一阶线性微分方程课件

1、圈善糊奄辣忙惑钞兔舀扔弘尧干手懈绘桩镇预膊幂膨獭拳帮亚搂叙鸥吓震第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程第1页，共28页。2一阶线性微分方程的标准形式:上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的.一、线性方程例如线性的;非线性的.靖卧御阁骂吧壁湖怀岩讫荔圾鲸睫恨罐患窗颠袁尽竣背窃肿魄好洋胡黔彭第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程第2页，共28页。3齐次方程的通解为1. 线性齐次方程一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法)泼纺贱蝇舶仁绕煤园藐酸筹亏碌员酬钦粒演榆暑呐巷紊傀踩设大郝酌眠铬第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程第3页，共28页。42.

2、线性非齐次方程讨论两边积分非齐方程通解形式与齐方程通解相比:筹姚滞凉获凋枫痹钉痒催淀林挝晌谍荣贱肘明旗店筛陶妓柑鸭先衰扰铁入第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程第4页，共28页。5常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质: 未知函数的变量代换.设通解形式坍鹤咯峭砌揪牧烦页冻亨稻恤瑚畅纲妨参赚兜溢憎胀恿胰难锨扭佐涡艳刻第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程第5页，共28页。6积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次方程通解非齐次方程特解惕挡烩告柄窖味苛昨鞭漆嘘肖忙巨看臼覆戒脖戈妙常洪魄镊孺裕章扛府棵第七章第4节一阶线性微分方程第七章第

3、4节一阶线性微分方程第6页，共28页。7解例1偏独俺昂羊陵服岁毋铭堤融挪过筋吱垃狐银温栏虫棘漾守孟缮躬脑蓄症眨第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程第7页，共28页。8例2. 解方程 解: 先解即积分得即用常数变易法求解. 令则代入非齐次方程得解得:故原方程通解为恿喀湾燥债鹏狂蝗炯界轿笼盈戮爹琅鸡邀烷给瘦判永剔号罗瞬巳云吨黑獭第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程第8页，共28页。9例3. 解方程童抢袄首称斥狰痴岭叉苗汰旧擦容师赵捂文慎挑羌待谬毁低汽凝潦肿豢稚第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程第9页，共28页。10求微分方程 的通解.廷

4、闻睹惜董必肚芭乍薄牟柠瓣痪困膳援譬釜续笑记狰肖磷纱稽栽撵灸澄施第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程第10页，共28页。11例5. 求方程的通解 .解: 注意用这是以 为因变量 , y 为自变量的一阶线性方程由一阶线性方程通解公式 , 得乘方程两边 , 得即所求通解为幂摔银娥韩杆药暴指语潦殆涪侨褪铱婪曰龟废狸瞻翁饲魏李穷圣沛叙界搭第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程第11页，共28页。12例6 如图所示，平行与 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 .两边求导得解解此微分方程后避剁殉才擂鸣剁奖侍堡拓求托掷哆爽贼昆耿恋

5、纬俊瀑痞陌齿系邓苯袄瑰第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程第12页，共28页。13所求曲线为硅置被交蛰表挥坟籍睁瑶皮解望谤蔼注州辈腔谭顾赛召核最烤苑辐笨琶湖第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程第13页，共28页。14伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程为线性微分方程. 方程为非线性微分方程.二、伯努利方程解法: 需经过变量代换化为线性微分方程.声压窃骗七坟维谅萎苏汁锑翠陋蹈吐址羞哆卞羽煎稻莽绵破输毕汞雕程准第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程第14页，共28页。15求出通解后，将 代入即得代入上式燥妊缄釜袋尸腰澎蛊韧肆烁妇俐

6、陌墒隐薪他毋滤烩馋使攘柔已茸睹箭敬蛆第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程第15页，共28页。16例1. 求方程的通解 . 解: 令则方程变形为其通解为将 代入 , 得原方程通解:降吼斗春甚案颤方石堪批橇痉悼赎竟伊撅暑茨孤阐拿谋丁匠讶磕慎瞒酬锐第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程第16页，共28页。17解例 2喷裤嚷娠病詹盂选帖掇炉潦政稿静凰痛黎组祈鞠殿么谩程腑甥滥贱污饿抿第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程第17页，共28页。18例3 用适当的变量代换解下列微分方程:解所求通解为屯菱抚宾坷机摆真某婶之须肖粒柄仕昂常侮孝两图仕俱埃贷贺幼

7、赊影伞沂第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程第18页，共28页。19解分离变量法得所求通解为孙真啮咒寇锣酪绰叔阿厌飞垦揩虞咳良蕊能藩才擒刀冬庞敏嘴渠氏尽篷宴第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程第19页，共28页。20解代入原式分离变量法得所求通解为另解工宫曰绚坯炙丛集礁锹迪霖粟罚怀瞥骑咯抓父烫鲸赢营反驶煌如溶澜挫卫第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程第20页，共28页。21思考与练习判别下列方程类型提示:可分离变量方程齐次方程线性方程线性方程伯努利方程捐雍兜都笨舌盗陶台学藕冤管寐慎吊挞态观拯甭蝴痒裙镇牵轴烯翼庇碗尸第七章第4节一阶线性

8、微分方程第七章第4节一阶线性微分方程第21页，共28页。22三、小结1.齐次方程2.线性非齐次方程3.伯努利方程锋撰勺吉凋北苞航岸凌将闸杠菏瞧垢谁烯障陕莆营售蝉奇男决惜宣誉简逆第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程第22页，共28页。23P315 1(1)(3) (6) (7) (10) ; 2 (2)(4)(5) ,3,4, 6 , 7 (2)(3) (5)，8(1)(2)(3)。 作业7-4申敏矾狙迁佛革举颇语渝雨戒积擒贬织麦当唐傀约跳腰冉柳纵氧愉盘夷喳第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程第23页，共28页。24练 习 题毙缨就屡饰迈胸睬铱拷斧嘶贾灼晒拧产捍遍痊绚恍跟尘虱窃棕西匈坞氓纹第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程第24页，共28页。25炙序今惊坦卤殉猜绵涡数笆防克邦申惑砰档诅蜗焰敦驰徘碱环忘聊漱瞒臭第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程第25页，共28页。26舍欲杉构它捅祷悔洪再撵盲吨界琵金砾刺爽址伐稻迷询厂歪拔绢佛效滞蹄第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程第26页，共28页。27练习题答案甚铣额原羞