中考数学二次函数及四边形综合专题

1、-PAGE . z二次函数与四边形综合专题一二次函数与四边形的形状例1.如图，抛物线与*轴交A、B两点A点在B点左侧，直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为21求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；2P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；3点G是抛物线上的动点，在*轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由A解：1令y=0，解得或A-1，0B3，0；将C点的横坐标*=2代入得y=-3，C2，-3直线AC的函数解析式是y=-*-1 2设P点的横

2、坐标为*-1*2则P、E的坐标分别为：P*，-*-1，EP点在E点的上方，PE=当时，PE的最大值=3存在4个这样的点F，分别是练习1.如图，对称轴为直线的抛物线经过点A6，0和B0，41求抛物线解析式及顶点坐标；2设点E，是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形求平行四边形OEAF的面积S与之间的函数关系式，并写出自变量的取值围；当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？假设存在，求出点E的坐标；假设不存在，请说明理由B(0,4)A(6,0)EFOB(0,4)A(6,0)EFO练习1

3、.解：1由抛物线的对称轴是，可设解析式为把A、B两点坐标代入上式，得 解之，得故抛物线解析式为，顶点为2点在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合，y0,y表示点E到OA的距离OA是的对角线，因为抛物线与轴的两个交点是1，0的6，0，所以，自变量的取值围是16根据题意，当S = 24时，即化简，得 解之，得故所求的点E有两个，分别为E13，4，E24，4点E13，4满足OE = AE，所以是菱形；点E24，4不满足OE = AE，所以不是菱形当OAEF，且OA = EF时，是正方形，此时点E的坐标只能是3，3而坐标为3，3的点不在抛物线上，故不存在这样的点E，使为正方形练习2.如图，与轴交于点和的

4、抛物线的顶点为，抛物线与关于轴对称，顶点为1求抛物线的函数关系式；2原点，定点，上的点与上的点始终关于轴对称，则当点运动到何处时，以点为顶点的四边形是平行四边形？12345543213在上是否存在点，使是以为斜边且一个角为的直角三角形？假设存，求出点的坐标；假设不存在，说明理由1234554321练习3.如图，抛物线与坐标轴的交点依次是，1求抛物线关于原点对称的抛物线的解析式；2设抛物线的顶点为，抛物线与轴分别交于两点点在点的左侧，顶点为，四边形的面积为假设点，点同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点，点同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点与

5、点重合为止求出四边形的面积与运动时间之间的关系式，并写出自变量的取值围；3当为何值时，四边形的面积有最大值，并求出此最大值；4在运动过程中，四边形能否形成矩形？假设能，求出此时的值；假设不能，请说明理由二二次函数与四边形的面积例1.如图10，抛物线P：y=a*2+b*+c(a0) 与*轴交于A、B两点(点A在*轴的正半轴上)，与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上局部点的横坐标对应的纵坐标如下：*-3-212y-4-0图10(1) 求A、B、C三点的坐标；(2) 假设点D的坐标为(m，0)，矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，

6、并指出m的取值围；(3) 当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使FM=kDF，假设点M不在抛物线P上，求k的取值围.练习1.如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为8，0，点N的坐标为6，41画出直角梯形OMNH绕点O旋转180的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标点M的对应点为A， 点N的对应点为B， 点H的对应点为C；2求出过A，B，C三点的抛物线的表达式； 3截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值围；面积S是否存在最小值假设存在，请求出这个最小值；假设不

7、存在，请说明理由；4在3的情况下，四边形BEFG是否存在邻边相等的情况，假设存在，请直接写出此时m的值，并指出相等的邻边；假设不存在，说明理由BCPODQABPCODQA练习2.如图，正方形的边长为，在对称中心处有一钉子动点，同时从点出发，点沿方向以每秒的速度运动，到点停顿，点沿方向以每秒的速度运动，到点停顿，两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结，设秒后橡皮筋扫过的面积为1当时，求与之间的函数关系式；2当橡皮筋刚好触及钉子时，求值；3当时，求与之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子到运动停顿时的变化围；4当时，请在给出的直角坐标系中画出与之间的函数图象练习3.如图，抛物线l1：y=*2-4的图象与

8、*轴相交于A、C两点，B是抛物线l1上的动点(B不与A、C重合)，抛物线l2与l1关于*轴对称，以AC为对角线的平行四边形ABCD的第四个顶点为D.(1) 求l2的解析式；(2) 求证：点D一定在l2上；(3) ABCD能否为矩形？如果能为矩形，求这些矩形公共局部的面积(假设只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积)；如果不能为矩形，请说明理由. 注：计算结果不取近似值.三二次函数与四边形的动态探究例1.如图1，在平面直角坐标系中，有一矩形纸片OABC，O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，点P是OA边上的动点(与点O、A不重合)现将PAB沿PB翻折，得到PDB；再在OC边上选取适当的点E，

9、将POE沿PE翻折，得到PFE，并使直线PD、PF重合(1)设P(*，0)，E(0，y)，求y关于*的函数关系式，并求y的最大值；(2)如图2，假设翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，使PEQ是以PE为直角边的直角三角形？假设不存在，说明理由；假设存在，求出点Q的坐标图1图2例2.抛物线ya*2b*c与*轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在*轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长OBOC是方程*210*160的两个根，且抛物线的对称轴是直线*21求A、B、C三点的坐标；2求此抛物线的表达式；3连

10、接AC、BC，假设点E是线段AB上的一个动点与点A、点B不重合，过点E作EFAC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值围；4在3的根底上试说明S是否存在最大值，假设存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时BCE的形状；假设不存在，请说明理由例3. 如图，矩形ABCD中，AB3，BC4，将矩形ABCD沿对角线A平移，平移后的矩形为EFGHA、E、C、G始终在同一条直线上，当点E与C重时停顿移动平移中EF与BC交于点N，GH与BC的延长线交于点M，EH与DC交于点P，FG与DC的延长线交于点Q设S表示矩形PCMH的面积

11、，表示矩形NFQC的面积1 S与相等吗？请说明理由2设AE*，写出S和*之间的函数关系式，并求出*取何值时S有最大值，最大值是多少？3如图11，连结BE，当AE为何值时，是等腰三角形 图10图11练习1.如图12，四边形OABC为直角梯形，A4，0，B3，4，C0，4点从出发以每秒2个单位长度的速度向运动；点从同时出发，以每秒1个单位长度的速度向运动其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停顿运动过点作垂直轴于点，连结AC交NP于Q，连结MQ1点填M或N能到达终点；2求AQM的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值围，当t为何值时，S的值最大；3是否存在点M，使得AQM为直角三角

12、形？假设存在，求出点M的坐标，假设不存在，说明理由图12练习2. 实验与探究1在图1，2，3中，给出平行四边形的顶点的坐标如下图，写出图1，2，3中的顶点的坐标，它们分别是，；图1图2图32在图4中，给出平行四边形的顶点的坐标如下图，求出顶点的坐标点坐标用含的代数式表示；图4归纳与发现3通过对图1，2，3，4的观察和顶点的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为如图4时，则四个顶点的横坐标之间的等量关系为；纵坐标之间的等量关系为不必证明；运用与推广4在同一直角坐标系中有抛物线和三个点，其中问当为何值时，该抛物线上存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？并求

13、出所有符合条件的点坐标参考答案：一二次函数与四边形的形状例1.解：1令y=0，解得或A-1，0B3，0；将C点的横坐标*=2代入得y=-3，C2，-3直线AC的函数解析式是y=-*-1 2设P点的横坐标为*-1*2则P、E的坐标分别为：P*，-*-1，EP点在E点的上方，PE=当时，PE的最大值=3存在4个这样的点F，分别是B(0,4)A(6,0)EFO练习1.解：1由抛物线的对称轴是，可设解析式为把A、B两点坐标代入上式，得 解之，得故抛物线解析式为，顶点为2点在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合，y0,y表示点E到OA的距离OA是的对角线，因为抛物线与轴的两个交点是1，0的6，0，所以，自

14、变量的取值围是16根据题意，当S = 24时，即化简，得 解之，得1234554321故所求的点E有两个，分别为E13，4，E24，4点E13，4满足OE = AE，所以是菱形；点E24，4不满足OE = AE，所以不是菱形当OAEF，且OA = EF时，是正方形，此时点E的坐标只能是3，3而坐标为3，3的点不在抛物线上，故不存在这样的点E，使为正方形练习2.解：1由题意知点的坐标为设的函数关系式为又点在抛物线上，解得抛物线的函数关系式为或2与始终关于轴对称， 与轴平行123554321设点的横坐标为，则其纵坐标为，即当时，解得当时，解得当点运动到或或或时，以点为顶点的四边形是平行四边形3满足

15、条件的点不存在理由如下：假设存在满足条件的点在上，则，或，过点作于点，可得，点的坐标为但是，当时，不存在这样的点构成满足条件的直角三角形练习3. 解1点，点，点关于原点的对称点分别为， 设抛物线的解析式是，则解得所以所求抛物线的解析式是 2由1可计算得点 过点作，垂足为当运动到时刻时， 根据中心对称的性质，所以四边形是平行四边形所以所以，四边形的面积 因为运动至点与点重合为止，据题意可知所以，所求关系式是，的取值围是 3，所以时，有最大值 提示：也可用顶点坐标公式来求4在运动过程中四边形能形成矩形 由2知四边形是平行四边形，对角线是，所以当时四边形是矩形所以所以 所以解之得舍所以在运动过程中四

16、边形可以形成矩形，此时 点评此题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。二二次函数与四边形的面积例1. 解：1解法一：设，任取*,y的三组值代入，求出解析式，令y=0，求出；令*=0，得y=-4，A、B、C三点的坐标分别是A(2，0)，B(-4，0)，C(0，-4)解法二：由抛物线P过点(1，-)，(-3，)可知，抛物线P的对称轴方程为*=-1，又 抛物线P过(2，0)、(-2，-4)，则由抛物线的对称性可知，点A、B、C的坐标分别为 A(2，0)，B(-4，0)，C(0，-4).2由题意，而AO=2，OC=4，AD=2-m，故DG=4-2m，

17、又，EF=DG，得BE=4-2m， DE=3m，=DGDE=(4-2m) 3m=12m-6m2 (0m2).注：也可通过解RtBOC及RtAOC，或依据BOC是等腰直角三角形建立关系求解.(3)SDEFG=12m-6m2 (0m2)，m=1时，矩形的面积最大，且最大面积是6 .当矩形面积最大时，其顶点为D(1，0)，G(1，-2)，F(-2，-2)，E(-2，0)，设直线DF的解析式为y=k*+b，易知，k=，b=-，又可求得抛物线P的解析式为：，令=，可求出. 设射线DF与抛物线P相交于点N，则N的横坐标为，过N作*轴的垂线交*轴于H，有=，点M不在抛物线P上，即点M不与N重合时，此时k的取

18、值围是k且k0.说明：假设以上两条件错漏一个，本步不得分.假设选择另一问题：(2)，而AD=1，AO=2，OC=4，则DG=2，又， 而AB=6，CP=2，OC=4，则FG=3，=DGFG=6.练习1.解：利用中心对称性质，画出梯形OABC 1分A，B，C三点与M，N，H分别关于点O中心对称，A0，4，B6，4，C8，0 3分写错一个点的坐标扣1分2设过A，B，C三点的抛物线关系式为，抛物线过点A0，4， 则抛物线关系式为 4分将B6，4， C8，0两点坐标代入关系式，得 5AB，垂足为G，则sinFEGsinCAB分解得 6分所求抛物线关系式为： 7分3OA=4，OC=8，AF=4m，OE=

19、8m 8分OAAB+OCAFAGOEOFCEOA 04 10分 当时，S的取最小值又0m4，不存在m值，使S的取得最小值 12分4当时，GB=GF，当时，BE=BG 14分练习2.解 1当时，即 2当时，橡皮筋刚好触及钉子， 3当时，即 作，为垂足当时，即或4如下图：练习3. 解(1)设l2的解析式为y=a*2+b*+c(a0)，l1与*轴的交点为A(-2，0)，C(2，0)，顶点坐标是(0，- 4)，l2与l1关于*轴对称，l2过A(-2,0),C(2,0)，顶点坐标是(0，4)，a=-1,b=0,c=4，即l2的解析式为y= -*2+4 . (还可利用顶点式、对称性关系等方法解答)(2)

20、设点B(m，n)为l1：y=*2-4上任意一点，则n= m2-4 (*).四边形ABCD是平行四边形，点A、C关于原点O对称，B、D关于原点O对称， 点D的坐标为D(-m,-n) .由(*)式可知， -n=-(m2-4)= -(-m)2+4，即点D的坐标满足y= -*2+4， 点D在l2上. (3) ABCD能为矩形.过点B作BH*轴于H，由点B在l1：y=*2-4上，可设点B的坐标为 (*0，*02-4)，则OH=| *0|，BH=| *02-4| .易知，当且仅当BO= AO=2时，ABCD为矩形.在RtOBH中，由勾股定理得，| *0|2+| *02-4|2=22，(*02-4)( *0

21、2-3)=0，*0=2(舍去)、*0= EQ R(,3) .所以，当点B坐标为B( EQ R(,3) ，-1)或B(- EQ R(,3) ，-1)时，ABCD为矩形，此时，点D的坐标分别是D(- EQ R(,3) ，1)、D( EQ R(,3) ，1).因此，符合条件的矩形有且只有2个，即矩形ABCD和矩形ABCD .设直线AB与y轴交于E ，显然，AOEAHB， EQ F(EO,AO) = EQ F(BH,AH) ，.EO=4-2 . 由该图形的对称性知矩形ABCD与矩形ABCD重合局部是菱形，其面积为S=2SACE=2 EQ F(1,2) AC EO =2 EQ F(1,2) 4(4-2

22、EQ R(,3) )=16 - 8 EQ R(,3) . 三二次函数与四边形的动态探究例1.解：由PB平分APD，PE平分OPF，且PD、PF重合，则BPE=90OPEAPB=90又APBABP=90，OPE=PBARtPOERtBPA即y=(0*4)且当*=2时，y有最大值(2)由，PAB、POE均为等腰三角形，可得P(1，0)，E(0，1)，B(4，3)设过此三点的抛物线为y=a*2b*c，则y=(3)由(2)知EPB=90，即点Q与点B重合时满足条件直线PB为y=*1，与y轴交于点(0，1)将PB向上平移2个单位则过点E(0，1)，该直线为y=*1由得Q(5，6)故该抛物线上存在两点Q(

23、4，3)、(5，6)满足条件例2.解：1解方程*210*160得*12，*281分点B在*轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OBOC点B的坐标为2，0，点C的坐标为0，8又抛物线ya*2b*c的对称轴是直线*2由抛物线的对称性可得点A的坐标为6，04分2点C0，8在抛物线ya*2b*c的图象上，c8，将A6，0、B2，0代入表达式，得解得所求抛物线的表达式为y*2*87分3依题意，AEm，则BE8m，OA6，OC8，AC10EFACBEFBAC即，EFFG8mSSBCESBFE8m88m8m8m88m8mmm24m10分自变量m的取值围是0m811分4存在理由：Sm24mm428且0，当m

24、4时，S有最大值，S最大值812分m4，点E的坐标为2，0BCE为等腰三角形14分以上答案仅供参考，如有其它做法，可参照给分例3解:1相等。理由是：因为四边形ABCD、EFGH是矩形，所以所以 即：2AB3，BC4，AC5，设AE*，则EC5*，所以，即配方得：，所以当时，S有最大值33当AEAB3或AEBE或AE3.6时，是等腰三角形练习1解：1点M1分2经过t秒时，则，=当时，S的值最大3存在设经过t秒时，NB=t，OM=2t 则，=假设，则是等腰Rt底边上的高是底边的中线点的坐标为1，0假设，此时与重合点的坐标为2，0练习2.解：1，2分别过点作轴的垂线，垂足分别为，分别过作于，于点在平行四边形中，又，又，设由，得由，得3，或，4假设为平行四边形的对角线，由3可得要使在抛物线上，则有，即舍去，此时假设为平行四边形的对角线，由3可得，同理可得，此