3关于三维调和向量场的完备的数学观念

1、第五节关于三维调和向量場的完备的数学观念内容提要：随便翻开一本流体力学教科书，便可发现在那里只给出了二维流函数的解析表达式。关于三维流函数只有它所滿足的偏微分方程而未能给岀三维流函数的解析表达式。有些学者（例如,J.贝尔）企图解决三维流函数问题，但是由于缺乏应有的数学工具而不得要领。在超变函数论产生后，就为三维向量場的完备理论提供了新的数学工具。本文将应用这些新的数学工具重点对J.贝尔（多孔介质流体力学的作者）的理论提出修正的意见，并且由此引发出三维调和向量場的完整理论的数学观念：场中存在三个度（散度、旋度、副沖量度）；三个函数（势函数、流函数、副冲量函数）；三个曲线（流线、涡旋线、副冲量线）

2、；由等势面族、等流面族及等副沖量面族构成了三维向量场中的“屋式网格”（由正交的曲面围成的六面体），它对研究三维向量场的意义就如同用“流网”研究二维向量场一样的重要。关键词：势函数，流函数，副沖量函数，比流量及比流量势，比势量，比冲量分类号：0174前言目前数学上关于三维向量场的认识存在工具上的不足而难得深入和全面。人们借助于多种工具企图去解决三维向量场的诸般问题。但是，只要认识不到在三维向量场中存在副冲量度vdbiA及相应的副沖量函数，对三维向量场的认识就不会是完备的。我们在这里先提出一个对称性原则。就是说，二维向量场有散度和旋度；这两个度分别对应两个（共轭）调和函数，即流函数和势函数;流函数

3、和势函数又满足基于“二元数”上的复变函数的解析（C-R）条件，这就是我们所说的对称性；到了三维向量场这里，理应存在三个度及三个相应的函数。而且，这三个函数理应满足基于“三元数”上的超变函数的解析条件，如此才是对称的。但是，目前数学对三维向量场的上述的对称性尚未认识清楚。在下面的行文中，我们将从数学上给出三维向量场的完备理论。在那里，现实与宇宙通则是和谐的。本文重点讨论了三维调和向量场的“屋式网格”，它是二维调和向量场的“流网”概念的推广。“屋式网格”是超变函数论在物理学的应用上的重要结果，在其上可以对三维向量场作全面的研究。应该说，我们的工作得益于J.贝尔先生的研究成果，是从J.贝尔成果中吸取

4、了其合理因素才引出了“屋式网格”的概念。不同的是在J.贝尔先生那里缺少副冲量函数的概念。此外，由于副沖量度的存在，使我们得以揭示湍流的形成机理；还可使我们有理由在麦克斯威电磁（微分）方程组中补充与坡印亭向量的副冲量度有关的概念，从而可以给出“波粒二重性”的统一表达。对此，我们将在以后时间里与数学、物理界的学者进一步地共同研究这个课题。1.二维向量場在数学上是完备的这说明Adx+Ady是势函数xy设有二维向量場A=Axi+Aj在平面某区域内，rotA=4x=0时,QxQy*(x,y=fMAdx+Ady的全微分。因而有M0 xyQyy1）QAQA当在该区域内,divAx+a=0时QxQy这说明Ad

5、x+Ady是流函数yx屮(x,y=fMAdx+Ady的全微分。因而有M0y些A,Qxy互-AQyx2）3）Q申_Q屮Qx比较（1），（2）于是可知，在无源无旋平面向量场中，可由rotA_0得出势函数*（x,y），又可由TWS-WW8SdW8STWWdivA_0得出流函数屮（x,y）且流函数和势函数是共轭调和函数。换句话说，在平面（调和）向量场中，存在有流函数和势函数，它们满足复变函数论中的C-R条件。在这里表现出复变函数论与场论的密切联系。等势线-C-c，和流函数线屮-k,屮-k.，构成平面流动的特征网，即流1212网。在流网上，可以得到dydy（dxh（臥打_k_-1，也就是说流线与等势线在

6、它们的交点处是正交的（图1）。根涺不可压缩理想流体的平面无旋流动中，动能、压力差、位势能之和恒定的原理，将流函数和速度势结合运用，可以分析流速、压力平面的分布规律。又由于流函数及速度势函数都滿足垃普垃斯方程(即为调和函数)，而调和函数滿足线性叠加性，故简单的平面无旋流动可以叠加为复杂的平面无旋流动。由于(3)的关系，平面向量场又可借用复变函数论的方法处理向量方法难于处理的问题，例如：保角映射，边值问题。如此，研究二维向量场的数学工具就很完善了。2。三維向量場的数学基础设有向量場A=A(x,y,z)i+A(x,y,z),j+A(x,y,z)k，我们仍然使用下面的对照xyz表来说明目前关于三维向量

7、场的理论的不完善性：物理量环量(r)通量(N)冲量(H)积分形式fAdLLffAndS工fffApdvQrrr引出的积分类型fAdxxfAdyyfAdzzLffAdydzxffAdzdxyffAdxdyzEJJJ(Adz-Ady)dydzyzfff(Adx一Adz)dzdxzxQfff(Ady-Adx)dxdxyQ微分形式rotA=ijkddddxdydzAAAxyzdAdAdAdivA=x+y+z-dxdydzvdbiA=(?)相应的定理斯托克斯公式AtdL=JJrotAdSL为ffAHndSdivAdv为QfffAPdv=ffff(?)droQO相应的函数势函数u=JMAdx+Ady+AM

8、0 xyz流函数dz(?)v=(?)副冲量函数w=（?）这张表的全部内容反映了三维向量场的对称性，也可以说是其理论的完备性。我们在超变函数论与场论的关系一文中已经解决了这些问题，即三维势函数u=JMAdx+Ady+AdzM6xyz6及副冲量函数w(x,y,z)二J(A-A)dx+(A-A)dy+(A-A)dz4）（5）M0有了势函数和副冲量函数，yxzyx再根据超变函数的解析条件可有下面的（6式）v(x,y,z)=i(M0dwdududw、，zdwdu)dx+(-dydzdzdxdudwdwdu石去)dy+(东dydudw)dz,此即dxdy三维流函数的解析表达式（见文献3）。如果在向量场A中

9、恒有divA=0,rotA=0,vabA=0,则称此向量场为调和场。在三维调和場中势函数u、流函数V、副沖量函数w,滿足超变函数的解析条件（见文献1及3）dvdwdwdvdydzdydzdwdududwdydzdydzdudvdvdudydzdydzdvdwdwdvddxdzdxdwdududwdzdxdzdxdudvdvdududvdwdwdvdzdxdydxdydv_dwdududwdzdxdydxdydw_dudvdvdudzdxdydxdy7)dxdydzijkdddrotA=dxdydzAAAXYZvdbiAd(A-A)-(A-A)dyYXdzXZ其中dAdAdAdivA_x+y+z

10、i+(A-A)-(A-A)kZYdddxXZdydd(A-A)(A-A)jdzZYdxYX_(8)iddxA-AZYddyAAXZkddzAAYX3。对三维调和向量场的完善认识复变函数论与平面向量场的和谐性一到了三维空间就不见了。有的物理学家甚至宣布说，不存在三维流函数！但是，人们已经看到：应用超变函数论我们不但证明了三维流函数的存在性，而且给出了三维流函数的解析表达式。流体力学的理论中(就二维平10)面场而论)说，根据不可圧缩理想流体的平面二维无旋流动中动能、压力差、位势能之和恒定的原理，再将流函数和势函数结合运用，可以分析流速、圧力平面的分布规律；又说，二维流动中通过两条流线间単位厚度的体

11、积流量等于两条流线上流函数之差。可见，有了三维流函数的解析表达式，它对研究流速场的意义是多么重大(见文献7)。至于，人们尚未使用的副冲量函数，它对流体场将有什么作用，就是个更加有意义的新工具。本文中，作者将使人们看到，三维副冲量函数的发现将使关于“场”的理论发生原则性的变化。为此，首先我们给出下面的定理。定理1：在某空间单链域内超变函数f(Q)二U(x,y,z)+iv(x,y,z)+jw(x,y,z)二u+iv+jW的解析条件(7)与在该域内可微的三曲面U(x,y,z)、v(x,y,z)、w(x,y,z)的正交条件等价。证明：由解析几何学知，可微的三曲面u(x,y,z)、v(x,y,z)、w(

12、x,y,z)，保持序向的正交变换的充要条件恰好为解析函数f(Q)二U(x,y,z)+iv(x,y,z)+jw(x,y,z)二u+iv+jw的解析条件(7)，定理自然得证。这个定理说明，在三维调和向量场中存在的流函数、势函数、副冲量函数是正交的。换句话说，等流面、等势面、等副沖量面三者在三维空间内构成一组“屋式网格”，构成各网格的界面皆正交。现在，我们将讨论这三个曲面的交线。为此，先看一下J。贝尔在多孔介质流体动力学中是如何认识三维流线的。J贝尔认为空间流线是两个流面九二九(x,y,z)=constX=X(x,y,z)=const的交线。交线上任一点的切线方向即为流速方向(图2)，这条交线即为流

13、线。它满足微分方程组9)dxdydz=一AAAxyzdxdydz对于方程=，J贝尔在多孔介质流体力学(见文献4)中给出了一个AAAxyz结果：创。九dx。九3/3x3y3z3z3y,3y3z3x3x3z33九3/3九3/3z3x3y3y3x(10)式中的是比流量势，并且q二-grad，其中，比流量q=grad咒xgrad九=xyz可以发现（10）式类似于超变函数的解析条件（7）中的三个方程：(7-2)(7-5)(7-8)dv_dwdududwTOC o 1-5 h z,dxdydzdydzdv=dwdududwdydzdxdzdxdv=dwdududw,dzdxdydxdy比流量势“实际上就是

14、超变函数中的流函数v，在差一个负号時比流量就是向量。故，按照我们的符号，比流量q=-gradwxgradu但是J贝尔认为空间流线是两个流面九=九（x,y,z）=constX=X（x,y,z）=const的交线。这显然是个错误的的概念。为什么？我们知道，在平面（调和）流场中，任两条等流线是不会相交的；同样，在三维（调和）流场中，任意两等流面也不会相交。这一明显的错误，反映了物理学的困惑，即目前的流体力学、空气动力学、电磁力学等等学科不知道在三维向量场中存在副冲量函数，故而才产生了j.贝尔式的错误。其实，如果视九=九（X,y,Z）=COnSt为势面，X=X（X,y,Z）=COnSt为副冲量面（图4

15、）就一切都合理起来了。此时，图6中J.贝尔流管就应是由一对势面和一对副冲量面围成.众所周知，在二维（调和）流场中由等势线和等流线围成的“流网”（对研究二维流场的性态）是个重要的工具；现在，当我们为三维（调和）流场补充了副冲量面后就可以由一对流面、一对势面和一对副冲量面围成“屋式网格”。“屋式网格”必将成为研究三维流场的性态的重要工具。我们对J.贝尔理论的开拓性认识就始于这一“屋式网格”。实际上，“屋式网格”是由三个管（流管、势管及副冲量管）正交而成。J贝尔只研究了流管，现在对势管及副冲量管做相应的研究将会得出什么结果呢？让我们对此作如下的分析：由流体力学知，涡旋线是这样一条曲线（在定常流动中）

16、：这条曲线上的毎一点的切线与位于该点的流体微团的涡量W的方向相同（图3），其微分方程组为dxdydz=一(11)wwwxyz其中，x为流速场的旋度。图2图3W=w(x,y,z)i+w(x,y,zj+w(x,y,z)k图4由J贝尔的方法，涡线(我们也称其为势线)微分方程组(11)可以给出下列结果:笫一，涡线是流面与副冲量面的交线；第二，由此可得dudvdwdwdvdxdydzdydzdudvdwdwdvdydzdxdzdxdudvdwdwdvdzdxdydxdy(7-1)(7-4)(7-7)可以引入势函数的梯度向量：P=-gradu，称p=-gradvxgradw为比势量。其实在相差一个负号時，

17、比势量现在，我们对流体力学要补充一个定义：定义1：副冲量线是这样一条曲线，这条曲线上的每一点的切线与位于该点的流体微团的副沖量度R方向相同(图2,不过此处视图中曲线是副沖量线而已)，其微分方程组为dxdydzRRRxyz其中R=vdbiA=R(x,y,z)i+R(x,y,z)j+R(x,y,z)kxyz为流速场的副沖量度。同样，按J贝尔的方法，由微分方程组(12)可以得出下列结果:第一，副冲量线是势面与流面的交线；第二，由此可得dw_dudvdvdudxdydzdydz(73)12)dw_dudvdvdudydzdxdzdx(76)dw_dudvdvdudzdxdydxdy(79)就是向量可以

18、引入副冲量函数的梯度向量（并且称其为比冲量）T=-gradw，其中比冲量T二一graduxgradv。在相差一个负号時，其实比冲量就是向量dwdwdwdx內dz由以上的叙述，可得定理2：在三维流速调和场内的任一点处存在正交的三条曲线：涡线（或说是势线）、流线、副沖量线及比流量、比势量、比沖量三个向量。以上所述是我们对三维流速场（更一般说是三维调和向量场）给出的完善的数学认识场中存在三个度（散度、旋度、副沖量度），三个函数（势函数、流函数、副冲量函数），三个曲线（流线、涡旋线、副冲量线）。由等势面族、等流面族及等副沖量面族构成了三维向量场中的“屋式网格”（由正交的曲面围成的六面体），它对研究三维

19、向量场的意义就如同用“流网”研究二维向量场一样的重要。对J.贝尔理论的修正结果,即在他给出的比流量概念的基础上很自然地拓广出比势量、比副冲量的概念，而且自洽而和谐地进入超变函数论的领域。即，由J.贝尔的比流量及拓广出的比势量、比副冲量等概念所得之九个偏微分方程怡好就是超变函数的解析条件这不但为三维流场提供了完善的理论，而且又反证了超变函数论体系的正确性及其广泛应用的实践意义。现在我们将对“屋式网格”做进一步的研究。回忆一下有关二维向量场的“流网”概念想必是有益的。因为在“流网”上，我们可以分析场中任何一个局部处的势函数与流函数以及由它们引出的各样的物理问题。设有二维向量場a=ai+AjxyTO

20、C o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark72 o Current Document ,QAQAc在平面某区域内，rotA=A=0时，这说明Adx+Ady是势函数申（x,y）= HYPERLINK l bookmark116 o Current Document QxQyxyJMAdx+Ady的全微分，即d=Adx+Ady；Mxyxy0QAQA当在该区域内，这说明-Adx+Ady是流函数yxdivA=+斗=0时，QxQy即d屮(x,y)=Adx+Ady。yx屮-屮=JM-Adx+Ady的全微分,BAMyx0众所周知，在二维向量場Ai+Ayj中，穿过场中曲线AB的通量及沿着

21、AB的环量分别为N=JAdyAdx=Jd=屮屮xyABABr=JAdx+Ady=JdxyBA13)AbAb二一BA我们在“流网”上（见图5）继续讨论上式的意义。设A、B为两条流线屮,屮上的两个点（为简化起见，A、B两点也为等势线，上的212两点），Ab表连结这两点的任意曲线弧，则由（13）式知，在无源、无旋场中穿过弧Ab的流量过n=屮-屮；沿着Ab的环量r=-。也就是说，二维流动中两条流线间BABA单位厚度通过的体积流量就等于该弧两端点上流函数值之差；同样，沿Ab弧上的速度环量就等于该弧两端点上速度势之差。二維流场中这一和谐的概念，推广到三维（调和）向量场時是否仍然如此地和谐呢？回答是肯定的。

22、j贝尔在多孔介质流体力学中讨论了三维流函数的物理意义。为此，他给出了由四个流面构成的空间流管（见图6，这里仍保畄原文的各个记号）。图6中阴影部分表空间流管的橫截面（在垂直于流线的曲面上）的面积dS,通过该流管的流量为Q=一口q-dS;dS=dvdpsin9;(As)图6,grad九=q=grad%grad九|sin9;Q=空厶乜sin29dvd卩dvsin9d卩sin9（As）=_f九zzd咒dX=-A/AX=-（X-X）（咒-x）2121Xx（14）如何评价J.贝尔关于三维流函数的物理意义的上述观点呢？前已叙及,在流体不可圧缩的空间内,任两流面是不能相交的。因而构成三维流管的四张曲面应该是一

23、对等副沖量面w（J.贝尔用的符号是x,且把它也视为流函数）和一对等势面u（J.贝尔用的符号是久，且也把它也视为流函数）。这与J.贝尔观点有原则性的差别。J.贝尔是在曲面斜交的情况下做推导的由于J.贝尔不知道在三维向量场中尙存在副冲量函数，因而就不可能研究三维势量管及三维副冲量管及其连带的物理意义。我们现在是在曲面正交的情况下（在曲线坐标系中）给出下面的论述。为此，首先给出如下的定义2：称由两等势面和两等副冲量面围成的管状体为空间流管；称由两等流面和两等势面围成的管状体为空间副冲量管；称由两等流面和两等副冲量面围成的管状体为空间势量下图中，曲面ABCD及EFGH为一对等势面；曲面ABEF及CDH

24、G为一对等副沖量面；曲面ADHE及BCGF为一对等流面。由于这三个曲面互相正交，故而我们可以如图示的那样按排各对曲面，并且可以选用曲线坐标系（图7）。相互正交；相应地，各坐标曲面也互相正交。我们用e,e,e依次表示坐标曲线上的切线单位向量，其正方向分别指向q,q,q增加的一侧。123123在曲线坐标系的有关结果中，我们（按下面叙述的需要）摘录如下的内容：数性函数U（q,q,q）的挮度gradU在坐标曲线q,q,q上的切线单位向量上的投影为123123gradUe1auH3qII,gradU=e21auHdq22,gradU=e31auHaq3315)其中Hi，H2,H3是拉梅（Lame）系数。

25、1.在正交曲线坐标系中，体积单元dV=HiH2Hdqdqdq；面积单元分别为3123dS1=HHdqdq；1212dS2=H2H3dqdq；dS3=H1H3dq1dq32232331313aU2.在曲线q上，对任一数性函数U,有dU=-1aq1dq；同样可有dU=dq及1aq22dUauaq3dq316)在以上引用的曲线坐标知识后，我们就可以纠正J.贝尔们的错误，并把相关的理论加以拓广。在此要说到的是，今后一切符号的意义都与超变函数论中的符号保持一致。先在图7的曲线坐标系中，重新计算通过流管（由一对势面ABCD、EFGH及一对副冲量面ABEF、DCGH围成）横截面的流量：N=口qdS；ds=H

26、Hdqdq；331313众所周知对任一数性函数U,因在坐标qi上dq2二dq3-0所以从而dU=QUQsQuQq1dq11QUgradUe1Qq1dU1QUQsHQq11同理,有graddU1QUe2QsHQq22gradU=e3dUQs1QUHQq33于是,gradU=QU1QUQUHQq11HQq22HQq33(17)又要注意下列事实：（1）J.贝尔的q二-gradQ,其中Q为比流量势;在超变函数论中q二-gradv，其中v为势函数;（2）J.贝尔的Q二-JJqdSS中q=grad咒xgrad九且q指向s的外部（见J.贝尔给JJq-dSS;时，要求q指向屋（As）出的示意图（图6）；而超变

27、函数论中在做积分Q=（As）式网格内部（见后面图7,卩对应于ee?i，x对应于e萝2,“对应于ee；卩=工刘）我们说过，应视九=九（x,yz）=const为势面eu，z=z（兀yz）=Et为副冲量面潜121于是，应有比流量q=gradwxgradv（3）式中，dS=eds，而e方向垂直于流面；As表积分曲面为ADHE面32323定理3：在三维调和场内通过“屋式网格”每一格的势量等于两等势面的值差与两副冲量面的值差之积；通过“屋式网格”每一格的副冲量等于两流面的值差与两势面的值差之积；通过“屋式网格”每一格的流量等于两流面的值差与两副沖量面的值差之积。证明1：（仿J.贝尔的（14）式）在我们这里

28、因q=一gradwxgradv，所以Q_UqdS=(As)=JJgradwxgradv-dSS;S;3(As)则由J.贝尔的结果且考虑我们使用的是正交坐标系，那么J.贝尔的|q|=grad別grad九|sin9;grad咒=d九1d卩sin9dS二dvd卩sin9分别对应于我们的（sin9=1）gradwxgradv=|gradw”gradvgradw=e1dw_1dwdeHdq111dv1dve3deH33N=JJ1dWHdqAS311dWdV=.JJdqdqAS313故有1dqdq13dvdq3dV一HHdqdqHdq131333；ds=HHdqdq31313dwdv_-AwAv_(w一w

29、)(v一v)121wv定理的另两个结论同样可证。证明2：现计算(gradwxgradv)xdS对照(17)式gradw1dw1dw1dwe+e+eHdq1Hdq2Hdq3112233gradv_1dv1dv1dve+e+eH1dq11H2dq22H3dq33又,dS_eds231dw1dvgradwxgradv=(-HdqH223dq31dw1dve+(HdqHdq1H332231dw1dvdqHdq3111dwHdq111dv1dw1dve+(Hdq2Hdq3311所以Hdq22dwds21dvHdq)11(gradwxgradv)xdS3dv1dwdqHdq3111dwHdq11dvdS3

30、3Hds3于是q(As)dvAS1dw1HdqHdq33111dwHdq111dvHdq)33HH13dqdq13dwdvdqdq31对(18)式的往下的计算使用了二重积分换元法设两个函数所从，N=ASdwdv)dqdqdqdq131318)让我，们回忆一下：x二x(u,v),y二y(u,v)在区城D上有到区域D的换元积分公式JJf(x,y)dxdy=JJf(x(u,v),y(u,v)D其中，现在,且若故,D，雅可比式J(u,v)黎Tdxdudvdvdq1dq3dwdwdq1dq3Ddwdvdwdv-=dqdqdqdq3113(19)中右端的函数恒为1.则知,ASdwdvdqdqdqdq31d

31、xdvdydvdudv19)=J(q1,q)d(v,w)d(l,q)13上被积函数(即左端的函数)也为1dwdv)dqdq=JJdvdw1313Dv申vw申w故N=丁丁dvdw=AVAW=(V-V)(W-W)(20)2121vw(20)式告知，通过“屋式网格”每一格的流量等于两流面的值差与两副沖量面的值差之积。同样方法可以计算通过副冲量管(由一对势面ABCD及EFGH及一对流面ADHE、BCGF围成)中橫截面的沖量：K=一TdS；dS=HHdqdq；222323AS2其中，比冲量T=-graduxgradv冲量AS2K=ddvduwu=AvAu=(V-V)(U-U)(21)2121式中dS=e

32、ds；而e方向垂直于副冲量面；As表积分曲面为ABFE面.21212(21)告知，通过“屋式网格”每一格的副冲量等于两流面的值差与两势面的值差之积.同样方法可以计算，通过“屋式网格”每一格的势量等于两等势面的值差与两副冲量面的值差之积通过势量管的势量等于构成该管的两等势面的值差与副冲量面的值差之积。q=UpdSTdS=(U-U)(W-W)(22)132121AS1式中，p=-gradvxgradwdSdS=eds，而dSe的方向垂直于势面；As表积分曲面为EFGH面.1331331以上所述，也就是我们在所谓的“屋式网格”上可以进行的全部工作。退化到平面，因势量Q、流量N与副冲量函数无关，所以可

33、以在(22)式及(20)式中取第二个因子(W-W)=1。这就与上述的二维向量场的(13)式的计算结果一致。这就说21明，上述理论是合理的。例题1：对给定的向量场如何计算三个函数。设有向量场A=i+2f+3k,可以检验该向量场为调和场。即divA=生+dx丝+=0dydzrotA=iddxAXddyAYkddzAZvdbiA=IddxA-AZYddyA一AXZkddzA一AYX=0于是，u=JMAdx+Ady+Adz=JM6xy6 HYPERLINK l bookmark110 o Current Document dududxdyw(x,y,z)JM(AM0zmdx+2dy+3dz二x+2y+

34、3zzM6譽=3；又dz一A)dx+(A一A)dy+(A一A)dz=yxzyxJMdx2dy+dzx2y+z+d，其中M6dwdwdw1-21。从而dxdydzv(x,y,z)JM(M0dwdudydzdudwdwdu)dx+(dydzdzdx+c,其中dudwdwdu石忘)dy+(瓦石dudw冻石)dz=JM(-6-2)dx+(1-3)dy+(2+2)dz-8x-2y+4z+eM6上面三式中的c、d、e为任意常数。如此，该调和场的势函数、副沖量函数、流函数就求出来了。下面可以知道，这三个面是正交的。亊实上，势面u、副沖量面及流面的的法向量分别为n=1,2,3、n=1,-2,1n=-8，-2,4，容易验证它们相互正交。