2022年HPM视角下数学归纳法的教学设计

1、学习必备 欢迎下载数学归纳法的教学设计数学 123 班 朱婷婷 2022210726 一、教材分析本节课是人教版教材高中数学选修2-2 其次章 2.3 第 1 课时的内容； 数学归纳法是以解决与正整数有关问题的一种推理方法,它将一个无穷归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程, 是证明与正整数有关问题的有力工具；在高一数列的学习中, 同学已经学习了用归纳法推导等差数列、等比数列的通项公式, 但其正确性仍有待用数学归纳法加以证明,因此数学归纳法学习是数列学问的深化与扩展；它既是高中代数中的一个重点和难点内容,也是一种重要的数学方法；二、学情分析同学通过其次章前两节的学习, 已基本把握归纳推理, 且已

2、经具备了肯定的 观看、归纳、猜想才能；另外高二同学经过了一年半的高中学习之后,已初步具有了发觉和探究问题的才能,这为本节学习数学归纳法奠定了肯定的基础；三、教学目标1、学问与技能 1 明白数学推理的常用方法（归纳法）；2 明白数学归纳法的原理及使用范畴；3 初步把握数学归纳法证题的两个步骤和一个结论；4 会用数学归纳法证明一些简洁的与正整数有关的数学命题；2、过程与方法 通过对归纳法的复习,说明不完全归纳法的弊端,并通过多米诺骨牌试验引出数学归纳法的原理； 在学习中培育同学探究发觉问题、提出问题的意识, 解决问题和数学沟通的才能 , 学会用总结、归纳、演绎类比探求新学问；3. 情感态度价值观目

3、标（1）通过对数学归纳法原理的探究,培育同学严谨的、实事求是的科学态度和 不怕困难,勇于探究的精神；（2）努力创设课堂愉悦情境,使同学处于积极摸索、大胆质疑氛围,提高同学 学习的爱好和课堂效率；学习必备 欢迎下载教学重点和难点重点：（1）使同学懂得数学归纳法的实质；（2）把握数学归纳法证题步骤 的运用；难点：, 特别是递推步骤中归纳假设和恒等变换（1）对数学归纳法原理和递推思想的懂得；（2）如何利用假设证明当 n=k+1 时结论正确；四、教学方法讲授法、引导发觉法、类比探究法、讲练结合法五、教学工具黑板、粉笔、 PPT课件,传统板书与多媒体帮助教学相结合；六、教学过程（一）创设情境,引出课题

4、情境一：费马猜想（不完全归纳法）师：在本章前两节内容中我们学习过不完全归纳法与完全归纳法,那么老师 先请同学们来观看一下下面这组数： 1640 年,法国数学家费马观看到这些数都是质数,于是他提出猜想：任何形如（nN* 的数都是质数, 这就是闻名的费马猜想； 这个猜想是正确的吗？同学摸索运算；学习必备 欢迎下载师：其实在费马猜想提出半个世纪以后,另一位数学家欧拉发觉 n=5 时,F5 =2 2 =4294967297=641 6700417 不是质数,从而推翻了费马猜想；（说明不完全归纳的结论是不行靠的,进而引出其次个问题）情境二：华罗庚的“ 摸球试验” （完全归纳法）师：我们再来探究一下华罗庚

5、的“ 摸球试验” ；（1）这里有一袋球共 12 个,我们要判定这一袋球是白球,仍是黑球,请问 怎么判定？启示回答 : 方法一：把它全部倒出来看一看；特点：方法是正确的,但操作上缺乏次序性；方法二：一个一个拿,拿一个看一个；比如结果为： 第一个白球, 其次个白球, 第三个白球, ,第十二个白球,由此得到：这一袋球是白球；特点：有次序,有过程；（2）假如想象袋子有足够大容量,球也无限多？要判定这一袋球是白球,仍是黑球,上述方法可行吗？生：不行行； 利用完全归纳法得出的结论是牢靠的,但对于解决与正整数有关的问题却无法 完成；）总结：通过前面两个例子, 使我们进一步熟识到用不完全归纳法得出的结论,因

6、为只考察了部分情形, 结论不肯定具有普遍性； 要想正确的解决一个与正整数有 关的问题,就牢靠性而言,应当选用完全归纳法；现在请同学们想一想,在以前 给出的数学公式中,有没有用不完全归纳法得出的？生：有；例如等差数列通项公式的推导；a3师：很好；我们是由等差数列前几项满意的规律:a 1a 10d,a2a1d,a 12d,a4a 13 d, 归纳出了它的通项公式的；等差数列的通项公式也是由有限个特别事例归纳出来的,也可能不正确,又由于正整数有无限多个,不行能一一验证,那么该如何证明这类有关正整数的命题呢？（追问引出课题：学习必备 欢迎下载数学归纳法）师：其实这种方法来源于生活,请同学们看多米诺骨牌

7、的视频；情境三：播放多米诺骨牌视频 问：怎样才能让多米诺骨牌全部倒下？设计意图：第一通过两个数学史上出名的归纳法案例探究激发同学的爱好,调动同学学习的积极性； 回忆等差数列通项公式推导过程点出两种归纳法的不同 特点；通过梳理我们熟识的一些问题, 很自然为本节课主题与重点引出打下伏笔；最终顺势用多米诺骨牌引出数学归纳法,并揭示数学归纳法的原理；（二）师生合作,探究新知 探究一：让全部的多米诺骨牌全部倒下,必需具备什么条件？条件一：第一张骨牌倒下；条件二：任意相邻的两张骨牌,前一张倒下肯定导致后一张倒下；（此问题由同学合作沟通完成,必要时,老师重新播发视频或赐予提示；）探究二：同学们在看完多米诺骨

8、牌视频后,是否对证明等差数列的通项公 式有些启示？ （证明此题对任意正整数都成立相当于验证让骨牌全部倒下的条 件）通过以上合作沟通, 以及使骨牌全部倒下的两个条件,此时,师生共同探究 得到解决引例的方法：（1）第一块骨牌倒下相当于证明当n=1 时,命题成立；（2）对于任一块骨牌倒下相邻的后一块也倒下,相当于当 n=kk1,k N*时命题成立,证明当 n=k+1 时命题也成立；师：（投影）证明 an=a1+n- 1d：n（1）当n1时,左边a ,右边a 10da1,等式是成立的；（2）假设当nk时等式成立,就是aka1k1d,下面看看是否能推出k1时等式也成立,那么ak1等于什么？1d；生：由a

9、ka 1k1d可得ak1a1k1 师：看来nk1时等式也成立,这样做对吗？生：（齐答）不对；学习必备 欢迎下载师：用数学归纳法证明数学命题时,难点和关键都在其次步, 而这一步主要在于合理运用归纳假设,即以“n=k 时命题成立” 为条件,证明“ 证 n=k+1 时命题也成立”；这里简洁显现的错误是证明中不使用“ n=k 时命题成立”这个条件,而直接将 n=k+1 代入命题, 便断言此命题成立, 从而得出原命题成立的结论；下面请同学们给出正确的证明过程；（同学齐答,老师连续板书）ak1akda1k1dda1k11d；这就是说,当nk1时,等式也成立,大家说有了这两步, 是不是就证明白等差数列通项公

10、式的正确性了呢？生：n=1 时等式成立n=2时等式成立n=3 时等式成立 所以 n 取任何正整数等式都成立；师：我再补充一点：完成第一步、其次步后,必需要下结论,其格式为：根据12 可知公式对任意nN*都成立 . 探究三：第一块骨牌不倒行不行？假如从其次块、第三块骨牌开头将骨牌推倒,结果会是怎样？ （第一块骨牌必需倒,才能让全部的骨牌倒下；假如从第二块或第三块开头倒,就只能让该块骨牌后面的全部倒下；）此问题说明第一块骨牌倒下对全部骨牌倒下的重要性,同时也说明在证明与正整数有关问题时, n0是使命题成立的最小正整数, n0不肯定取 1,也可以取其它正整数；（三）懂得升华,加深熟识师：（板书）“

11、数学归纳法”1、数学归纳法的原理：一般地,证明一个与正整数（1）（归纳奠基）证明当n 有关的命题,可按以下步骤进行：n 取第一个值 n0 n0N* 时命题成立；（2）（归纳递推）假设n=kkn0,kN* 时命题成立,证明当n=k+1 时,命题也成立；只要完成以上两个步骤,就可以判定命题对从n0开头的全部正整数n 都成立；上述方法叫做 数学归纳法 ；学习必备 欢迎下载2、数学归纳法的本质 ：无穷的归纳有限的演绎（递推关系）师：用数学归纳法证题时,两个步骤各起到了怎样的作用呢？生：第一步是命题递推的基础,其次步是命题递推的依据；师：回答的很好,我再强调一点：数学归纳法证题时这两个步骤缺一不行,只有

12、把两个步骤中的结论结合起来,才能肯定命题成立；设计意图： 至此,由生活实例动身, 与同学一起解析归纳原理 , 揭示递推过 程；老师强调数学归纳法特点； 数学归纳法实际上是一种以数学归纳法原理为依 据的演绎推理, 它将一个无穷的归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程,是处 理自然数有关问题的有力工具,一种具普遍性的方法；（四）错例辨析,突出重点 1、求证：全部的奇数都是 2 的倍数；证明：假设第 m个奇数为 k,且 k 为 2 的倍数,就第 m+1个奇数为 k+2,而 k+2 也是 2 的倍数,所以命题成立；2、用数学归纳法证明： 135 +2n-1=n2k1证明：（ 1）当n1时,左边1,右边2

13、11,等式成立；（2）假设当 nk （k1,kN*）时, 135 +2k-1=k2,那么：135 +2k-1+2k+1=12k11k1k12,就当n2时也成立；依据（ 1）和（ 2）,可知等式对任何n* N 都成立；注：对例 1,师先让同学争论一下数学归纳法中没有第一步行不行,进而说出这个例子,让同学懂得当nn 时,命题成立的重要性,没有第一步,就如同空中阁楼,是不行靠的；另外在例1 中,让同学明白假设是错误的,此处并不是把假设当作条件来用, 数学归纳法的其次步其实是一个条件命题,第一步已经验证是正确的, 假如有怀疑, 其次步中 k 可以取 n0,这其实是在证明一个传递性；对例 2,师第一说明

14、在利用数学归纳法证题时,当nk1时的证明必需利用 nk 的归纳假设,并用课本上的摸索题举例：即猜想证明an1 , 在 n得到a k1k11时必需要利用ak1这一步 ；然后请同学观看例2 并从中找出错k学习必备 欢迎下载误（其次步中的错误是没有利用n=k 的假设进行证明, 而直接利用了等差数列求和公式）,以增强同学对其次步的懂得；设计意图：通过对两个错误例题的分析, 加深同学对数学归纳法的原理的理 解,从而正确把握数学归纳法的两个步骤；（五）典例分析 例 1：用数学归纳法证明汉诺塔猜想；师：（板书）1、猜想： H（n= 2 n -1 2、证明：（1）n=1时,H（1）=1,明显命题成立；（2）假

15、设 n=k（k1,k N* 时, 命题成立,即 H（k= 2 k -1 ；就由 H（k）=2H（k-1 ）+1 得 Hk+1=2Hk+1=2 （ 2 k 1）+1= 2 k 11,即当 n=k+1 时,命题也成立；* 依据（ 1）和（ 2）,可知等式对任何 n N 都成立；注： 汉诺塔是依据一个传奇形成的一个问题：有三根杆子A,B,C；A 杆上有 n 个 n1 穿孔圆盘,盘不能叠在小盘上面； 提示：可将圆盘暂时置于B杆,也可将从A 杆移出的圆盘重新移回 A 杆,但都必需尊循上述两条规章； 问：如何移？最少要移动多少次？变量设置： n 为圆盘个数, H（ n）为移动盘子次数的最小值；递推公式：

16、H（n）=2H（n-1 ）+1 通项公式： H（n） =2n-1 例 2、用数学归纳法证明2 12 22 3 +n2n n12 n1nN*1,等式6证明：（ 1）当n1时,左边2 11,右边1 1 1 21 16成立；（2）假设当当n2kk,1kN*时,等式成立,即：k k12 k1,那么：2 12 22 3 +k61 22 23 22 +k 2 k1 2k k学习必备欢迎下载k1 212 k167k k12 k6 k1 k6k3226 k1k112k1 16 设计意图：通过典型例题使同学探究尝试, 体验“ 观看归纳猜想证明”的完整过程, 既能进一步熟识数学归纳法, 也能培育同学独立争论数学问

17、题的意 识和才能；师板书写现完整过程,以突出数学归纳法证题的一般步骤；（六）反馈练习,加深懂得1、证明：当自然数n1,3（ n3 +2n314n 11n 11）2、证明：当自然数n n4, 2 n. 113、证明：当自然数n,1223nn设计意图：通过这几个练习能看到同学对数学归纳法证题步骤的把握情形；这样既可以检验同学的学习水平,保证不盲目拔高,同时不冲淡本节课的重点,对例题是一个很好的对比与补充；（七）拓展练习,提高才能 习题 1、平面上有 n 条直线,其中没有两条直线平行, 没有三条直线交 于同一点；用数学归纳法证明：他们共有交点1 nn 1个；25n 个数习题 2、证明斐波纳契数列中的第3n 个数（ n 为正整数）都是偶数,第都能被 5 整除；（斐波纳契数列： 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, 从第 三项开头的每一项都是前面二项之和）设计意图：在同学初步把握数学归纳法后, 用两个较难的习题去拓展同学的 思维,提高他们的才能,更加巩固对数学归纳法的运用；（八）归纳小结,概念提升问：今日我们学习了一种很重要的数学证明方法,哪些收成？（同学总结,老师整理）通过本节课的学习, 你有学习必备 欢迎下载1、数学来源于生活 ,生活中有很多形如“ 数学归纳法” 这样的方法等着我们