高考数学一轮复习椭圆与双曲线

1、2008高考数学一轮复习 椭圆与双曲线（1）【复习目标】.掌握椭圆、双曲线的定义，并理解它们在直角坐标系的标准方程的推导过程；.理解椭圆、双曲线的有关概念及简单几何性质，掌握求这些曲线方程的基本方法，并能根据曲线与方程的关系解决简单的直线与曲线有两个交点情况下的有关问题，如两个交点之间的距离、两个交点的中点坐标、轨迹、有关参数的问题；用代数方法来研究几何图形的数形结合思想方法；.熟练掌握利用联立方程组，通过代数的方法，研究直线与曲线之间的位置关系；及求曲线交 点等计算有关的几何量。【重点难点】重点： 建立数形结合的概念，理解曲线与方程的对应关系，理解求曲线的方程、 交点的方法，掌握用代数方法研

2、究几何问题的方法并能运用基本方法解决相应的具体问题。难点：如何把已知条件转化为等价的代数表示，并能根据代数基本方法选择解决问题的途径。【知识结构】相交直线与圆锥曲线的位置关系相切朋离中点问题弦长问题周长问题面积问题【课前预习】1.求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是（一4, 0） , （4,0）,椭圆上一点 P到两焦点距离之和等于10；22y x 二 1106253 5、（2）两个焦点的坐标分别是 （0, 2）、（0, 2）,并且椭圆经过点（一，一）；2 2(3)长轴长是短轴长的 3倍，并且椭圆经过点2.已知B、C是两个定点，IBC I =6, HA ABCA (-3,掷

3、)的周长等于16,求顶点A的轨迹方程.252=1(y = 0)163.如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为 PP，,求线段PP ,中点M的轨迹.2,从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段4y2=1点M的轨迹是个椭圆.2、 x4.万程 4 -mm的取值范围.-8,-2(-2,4)2如果改成y8 m2=1 呢m -42ym -8=_1 呢？ -8 m 2c时，轨迹是椭圆，当2 a=2c时，轨迹条线段 F1F2当2a 2c时，轨迹不存在平面内到两定点 F1,F2的距离的差的绝对值为常数(小于 F1F2| )的动点的轨迹叫双曲线即MF1 - MF2 =2a当2a 2c时，轨迹不存在标准 方程22焦点在

4、x轴上时：乂+ 1=1a2 b222焦点在y轴上时：2+22=1a b22焦点在x轴上时：与七=1a2 b222焦点在y轴上时：2T _，=1a b常数 a,b,c99.2._a =c +b , a b 0 ,a最大，可以 c = b,ca 0c 最大，可以 a-b, ab焦点坐标焦点在x轴（土 c,0）；焦点在y轴（0, 土 c）焦点在x轴（土 c,0 ）；焦点在 y轴（0, 土 c）焦距| F1F2 =2c范围-a x a, -b y b-bwxwb, -aWyWaxa,y b顶点焦点在x轴（土 a,0 ）（0, 土 b）焦点在y轴焦点在x轴（土 a,0）焦点在y轴（0, 土 b）对称轴x

5、轴，y轴，长轴长2a,短轴长2bx轴，y轴，实轴长 2a,虚轴长2b对称 中心原点(0,0)渐近线焦点在x轴上时：- =0 a b焦点在y轴上时： = 0 a b【例题分析】22【例1】（1）点P（x,y）在椭圆x + y =1上，则xy的最大值是 542222（2）已知椭圆x+y_q和双曲线x2-1=1有相同的焦点，则 n的值是34 nn 16（3）若椭圆ax2+by2 =1与直线y=-x+1交于A,B两点，过原点与弦 AB中点的直线斜率为红，则a的值是2 b例2 （1）已知椭圆焦点为F1（-1 , 0）、F2（1, 0） , P是椭圆上一点，且|F1F2是PF1、|PF2的等差中项，则椭圆

6、的标准方程是 （2）已知椭圆ax2+4ay2=1的一个焦点是（-3, 0）,则a的值是22（3）若方程=1表示的曲线是椭圆，则 a的取值范围是 ;若 a 2 a -2方程表示的曲线是双曲线则a的取值范围是22（4）以椭圆 上+y-=1的焦点为顶点,34长轴的端点为焦点的双曲线方程是1(5)在 ABC中已知 B (-王 0)、设爆炸点P的坐标为（xy）,则PA - PB= 340 2 = 680,并且点B *-14 PA PB= 6800,，x0.所求双曲线的方程为:二111560044400(x0).【例4】已知F是椭圆25x2+l6y2=400在x轴上方的焦点，Q是此椭圆上任意一点,P分QF

7、所成的比为2,求动点P的轨迹方程.解：把已知椭圆方程变为162L =1.25a2 =25,b2 =16, c = a2 -b2 = .25 -16从而焦点F的坐标为（0, 3）=3.,0),顶点A移动时满足sinC-sinB=【sinA , 2则点A的轨迹方程是例3 一炮弹在某处爆炸，在 A处听到爆炸声的时间比在 B处晚2 s.（1）爆炸点应在什么样的曲线上？（2）已知A、B两地相距800 m,并且此时声速为 340 m/s,求曲线的方程.解（1）由声速及A、B两处听到爆炸声的时间差，可知A、B两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以A、B为焦点的双曲线上.因为爆炸点离 A处比离B处更远，所

8、以爆炸点应在靠近B处的一支上.（2）如图814,建立直角坐标系 xOy,使A、B两点在x轴上, O与线段AB的中点重合.即 2a=680,a=340.又 AB =800, . 2c=800,c=400,b2=c2a2=44400.25婿+16%2=400由P分QF所成比为2,得设点P坐标为（x,y） , Q点的坐标为（Ay），则 TOC o 1-5 h z x12 0 x 二,1 2x=3x, y1=3y 6代入得:y12 3y 二.1 2225x2+144y2 576y+176=0. TOC o 1-5 h z 22例5已知P (X0,y0)是椭圆 t+4=1 (ab0)上的任意一点，Fi、

9、F2是焦点，求证: a2 b2以PF2为直径的圆必和以椭圆长轴为直径的圆相内切证明 设以PF2为直径的圆心为 A,半径为r.Fi、F2为焦点，所以由椭圆定义知|PFi|+|PF2|=2a, |PF2|=2r|PFi|+2r=2a,即|PFi|=2 (ar)连结OA,由三角形中位线定理，知八 ii 、OA|= | PFi |2(a - r) = a - r.22故以PF2为直径的圆必和以长轴为直径的圆相内切评注 运用椭圆的定义结合三角形中位线定理，使题目得证 22【例6】设P是椭圆x- y =i (ab0)上的一点，Fi、F2是椭圆的焦点,a2b2c、2H/FiPF2=90 ,求证：椭圆的 或a

10、 2.证明.是椭圆上的点，Fi、F2是焦点，由椭圆的定义，得|PFi|+|PF2|=2a在 R9FiPF2 中，|PFi |2 十|PF2 |2H FiF2 |2 = (2c)2 =4c2由2,得 |PFi |2 +2|PFi |PF2 | + | PF2 |2 = 4a2. . |PFi| |PF2|=2(a2c2)由和，据韦达定理逆定理，知 |PFi| |PF2|是方程z2-3az+2(a2-c2)=0的两根，2 X【例7】P为椭圆2 a2+ y7=i (ab0)上的点, b2则 =4a2-8(a2-c2)0,. ()2 ,即 2 -2.Fi、F2是椭圆的焦点，若e=- , ZPFiF2=

11、aa + P cos2a , Z PF2Fi= 3 ,求证：e =住.a - Pcos2c 2c 2c证明由椭圆te乂， 知|PFi|+|PF2|=2a, |FiF2|=2c；e = =a 2a |PFi | . | PF2 |由正弦定理，得 |PFi|=2Rsin 3 ,|PF2|=2Rsina , |FiF2|=2Rsin( a + 3 )2c2Rsin一) sinQ T)2a + P a2sin cos一2| PFi | | PF2 | - 2R(sina + P a + P2sin cos工二 sin ：) sin 工二 sin :a + P cos2a - Pcos2例8 (06上海

12、)已知在平面直角坐标系 xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为. 1F(J3,0)，右顶点为 D(2,0)，设点 A.1,2程;(2)若P是椭圆上的动点，求线段 PA中点M的轨迹方程；(3)过原点O的直线交椭圆于点 B,C ,求AABC面积的最大值。.(1)求该椭圆的标准方解(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=j3，则半短轴b=1.又椭圆的焦点在 x轴上，椭圆2的标准方程为x y2 =14(2)设线段PA的中点为x=x0 +12M(x,y)，点 P 的坐标是(X0,y0),2x- 1y=11y0 22y0=2y一2由，点P在椭圆上，得(2x7)2 +(2y42E2 =1，一 1

13、21.线段PA中点M的轨迹方程是(x -2)2 +4(y -1)24(3)当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此 ABC的面积Saabc=1.2当直线BC不垂直于x轴时，说该直线方程为y=kx,代入工+ y2 = 1 42k解得B(1-,.),C(d -.4k2 1 .4k2 1 4k2 12k4k2 1 ),则 BC =4- 1 k2- 小，又点A到直线BC的距离-.1 4k2 ABC的面积 S ABC =2k-1,1 4k24k2 -4k 1ABC= o.4k2 11 - 4k:1 4k2 1由 4k -1,得Sa abc 2，其中，当k= 1时，等号成立 4k2 1222【例9】(07上

14、海春)如图，在直角坐标系xOy中，设椭圆 ct+Yya2b2的左右两个焦点分别为F1、F2.过右焦点F2且与x轴垂直的直线相交，其中一个交点为 M -.2,1 )(1)求椭圆C的方程;(2)设椭圆C的一个顶点为 B( 0,-b),直线BF2交椭圆C于另2分(1)解法一 : l _Lx 轴,F2的坐标为姮,0)由题意可知21一 十 =1a2b21,a2 -b2 =2,2 a b2=4_ , 、一,，所求椭圆方程为=2.2=12解法二由椭圆定义可知 MFi又由Rt MF1F2可知MF2_2(2a -1)二 a =2 ,又 a2 b2 =2,得 b2= 2a.由题意MF2 =1=2;椭圆C的方程为解

15、(2)直线BF2的方程为y = xJ2 .8分由MFi =2a1.2y =1.2ry =x - b0).设斜率为k的直线l ,交椭圆C于A、B两 a b点，AB的中点为M .证明：当直线l平行移动时，动点 M在一条过原点的定直线上；(3)利用(2)所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图 步骤，并在图中标出椭圆的中心 .22解(1)设椭圆的标准方程为 二十1=1, ab0, a ba2 =b2 +4,即椭圆的方程为点(-2,-42)在椭圆上，2xb2 442+Jo 1 5b2由此得a2 =8,即椭圆的标准方程为b2 42 x 十8b2 y 4=1.(2)设直线l的方

16、程为y=kx+m,与椭圆C的交点A(xi,必)、B (X2,V2),则有解得（b2 a2k2）x2 2a2kmx a2m2-a2b2 =0 ,& 0，二 m2 b2 +a2k2 ,即-Vb2 +a2k22a2km,x x2, y y2 ; kx m kx2 mb2 a2k2AB中点M的坐标为a2km-22 2 ,b2 a2k2线段AB的中点M在过原点的直线(3)如图，作两条平行直线分别交椭圆于解得b2y = kx + m22a2b2:二 m . ：/b2 a2k2 .2b2mb2a2k2 ，b m222b2 +a2k2 ）11分b2 x +a2 k y =0 上.A、B和C、D ,并分别取13

17、分AB、CD的中点M、N ,连接直线MN ；又作两条平行直线(与 “两条直线不平行)分别交椭圆于A1、BDC1、D1 ,并分别ABi、C1D1的中点Mi、Ni ,连接直线MiNi,那么直线MN 和 MiNi的交点 O 即为椭圆中心.18分【巩固练习一】.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F (-23”是“方程 *- y =1表示双曲线”的()k -3 k 3(A)充分不必要条件.(B)必要不充分条件.(C)充要条件.(D)既不充分也不必要条件.224.已知P是双曲线 今-L=1右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3x-y=0.设a29Fq F2分别为双曲线的左、右焦点.若PF2 =3,则PF1|

18、=225.已知椭圆 x+y=1,长轴在y轴上.若焦距为4 ,则m等于()10 -m m -2(A) 4.(B) 5.(C) 7.(D) 8.若椭圆长轴长与短轴长之比为2,它的一个焦点是(2。15,0),则椭圆的标准方程是 .双曲线9x2 -16y2 =1的焦距是 .双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径 为12 m ,上口半径为13 m,下口半径为25 m,高55 m.选择适当的坐标系，求出此双曲线的 方程(精确到1m).解：如图8-17,建立直角坐标系 xOy,使A圆的直径AA在x轴上，圆心与原点重合.这时上、下口的直径 CC、BB平行于x轴，且CC=

19、13X2 (m) , BB* =25X2 (m).设双曲22x y , 线的万程为=1(a0,b0)令点C的坐标为(13, y),则点B的坐标为(25, ya b55).因为点B、C在双曲线上，所以_ 224 2 HYPERLINK l bookmark151 o Current Document 25 (y -55)13,c2.2 一 , dO212 b122 y b2=1.2252 (y -55)解方程组 1213122 -b2出 L 252程(1)得名122b2=12二15由方程(2)得y = b12 (负值舍去).代入方(5b -55)212 9=1,化简彳导19b2+275b- 18

20、150=0b2x2解方程(3)得 b-25 (m).所以所求双曲线方程为：1442工:1.6259.点M (x,y)与定点2F(c,o)的距离和它到定直线 l: x= a-的距离的比是常c数c (c a 0),求点 a解：设 d是点M的轨迹.M到直线l的距离.根据题意，所求轨迹是集合p= MMFc , 一=一工由此得a(x-c)2 y22ax -c图 818化简彳导(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2).2b2=1 (a a 0,b a 0).这是双曲线的标准方程，所以设c2- a2=b2,就可化为：三 a点M的轨迹是实轴长、虚轴长分别为2a、2b的双曲线.(图8- 18).求直线y =x-1被曲线y= 1 x2-1截得的线段 AB的长.已知直线l： y=x+b ,曲线c： y= Ji -x2有两个公共点,求 b的取值范围.已知k为实数，讨论直线 y=x+k与曲线4x2+9y2=36的交点个数?【巩固练习二】有公共点，则m的取值范围为221 . 直线 y = kx+1 与椭圆+ =1总5 mA