hz，初始相位为0，其数学表达式为：若以6Hz的采样频率对其采样，得到的离散时间信号xa(n Ts) ，如图(b)所示，如果从图(b)所示的离散信号还原模拟信号，一方面自然是可以还原出原始模拟信号xa(t)如图(c)中的曲线1，但是另一方面，曲线2所表示的模拟信号在给定的离散点上的值和曲线1完全相同。也就是说从图(b)所示的离散信号也可以还原成曲线2这个信号。我们明明是从曲线1的模拟信号xa(t)出发以6Hz的采样频率采样得到xa(n Ts) ，但为什么从xa(n Ts)出发，却不能完全恢复出原

29、始的模拟信号xa(t) ，而是还存在模糊性或者说不确定性呢 2.4.1 采样这种模糊性，就是平常所说的采样过程中的频率的混叠，或者简称混叠，正是因为存在频率上的混叠，所以采样过程中必须要适当选择采样频率，才能保证从离散时间信号能够完全恢复出原始的模拟信号，或者说，才能保证模拟信号与对应的离散时间信号包含的信息完全一致。采样后由于频率可能出现混叠，因此必须慎重选择采样频率。信号的带宽：描述信号变化速度快慢范围的物理量。通常变化范围越大的信号其带宽越大。信号的带宽就是最高频率分量与最低频率分量之差。通过傅里叶变换可以知道任何一个信号的最高频率分量和最低频率分量。采样频率的选择必须要保证信号带宽中的

30、任意一个频率分量都没有混叠，采样的过程中才能保证从离散时间信号完全恢复出原始的模拟信号信号必须满足带宽有限的要求，因为现实世界的信号变化速度的范围不可能无限大带宽有限的要求，为采样过程中的不混叠提供了可能性，或者说这种带宽的有限性是不产生混叠采样过程的物理基础 2.4.1 采样了解了混叠和信号带宽的概念后，再来重新研究右图所示的理想采样过程该采样过程可等效为模拟信号与一串冲激信号的相乘，如右下图所示，用数学公式可表达为：ps(t)为冲激串信号要想保证采样过程没有混叠，关键是要保证信号在频域上不产生混叠。那么上式所表征的采样过程的时域数学运算，在频域上表示了什么样的概念呢？必须了解信号的时域采样

31、等效于频域的什么特征？ 2.4.1 采样信号的时域采样等效于频域的周期延拓。如何证明？ps(t)为冲激串信号，是时域的周期信号，周期为Ts，若用 表示模拟信号xa(t)的频谱， 表示离散信号x(n)的频谱，则有：xa(t)及 的示意图如右图所示。图中假定为xa(t)带限信号，并且最高频率为 ，现在我们希望找出 和 之间的关系由式(1)可知，离散信号可以视为一种特殊的连续信号，其傅里叶变换记为 。由模拟角频率和数字频率的关系 可知 2.4.1 采样由傅里叶变换的性质可知，时域的相乘等效于频域的卷积，用数学公式表示为： 为冲激串信号ps(t)的傅里叶变换。为此，先求由于ps(t)为周期信号，且周期

32、为Ts，因此可以展开成傅里叶级数，有： 为傅里叶系数，并且有：于是有于是ps(t)的傅里叶变换 可写为 2.4.1 采样由傅里叶变换的性质可知，时域的相乘等效于频域的卷积，用数学公式表示为： 为冲激串信号ps(t)的傅里叶变换。为此，先求由于ps(t)为周期信号，且周期为Ts，因此可以展开成傅里叶级数，有： 为傅里叶系数，并且有：于是有于是ps(t)的傅里叶变换 可写为这就是时域冲激串的傅里叶变换。同时表明，时域冲激串经过傅里叶变化后，在频域仍然为冲激串，只是幅度和间距有所不同 2.4.1 采样因此由下面两式可知：即：这说明，连续信号采样后，其频谱将变成周期的。以模拟频率来说，周期为 ；以数字

33、频率来说，周期为2。变成周期的方法是将模拟信号频谱Xa(j )在频率轴上以s为周期移位后再叠加，并除以Ts。这种现象又称为频谱的周期延拓。即连续信号的时域采样等效于频域的周期延拓。 2.4.1 采样因此由下面两式可知：即：这说明，连续信号采样后，其频谱将变成周期的。以模拟角频率来说，周期为 ；以数字频率来说，周期为2。变成周期的方法是将模拟信号频谱Xa(j )在频率轴上以s为周期移位后再叠加，并除以Ts。这种现象又称为频谱的周期延拓。即连续信号的时域采样等效于频域的周期延拓。 2.4.1 采样连续信号的时域采样等效于频域的周期延拓，是理解采样过程的关键点，如果再引申一下，由于时域频域的互易性可

34、以很容易知道，频域采样同样等效于时域的周期延拓。时域与频域之间的这种采样与周期延拓的关系，是数字信号处理中的一种基本关系，他不仅是理解采样过程的关键，也是理解其他许多数字信号处理方法的一个关键，如离散傅里叶变换(DFT)、信号的抽取等。上图给出了一个带限信号采样过程频谱的变化情况。图(a)为模拟信号xa(t)及其频谱的波形， xa(t)的最大频率为 fmax= max/2 ，信号带宽为max/ =2fmax图(b)为冲激串ps(t)及其频谱的波形，可以看出，冲激串的频谱仍为冲激串，而且时域冲激串之间的间隔Ts与频域冲激串之间的间隔s满足固定的关系，即s=2/Ts = 2 fs 图(c)为采样信

35、号及其频谱的波形，横轴用数字频率表示，周期为2。max 与max满足关系max = max/fs =2fmax /fs理解时一定要特别注意模拟频率f、模拟角频率与数字频率之间的关系 2.4.1 采样重新回到采样问题：采样频率的取值满足什么样的条件下，离散时间信号和对应的模拟信号之间所包含的信息完全一样呢？由右上图可知，当max 2fmax时，采样信号频谱上没有混叠，因而由采样信号能够完全恢复出原始的模拟信号。右下图给出了采样频率逐步减少时采样信号频谱的变化情况：图(a)给出了fs =2fmax时的采样信号频谱，此时仍然没有混叠，但已经处于临界状态，从理论上仍然能够完全恢复出原始模拟信号图(b)

36、给出了fs 2fmax时的采样信号频谱，此时频谱已经混叠，由采样信号无法恢复出原始的模拟信号。 2.4.1 采样对于一个有限带宽的模拟信号xa(t) ，其频谱的最高频率为fmax，对xa(t)采样时，若保证采样频率fs 2fmax ，那么可由采样信号xa(nTs)完全恢复出原始的模拟信号xa(t) ，即xa(nTs)保留了xa(t)的全部信息。 采样定理采样定理是由奈奎斯特(Nyquist)于1928年最先提出，香农(Shannon)于1948年从理论上给出了严格的证明。因此采样定理又称为奈奎斯特采样定理或者香农采样定理。系统采样频率的一半，即fs /2，通常也称为奈奎斯特频率。采样定理指出了

37、对信号采样过程中所必须遵循的基本原则，是数字信号处理最基本的定理之一，采样频率则是数字信号处理中最基本的一个概念 2.4.2 量化量化是指将信号幅度的连续取值近似为有限多个离散值的过程。若不考虑模拟信号各采样点之间的相关性，对各采样点分别逐个量化，称为标量量化；反之，考虑各采样点之间的相关性，称为矢量量化。没有特别说明，本课程所说的量化均指标量量化。量化主要应用于从离散信号到数字信号的转换。模拟信号经过采样成为离散信号，离散信号经过量化即成为数字信号。如CD音频信号就是按照44110Hz的频率采样，按16比特量化为有着216=65536个可能取值的数字信号。用右下图来说明有关量化的基本概念：图

38、中Vm表示量化硬件设备的最大输入值； -Vm Vm表示量化硬件设备的量程；将-Vm Vm分为M个量化区间，其中M=2B，B为量化硬件设备用来表示一个采样值的位数，即量化位数；m(m=-M/2，0,1，M/2-1)为量化电平，采样值通常量化为距离其最近的某个量化电平值；两个相邻的量化电平之差称为分辨率，其值为 =2Vm /M右图中B=3，此时共有M=8个量化电平，在有些采样点上，如x(3Ts)，离散信号的幅度正好位于量化电平上，因此这个采样点的幅度值在量化前后一致，没有误差。但绝大多数采样点的幅度都不在量化电平上，如x(Ts) ，量化后其值变为与其原始值最接近的量化电平-4 。量化过程产生误差。

39、 2.4.2 量化量化过程产生的误差称为量化误差，也称为量化噪声，其值为：e(n)=xq(n)-x(n)，e(n)为量化误差，xq(n)为量化值。e(n)为一个随机变量，并且其最大值为/2，直观上来说，信号落入两个相邻的量化电平m , (m+1) 这个区间的概率是一样的，因此， e(n)在- /2, /2上服从均匀分布，其概率密度函数如右中图所示。对于标量量化而言，并不考虑模拟信号各采样点之间的相关性，因此，对于不同的取值n， e(n)也是不相关的，即e(n)可以看作是一个服从均匀分布的白噪声信号。量化的过程等效为采样后的离散信号加上一个服从均匀分布的白噪声，即xq(n) =x(n)+e(n)

40、，如右下图所示。由概率论的只是，可知e(n)的均值为：方差为：在数字信号处理中，量化误差是影响处理结果的一个重要方面。在分析量化误差的影响时，所使用的基本上都是加性噪声模型。 2.4.3 编 码量化后的信号只有有限个离散幅度值，编码的过程就是将量化后的信号电平值转换成二进制码组的过程。对于同一个电平，比如对于值为-0.8125的量化电平值，既可以表示为原码111010，也可以表示为反码100101，还可以表示为补码100110。这是为什么？实际中到底怎样选择编码方式呢？数字系统中，数字的二进制表示有定点制和浮点制两种最基本的方式，定点制运算速度快，实现起来价格便宜，但对溢出需做特别处理，精度相

41、对较低；浮点制动态范围大，精度高，几乎不必考虑溢出问题，但价格比较昂贵在数字信号处理的硬件设备中，编码是通过数字逻辑电路来实现的，包括采样、量化和编码在内的模拟信号数字化的整个过程都被集成为一个模/数转换器ADC的芯片上来实现。 2.5 信号数字化过程中的参数选择2.5.1 抗混叠滤波器2.5.2 采样频率 实际应用中，从模拟信号转换为数字信号需要考虑许多因素，如被噪声和干扰信号所污染的实际信号，在采样过程中如何尽量避免噪声和干扰信号的混叠？确定采样频率时应主要考虑哪些因素？在量化过程中，量化位数如何确定等？ 2.5.1 抗混叠滤波器 实际的模拟信号都是带限的，且都不程度地会受到噪声和其他干扰信号的污染。采样定理可知，只要保证 fs2fmax，有用信号就不会产生混叠，但有用信号带宽之外的噪声及干扰信号仍然会产生混叠，这会降低采样后数字信号的质量。采样后，有用信号带宽之外的噪声和干扰也会混叠到信号带宽之内，从而提高采样后数字信号中的噪声分量，进而增大后续信号处理的复杂度。实际的信号处理系统中，往往要在采样之前增加一级预处理的过程，即抗混叠滤波。 2.5.1 抗混叠滤波器 抗混叠滤波器：将有用信号带宽之外的噪声和干扰信号抑制掉。在信号处理上等效为一个低通滤波器，