2022年Matlab数学实验报告

1、Matlab 数学试验报告一、 试验目的通 过 以 下 四 组 实 验 , 熟 悉 MATLAB的 编 程 技 巧 , 学 会 运 用MATLAB 的一些主要功能、命令,通过建立数学模型解决理论或实 际问题；明白诸如分岔、混沌等概念、学会建立 Malthu 模型和 Logistic 模型、懂得最小二乘法、线性规划等基本思想；二、 试验内容 2.1 试验题目一 2.1.1 试验问题Feigenbaum 曾对超越函数y= sin （ 为非负实数）进行了分岔与混沌的争论,试进行迭代格式 xk+1= sin xk,做出相应的 Feigenbaum图 2.1.2 程序设计 clear;clf; axis

2、0,4,0,4; hold on for r=0:0.3:3.9 x=0.1; for i=2:150 xi=r*sin3.14*xi-1; end pause0.5 for i=101:150 plotr,xi,k.; end textr-0.1,maxx101:150+0.05,itr=,num2strr end 加密迭代后 clear;clf; axis0,4,0,4; hold on for r=0:0.005:3.9 x=0.1; for i=2:150 xi=r*sin3.14*xi-1; end pause0.1 for i=101:150 plotr,xi,k.; end en

3、d 运行后得到 Feigenbaum图2.2 试验题目二 2.2.1 试验问题某农夫有一个半径10 米的圆形牛栏,长满了草；他要将一头牛拴在牛栏边界的桩栏上, 但只让牛吃到一半草, 问拴牛鼻子的绳子应为多长？2.2.2 问题分析如以下图, E 为圆 ABD 的圆心, AB 为拴牛的绳子,圆 ABD 为草场,区域 ABCD 为牛能到达的区域；问题要求区域 ABCD 等于圆ABC 的一半,可以设 BC 等于 x,只要求出 a 和b 就能求出所求面积；先运算扇形 ABCD 的面积, 2a x2=2a 2,再求 AB 的面积,用扇形 ABE 的面积减去三角形ABE 的面积即可；2.2.3 程序设计 f

4、=inlineacosx/20*x2+100*pi-200*acosx/20-x*sqrt100-x2/4-50*pi; a=0; b=20; dlt=1.0*10-3; k=1; while absb-adlt c=a+b/2; if fc=0 break; elseif fc*fb0 a=c; else b=c; end fprintfk=%d,x=%.5fn,k,c; k=k+1; end 2.2.4 问题求解与结论 k=6,x=11.56250 k=7,x=11.71875 k=8,x=11.64063 k=9,x=11.60156 k=10,x=11.58203 k=11,x=11.

5、59180 k=12,x=11.58691 k=13,x=11.58936 k=14,x=11.58813 k=15,x=11.58752 结果说明,要想牛只吃到一半的草,拴牛的绳子应当为 11.6米；2.3 试验题目三 2.3.1 试验问题饲养厂饲养动物出售,设每头动物每天至少需要700g 蛋白质、 30g矿物质、100mg 维生素；现有 5 种饲料可供选用,每种饲料每千克所 含养分成分含量及单价如下表；试确定既能中意动物生长的养分需 要,又可使费用最省的选用饲料的方案；饲料蛋白质 g 矿物质 g 维生素 mg 饲料A1 0.2 3 1 0.5 A2 2 0.5 1 0.7 A3 1 0.2

6、 0.2 0.4 A4 6 2 2 0.3 A5 18 0.5 0.8 0.8 五种饲料单位质量（1kg）所含养分成分2.3.2 问题分析与模型建立设 X j j=1,2,3,4,5表示饲料中所含的第j 种饲料的数量；由于供应的蛋白质总量必需每天中意最低要求 70g,故应有3X 1+2X2+1X3+6X 4+18X5700 同理,考虑矿物质和维生素的需求；应有1X 1+0.5X2+0.2X3+2X 4+0.5X530 0.5X1+1X 2+0.2X3+2X 4+0.8X5100 期望调配出来的混合饲料成本最低,故目标函数 f 为f=0.2X 1+0.7X2+0.4X3+0.3X4+0.8X5当

7、来对决策量 X j 的要求应为非负；所以该饲料配比问题是一个线性规划模型Min f =0.2X 1+0.7X 2+0.4X3+0.3X 4+0.8X 53X1+2X 2+1X 3+6X4+18X5700 1X1+0.5X2+0.2X3+2X 4+0.5X 530 0.5X1+1X 2+0.2X3+2X 4+0.8X 5100 X j0,j=1,2,3,4,5 2.3.3 模型评述一般的食谱问题可表达为：设有 n 种食物,每种食物中含有 m 种养分成分；用 ija 表示一个单位的第 j 种食物中含有第 i 种养分的数量,用 ib 表示每人每天对第i 种养分的最低需求量, jc 表示第j 种食品的

8、单价, jx 表示所用的第j 种食品的数量,一方面中意m 种养分成分的需要同时使事物的总成本最低；性规划模型为一般的食谱问题的线这类线性规划模型仍可以描述许多诸如合理下料、最小成本运输、合分派任务等问题,具有很强的代表性；2.3.4 模型运算将 该 问 题 化 成Matlab 中 线 性 规 划 问 题 的 标 准 形 式Min f=0.2X 1+0.7X2+0.4X3+0.3X4+0.8X5-3X 1-2X 2-1X 3-6X 4-18X5-700 -1X 1-0.5X2-0.2X 3-2X 4-0.5X5-30 -0.5X 1-1X-0.2X 3-2X4-0/;.8X 5-100 j0,j

9、=1,2,3,4,5 由 MATLAB 软件的编辑器构作 c=0.2,0.7,0.4,0.3,0.8; m 文件 LF 如下：a=-3,-2,-1,-6,-18;-1,-0.5,-0.2,-2,-0.5;-0.5,-1,-0.2,-2,-0.8; b=-700,-30,-100; lb=0 0 0 0 0; ub=; aeq=; beq=; x,fval=linprogc,a,b,aeq,beq,lb,ub 在 MATLAB 命令窗口键入 LF,回车,运算结果显示如下 x= 0.0000 0.0000 0.0000 39.7436 25.6410 fval = 32.4359 其结果显示 x1

10、=0 x2=0 x 3=0 x 4=39.7436 x5=25.6410,就表示该公司分别购买第四种第五种饲料39.7436kg, 25.6410（kg）配成混合饲料；所耗成本 32.4359（元）为中意养分条件下的最低成本；2.3.5 模型摸索：线性规划的本质特点 一. 目标函数是决策变量的线性函数 二. 约束条件是决策变量的线性等式或不等式,它是一种较为简洁 而又特殊的约束极值问题；三. 能转化为线性规划问题的实例许多如：生产决策问题,一般性 的投资问题,地址的选择,运输问题等等；2.4 试验题目四2.4.1 试验题目描述1790 年到 1980 年各年美国人口数的统计数据如下表：年份17

11、90 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 统计3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 年份1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 统计62.0 72.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 试依据以上数据,1 分别用 Malthu 模型和 Logistic 模型建立美国人口增长的近似曲线设美国人口总体容纳量为 3.5 亿; 2 推测 2022 年,2022 年,2022 年

12、,2022 年,2022 年人口数 ; 3 对两种推测结果进行比较 . 2.4.2 问题的分析2.4.2.1 Malthu 模型1798 年,Malthus 提出对生物繁殖规律的看法；他认为,一种群中个体数量的增长率与该时刻种群的的个体数量成正比；设 xt表示该种群在 t 时刻个体的数量,就其增长率（dx/dt）=rxt, 或相对增长率 1/x*dx/dt=r. 其中常数 r=B-D,B 和 D 分别为该种群个体的平均生育率与死亡率；2.4.2.2 Logistic模型1838 年,Verhulst指出上述模型未考虑“ 密度制约” 因素；种群生活在确定的环境中,在资源给定的情形下,个体数目越多

13、,个体所获资源就越少,这将抑制其生长率,增加死亡率；所以相对增长 率 1/x*（dx/dt）不应为一常数 r,而应是 r 乘上一个“ 密度制约”因子；此因子随 x 单调减小,设其为 1-x/k,其中 k 为环境容纳量；于是 Verhulst 提出 Logistic 模型： dx/dt=rx1-x/k ；2.4.3 试验设计的流程 2.4.3.1 Malthu 模型源代码 clear;clf x=10:10:200; y=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.0 72.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179

14、.3 204.0 226.5; plotx+1780,k-,markersize,20; axis1780,2022,3,800; grid;hold on n=20; a=sumx1:n; b=sumx1:n.*x1:n; c=sumlogy1:n; d=sumlogy1:n.*x1:n; A=n a;a b; B=c;d; P=invA*B; t=10:10:800; f=expP1+P2*t; plott+1780,f,ro-,linewidth,2; k=2022 2022 2022 2022 2022; f=expP1+P2*k-1780; fprintff=%.1f,f; 2.4.

15、3.2 Logistic模型程序源代码 clc;clear; x=9:28; y=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.0 72.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5; plotx*10+1700,y,k.,markersize,15; grid; hold on; axis1790 2022 0 400; m=1000*y./1000-y; a1=sumx; a2=sumx.2; a3=sumlogm; a4=sumx.*logm; A=20,a1;a1,a2; B=a3;

16、a4; p=invA*B; t=9:0.1:55; s=1./0.001+exp-p1-p2*t; plott*10+1700,s,r-; k=30 30.5 31 31.5 32; l=k*10+1700;1./0.001+exp-p1-p2*k; 2.4.4 上机试验结果的分析与结论 Malthus 模型结果Logistic 模型结果对比推测结果与实际数据,可看出三、 试验小结与体会Logistic 模型更符合自然规律；通过以上四组数学试验、我们熟识明白了许多 MATLAB 的方法及理论、并尝试了将其运用到了实际问题中去,解决实际问题； 比如,在试验一中,明白了方程的迭代以及分岔、混沌的概念；试验二中通 过简洁的 MATLAB 程序解决数学问题；试验三中尝试通过线性规划 建立数学模型, 从而解决生产生活中的实际问题,明白了最大最小化 问题的求解及其 MATLAB 指令；试验四中通过人口推测问题的分析 求解,明白运用最小二乘法进行数据拟合的基本思想,把握了建