弹性力学习题

1、习题1如果某一问题中，Q=T=T=0，只存在平面应力分量b,b,T，且它们不沿zzzxxyxyxy方向变化，仅为x，y的函数，试考虑此问题是否就是平面应力问题？（是）2如果某一问题中，=y=丫=0，只存在平面应变分量，丫，且它们不沿zzzxzyxyxy方向变化，仅为x，y的函数，试考虑此问题是否就是平面应变问题？（是）3试分析说明，在不受任何面力作用的空间体表面附近的薄层中，图2-11，其应力状态接近于平面应力的情况。（自由表面薄层中：bB0t=tB0bbt丰0近于平面应力问zyzxzxyxy题）2-4试分析说明，在板面上处处受法向约束且不受切向面力作用的等厚度薄板中，图2-12，当板边上只受

2、x，y向的面力或约束，且不沿厚度变化时，其应变状态近于平面应变的情况。（Q=0t=t=0:.y=y=0只有y工0接近平面应变问题）zyzyzxzyzxyxy5在图2-3的微分体中，若将对形心的力矩平衡条件乂Mc=0，改为对角点的力矩平衡条件，试问将导出什么形式的方程？（t=t）xyyx1试考察应力函数二ay3在图3-8所求的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计）。图图3-2取满足相容方程的应力函数为：（1）=ax2y，(2)=bxy2，(3)=cxy2，试求出应力分量（不计体力），画出图3-9所示弹性体边界上的面力分布，并在次要边界上表示出面力的主矢量和主矩。3-3试考察应力函数=-xy（

3、3h2-4y2）能满足相容方程，并求出应力分量（不计体力），2h3画出图3-9所示矩形体边界上的面力分布（在次要边界上画出面力的主矢量和主矩），指出该应力函数所能解决的问题。3-4试证二qx21-4圧+3工-1+qy212艺-丄能满足相容方程，4Ih3h丿10Ih3h丿并考察它在图3-9所示矩形板和坐标系中能解决什么问题(设矩形板的长度为1,深度为h,体力不计)。O厂PS.15设有矩形截面的长竖柱，密度为p，在一边侧面上受均布剪力q,图3-10，试求应力分量。Pb1试比较极坐标和直角坐标中的平衡微分方程、几何方程和物理方程，指出哪些项是相似的，哪些项是极坐标中特有的？并说明产生这些项的原因。2

4、试导出极坐标和直角坐标中位移分量的坐标变换式。4-3在轴对称位移问题中，试导出按位移求解的基本方程。并证明u=Ap+B,u=0可以满PP9足此基本方程。4-4试导出轴对称位移问题中，按应力求解时的相容方程。4-5试由一阶导数的坐标变换式，导出二阶导数的坐标变换式4-3中的式(a)，(b),(c)。1长1悬臂梁，B端作用集中力P分别用1)最小势能原理2)(拉格郎日)位移变分方程求B端挠度(设v=bx2+bx3)取t=1m,=0。6-6试求图6-25所示结构1的结2点位移和应力，7-1试证明：在与三个主应力成相同角度的面上，正应力等于三个应力的平均值。7-2设某一物体发生如下的位移：u=a+ax+

5、ay+azTOC o 1-5 h z0123v=b+bx+by+bz0123w=c+cx+cy+cz0123试证明：各个形变分量在物体内为常量(即所谓均匀形变)；在变形以后，物体内的平面保持为平面，直线保持为直线，平行面保持平行，平行线保持平行，正平行六面体变成斜平行六面体，圆球面变成椭球面。8-5半空间体在边界平面的一个圆面积上受有均布压力q。设圆面积的半径为a,试求圆心下方距边界为h处的位移。02x3-1考察应力函数=ay3在图示矩形板和坐标系能解决什么问题。解竺=0_=0如=0满足双调和方程(相容方程)可作应力函数Qx4Qx2Qy2Qy4应力分量(2-24)：g=空=6ayxQy2Q2Q

6、x2TxyQ2力边界条件(2-25)：1g+mT=xyxmG+It=yxy上下边界l=0m=1:fxf=0=0左边界l=1m=0f=g=6ayf=0 xxy右边界l=1m=0f=g=6ayf=0 xxya0解决偏心拉伸问题a0解决偏心压缩问题yy3.2解：g=Q2=0GxQy2y力边界：E=F=0t=qx(3xxybb2Eb+F=0则b=0b=y(1-)-pgyxybb4-1解：物理方程完全相似，因为极坐标和直角坐标都是正交坐标等。平衡方程多了非微分项，这是由于i）微分体二径向边不平行，使bq对p方向的平衡产生了影响。ii）二环向边不等长使b在p方向，t在Q方向产生附加影响。pp0几何方程多了

7、非微分项这是由于微分体二径向边平不平行，u引起周向应变UPu引起剪应变算-UPp申dpp2仿照直角坐标系的旋转变换u=ucos+usin92-1K3、整体分析整体刚度矩阵k=ka4K=K+K+K111213K+K+K21K31K4122K32K4223K330K14K240K4430丨01-20丨-1-03:10-1-1:0-2厂1-T01:30-1-1:-201一卫丄0301-21-1-1-2-1:-10311:000-1:-1-2；13:00|_1+-10:-2-100:31-1-2:0-100:13E43001-20-1-10310-1-10-20130-1-1-2010030-2-1-

8、1-2-1-1031000-1-1-21300-10-2-10031-1-20-10013=0=0整体刚度方程4、位移边界条件处理u2u3E4uF、11v01u02v-FV2=V2u03v03u04v04=0U=03u45、方程求解,去除u=01U=0六个方程4得：31136、单元应力,u1v2F1-F2=(3F+F)2E22v=(F+3F)22E1=2F=E2F2F1Tr-2f2F100006=0000LEEJLEET6=v2u1设F=F=F贝y,122FE00-202010 xQ=ss=ELL020-20012F00002F-T=V0yT2LL10-1-101LLEE0_xyQ00-202

9、01-2F002F卜2F1xVqs6-ELL020-200IL001T=V+2FyT2LL10-1-101LEE0_=00平均应力丿axayTxy7-1试证明：在与三个主应力成相同角度的面上，正应力等于三个主应力的平均值。证：取坐标面与三个主平面重合，由题意l=m=n=吉由式(7-3),a=12G+m2G+n2G=土(a+a+a)127-2解：1)8=Qu=axQx1Qv78=byQy2QwY=+=yzQyQzdvQw=cQzQudw=+=a+cQzQx31QvQu7Y=+=b+axyQxQy122)平面方程Ax+By+Cz+D=0，按题意平面上任一点(x,y,z)位移到(x+u,y+v,z+

10、w)彳弋入万程后仍是平面万禾呈(A+a+b+c)x+(B+a+b+c)y+(C+a+b+c)z+(D+a+b+c)=0111222333000Aix+By+Ciz+?咒即二平面的交线Ax+By+Cz+D=02i223)设直线方程：4c+b23yx变形后，按2)得二个新的平面的交线，仍为直线4)二个平行平面：Ax+By+Cz+Di=0法线的方向数ABC。点(x,y,z)用Ax+By+Cz+D=02(x+u,y+u,z+w)代替整理后，二平面的法线的方向数仍相同，即平行。由此推论：正平行六面体变形后成为斜平行六面体(由于yyy的存在单元体变斜)xyyzzx把二平行线定义为二平行平面的法线，变形后按4)二新的平行平面的法线仍平行园球面方程x2+y2+z2=a2，点(x,y,z)用(x+u,y+u,z+w)代入可得形如Ax2+By2+Cz2=a2的方程，即椭球面。iii8-5解：按(8-