运动的守恒量和守恒定律 2章

1、第2章 运动的守恒量和守恒定律质点系的内力和外力 质心 质心运动定理 动量定理 动量守恒定律功 动能 动能定理保守力 成对力的功 势能质点系的功能原理 机械能守恒定律碰撞质点的角动量和角动量守恒定律对称性和守恒定律2022/7/291 N个质点组成的系统研究对象，质点系内力：系统内部各质点间的相互作用力质点系 特点：成对出现；大小相等方向相反外力: 系统外部对质点系内部质点的作用力约定：系统内任一质点受力之和写成外力之和内力之和一、质点系的内力和外力2-1 质点系的内力和外力 质心 质心运动定律2022/7/292二、质心(center of mass)投掷手榴弹运动员跳水质量分布中心2022

2、/7/293分别表示系统中第i个质点的质量和位矢，表示质心的位矢，则质心位置为：一个质点系统的质心在哪里呢？2022/7/29质点系统的总质量。xzyOm2r2m1r1crcmirirNmN4矢量式：如果质点系统为质量连续分布的物体，其质心位置2022/7/295则质心位置的三个直角坐标应为：1）不太大物体，质心与重心重合 2）均匀分布的物体，质心在几何中心 3）质心是位置的加权平均值，质心处不一定有质量6oxyydl解：如图示坐标系，由对称性，质心一定在y轴上。设线密度为，则质元dm dm = dl由定义：由图：y = Rsin, dl = Rd，m = R，则：例1，一段均匀铁丝弯成半圆形

3、，其半径为R，求此半圆形铁丝的质心。质心坐标为：（0， yc）2022/7/29例2，求如图所示均匀圆形薄板的质心位置。 xyR/2R分析：由对称性知： yc=0用填补法一：设面密度为R/2m22022/7/297xyR/2R（2）用填补法二：设面密度为R/2R/2m22022/7/298三、质心运动定理（theorem of motion of center of mass)设有一个质点系，由n个质点组成，其质心的位矢是由此，质心的速度和加速度分别为（25）（26）2022/7/299根据牛顿第二定律，系统中各个质点的运动方程为：表示系统外的物体对各个质点的作用力表示系统内各个质点之间的相互

4、作用力，即内力2022/7/2910根据牛顿第三定律，内力在系统内总是成对出现的，满足因此，把上列各式相加后，即得或者因此，质心加速度可以写成或者质心运动定理（27）2022/7/2911质心运动定理：作用在系统上的合外力等于系统的总质量与系统质心加速度的乘积。2022/7/29122-2 动量定理 动量守恒定律思考：当一个力作用于物体并维持一定时间，将产生什么效果？标枪运动员持标枪助跑122022/7/292022/7/2913一、动量定理牛顿第二定律的微分形式：考虑力的时间积累效果，从t1到t2这段有限时间，进行积分，得外力对时间的积分，叫做力的冲量，记为I国际单位是：1Ns132022/

5、7/29在给定的时间内，外力作用在质点上的冲量，等于质点动量的增量。质点的动量定理：theorem of momentum2022/7/2914：过程量，累积量；：瞬时量；分量形式：状态量。142022/7/29思考题：a.冲量的方向是否必须和物体初始或者最终动量的方向一致？b.冲量的方向是否必须和物体所受合外力的方向一致？2022/7/2915动量定理的几点说明：1）冲量力的时间积累效果152022/7/292022/7/29162）动量定理在碰撞或冲击问题中有重要意义。 估算冲力的平均大小两物体在碰撞瞬间，相互作用力叫冲力。平均冲力162022/7/29 y v0 v17【例】质量m =1

6、40g的垒球以速率 v = 40m/s沿水平方向飞向击球手，被击后以相同速率沿仰角 60o飞出。求棒对垒球的平均打击力。设棒和球的接触时间为 t =1.2 ms。60ov2v12022/7/2918 因打击力很大，所以由碰撞引起的质点动量改变，基本上由打击力的冲量决定。重力、阻力的冲量可以忽略。mv160omv2mg t打击力冲量F tF t合力冲量2022/7/2919平均打击力约为垒球自重的5900倍！在碰撞过程中，物体之间的碰撞冲力是很大的。F tmv160omv230om=140g2022/7/292022/7/2920 用作图法，由几何关系求得； 直角坐标系中把矢量方程变为分量方程求

7、解。202022/7/29二、动量定理的应用Application of Momentum Theorem 2022/7/29211、“船行八面风”帆船靠风力推动前进，只要有风，不管风从什么方向吹来，都可借助风力前进。212022/7/292022/7/2922展开并略去二阶微量:2、变质量物体的运动方程由动量定理得:外力的矢量和为除dt,得:得:222022/7/292022/7/2923例题1（P63），质量为m的匀质链条，全长为L，手持其上端，使下端离地面的高度为 h。然后放手让它自由下落到地上，求链条落到地上的长度为 l 时，地面所受链条作用力的大小。分析：属于变质量问题 落地部分：未

8、落地部分：232022/7/292022/7/2924即： 由于自由下落，有上式简化为：242022/7/29利用变质量物体的运动方程2022/7/2925地面所受链条作用力等于f 的反作用力加上落地部分的静压力：则：即得：由于252022/7/291)回顾：质点的动量定理某段时间内作用在质点上的合力的冲量等于该时间内质点动量的增量。分量表示式三、动量守恒定律(conservation law of momentum)2022/7/29262) 质点系的动量定理第i个质点受到的合外力为对第i个质点运用动量定理有：质点系总动量的增量等于作用于该系统上合外力的冲量。质点系的动量定理2022/7/2

9、927内力对质点系总动量无贡献3) 动量守恒定律如果系统所受到的合外力为零，则系统的总动量保持不变。质点系动量守恒定律2022/7/2928思考：“质点系的动量守恒” 与“质心保持匀速直线运动状态”是否等价？质心保持匀速直线运动状态质点系的动量守恒2022/7/2929在中，如果那么，系统质心加速度由于即质心将以速度作匀速直线运动（1）动量守恒是矢量守恒，系统状态在变化过程中，任一时刻的总动量恒等于一个常矢量，而不能从两个特定状态下的动量相等就得到动量守恒的结论。（2）系统所受外力在某一方向上分量之和为零，则总动量在该方向上的分量是守恒的。分量表达式:2022/7/2930（3）动量守恒定律在

10、惯性系中成立，在解题时要选同一惯性参照系。（4）动量守恒定律的物理实质：是系统内各物体间通过相互作用发生了动量的交换与转移，动量的转移反映了物体机械运动的转移。31例，半径为R的1/4圆弧，质量为M，置于光滑平面上。其上质量为m的物体自顶由静止滑下，求m到底时，M在水平方向的移动量。解：选（M+m）为体系，系统水平方向合外力=0，动量守恒。在任一时刻，有： 0 = mvx + (-V)M又因为 s = R-S，则上式：2022/7/29OMmt2 -SXOMmRt1X32OMm-Rt1x体系质心OMmx-St2 -S体系质心质心位置不变M 移动的距离： t1时刻t2时刻2022/7/29XX例

11、，一炮弹在轨道最高点炸成质量比m1:m2=3:1的两个碎片。其中m1自由下落，落地点与发射点的水平位置为R0，m2继续向前飞行，与m1同时落地。不计空气阻力，求m2的落地点。ox1x2m1m2R0v2022/7/2933ox1x2m1m2R0v解：炮弹炸裂前后所受外力始终是重力，所以炮弹炸裂对质心运动无影响，m1和m2落地时，炮弹的质心坐标为 xc=2R0由质心的定义式 得到m1的落地点x1和m2的落地点x2之间的关系将x1=R0代入，解得m2落地点的坐标 x2=5R02022/7/2934XOtt+dtvt 时刻 火箭的速度Mt 时刻 火箭的质量dmt +dt 时刻喷出气体的质量ut +dt

12、 时刻喷出气体相对于火箭的速度M+dMt +dt 时刻火箭的质量v+dvt +dt 时刻火箭的速度选地面参考系，并建立直角坐标系四、火箭飞行原理2022/7/2935由于火箭在喷出气体前及喷出气体后系统动量守恒：在火箭喷出气体 dm 前 ，系统动量：喷出气体 dm 后 ，火箭的动量：喷出气体 dm 的动量：选 t 时刻火箭及内部气体为系统，对于地面参考系2022/7/2936将（2）、（3）式代入（1）式中，整理得到：2022/7/2937设火箭在点火前质量为M0，初速度为 vi 火箭在燃料烧完后质量为M ，速度为 vf 火箭速度的增量与喷出气体的相对速度成正比。与火箭始末质量的自然对数成正比

13、。提高火箭速度的途径有二：第一是提高火箭喷气速度u第二是加大火箭质量比M0/M2022/7/2938讨论：2022/7/2939现代高性能推进剂，液氧液氢，喷气速度最高达4.1km/s，但其燃烧室的温度高达4000C以上。提高火箭速度的方法：提高喷气速度，提高质量比。目前单级火箭的理想情况: 火箭速度=11千米/秒，但千米/秒 (小于第一宇宙速度7.9千米/秒)。多级火箭第一级火箭燃料用尽后的火箭速度是： v1=ulnN1，(其中N1=M0/ M)第二级火箭燃料用尽后的火箭速度是： v2= v1+ulnN2，第n级火箭燃料用尽后的火箭速度是：vn= vn+1+ulnNn = uln(N1 N2

14、. Nn) 火箭的速度方程2022/7/2940“阿波罗”登月飞船的“土星五号”三级火箭：高85米、重2800吨，起飞推力340吨。理论上，末速度=28千米/秒中国“长征三号大型运载火箭”：高43.25米，起飞重量202吨，起飞推力280吨。2022/7/2941登月舱在月球表面软着陆的瞬间阿姆斯特朗：“我的一小步，人类的一大步”宇航员太空行走修复哈勃2022/7/29422022/7/2943建设中的国际空间站国际空间站的首批乘员2022/7/29441970年4月24日，中国成功地发射了第一颗人造地球卫星。 这就是我国自行开发研究并实验成功的载人实验飞船“神州号”。在不久的将来，我国的宇航员将遨游在太空！2022/7/29452022/7/2946* 关于同步