高斯小学奥数五年级上册含答案-整除问题初步

1、第一讲整除问题初步Myrmir =Flf 面丈谥 氓功了毡豪酊r 舌方境出了飒珂 停！：EfiAG、乩出卞城布 可胯号勖雒00001 oooowjja 序谏次 脱锂A- B- C,九牛城市，/百拾 吧F9样的方式冉境OOOKH3C01B.以I从这一讲开始，我们将会进入一个神奇而美妙的世界：数论 什么是数论呢?人类从学会数数开始，就一直和整数打交道 .人们在对整数的应用和研究中，探索出很 多奇妙的数学规律，正是这些富有魅力的规律，吸引了古往今来的许多数学家，于是就出现 了数论这门学科.确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科 .我们就从最基本的性质一一整除开始，一起在数论的海洋中遨游吧X:数论在

2、数学中的地位是独特的，伟大的数学家高斯曾经说过：“数学是科学的皇后，数 ;论是数学的皇冠” ？整除的定义我们就说a能被b整除,如果整数a除以整数b ( b 0 ),除得的商是整数且没有余数,也可以说b能整除a,记作b | a .如果除得的结果有余数，我们就说a不能被b整除，也可以说 b不能整除a.整除的一些基本性质2.1.尾数判断法|能被2, 5整除的数的特征：个位数字能被2或5整除.|能被4, 25整除的数的特征：末两位能被4或25整除.能被8, 125整除的数的特征：末三位能被8或125整除.数字求和法能被3, 9整除的数的特征：各位数字之和能被3或9整除.| 3.奇偶位求差法|能被ii整

3、除的数的特征：“奇位和”与“偶位和”的差能被ii整除HI我们把一个数从右往左数的第1、3、5位，统称为奇数位，把一个数从右往左数的第2、4、6位，统称为偶数位.我们把“奇数位上的数字之和”简称为“奇位和”把“偶数位上的数字之和”简称为“偶位和”.F面我们来看一下如何运用这些性质 .例题1.判断下面11个数的整除性：23487 , 3568, 8875, 6765, 5880, 7538, 198954 , 6512, 93625 , 864, 407(1) 这些数中，有哪些数能被 4整除？哪些数能被 8整除？(2)哪些数能被25整除？哪些数能被125整除？(3)哪些数能被3整除？哪些数能被 9

4、整除？(4)哪些数能被11整除？【分析】关于4、8、25、125以及3、9、11的整除特征刚才都已经介绍过了，大家不妨根据整除特性判断一下.练习 1.在数列 3124、312、3823、45235、5289、5588、661、7314 中哪些数能被 4 整除，哪些数能被3整除，哪些数能被11整除？如果将例题1中能被3整除的数相加或相减，会发现得到的结果还能被3整除；同样的，如果将其中能被11整除的数相加或相减，会发现得到的结果同样能被11整除.从中我们可以总结出如下规律：和整除性与差整除性：两个数如果都能被自然数a整除，那它们的和与差也都能被整除例题2. 17石是一个四位数？文老师说：“我在其

5、中的方框内先后填入3个数字，得到3个四位数，依次能被 9, 11, 8整除问：文老师在方框中先后填入的3个数字之和是多少？【分析】本题包括三个小问题，我们逐个分析.需要分别用到9、11和8的整除特性.练习2.在2s的方框内先后填上 3个数字，分别组成 3个三位数，使它们依次被 3、4、5整除.上面我们已经学习了如何利用“整除特征”，解决单个数的整除问题？下面我们再来看一看，涉及多个数的整除问题应该如何解决.例题3.牛叔叔给45名工人发完工资后，将总钱数记在一张纸上 ？但是记账的那张纸破了两个洞，上面只剩下“ 6dd ”，其中方框表示破了的洞.牛叔叔记得每名工人的工资都一样，弁且都是整数元.请问

6、：这45名工人的总工资有可能是多少元呢？【分析】这45名员工的工资都一样，所以总工资就能被45整除？我们没有学过被 45整除的数的特征.但注意到45 5 9,于是6dd应该能同时被5和9整除，那么先考虑哪一个数的整除特征比较好呢？练习3.四位数CC能被36整除，那么这个四位数可能是多少 ？在例3中，我们弁不知道 45的整除特征，但是 45 5 9 ,能被45整除的数，也能被5和9整除，那么只需考虑 5和9的整除特征即可.请同学们注意，虽然 45 3 15 ,但是在考虑能否被 45整除时，不能只考虑被 3和15整除？你能想明白为什么吗？服务人员告诉他，目前只有形如例题4. 一天，王经理去电信营业

7、厅为公司安装一部电话“ 1234 口 6 口 8 ”的号码可以申请？也就是说，在申请号码时，方框内的两个数字可以随意选择，而其余数字不得改动.王经理打算申请一个能同时被8和11整除的号码.请问：他申请的号码可能是多少？【分析】要被8整除，说明号码的后三位 Q8是8的倍数？想一下，这样的三位数是唯一的吗？练习4.七位数22 333能被44整除，那么这个七位数是多少 ？有时候满足题目条件的答案会非常多如果只要求找出最大的或最小的,我们只需要从极端情况考虑即可.例题5.在所有各位数字互不相同的五位数中，能被【分析】要想让五位数最大且数字不重复， 果想让五位数尽量小，是不是应该依次是45整除的数最小是

8、多少？最大是多少？每个数位上的数字应该依次是9、&.如1、2、呢？例题6.由1、3、4、5、7、8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？【分析】要想能被11整除，奇位和与偶位和的差应该是11的倍数.那么奇位和与偶位 和的和又是什么呢？天才未必牛顿小时候的一个故事告诉我们，天才有时也傻乎乎的.一次，粮仓里闹鼠灾 了，大人让牛顿在粮仓的门底开一个洞让猫进出.结果他开了两个洞一一大的给老猫，小的给小猫.其实在整除性的问题当中也有类似情况.比如要在200 口匚的方框中填入两个数 字使 得这个五位数同时能被 4、5、8整除，实际根本不用考虑4,只要考虑5和8即可，因为 能被8整除的也

9、必然能被4整除.如果你还要再考虑4的整除性，那就多 此一举了 .作业下面有 9 个自然数：48, 75, 90, 122, 650, 594, 4305, 7836, 4100 .其中能被 4 整除的有哪些？能被 25整除的有哪些？有如下5个自然数：12345, 189, 72457821 , 333666 , 54289 ?其中能被 9整除的有哪些？有如下5个自然数：3124, 3823 , 45235 , 5289, 5588 ?其中能被 11整除的有哪些？是一个四位数？王老师说：“我在其中的方框内先后填入3个数字，得到3个四位数，依次能被9, 11, 8整除？ ”问：王老师在方框中先后填

10、入的3个数字之和是多少？阿呆买了 72支同样的钢笔，可是发票不慎落水浸湿，单价已无法辨认，总价数字也不全，只能认出：匚111.C元（表示不明数字）.请问总价应该是多少?第一讲整除问题初步例题1.答案：(1)能被4整除的有3568、5880、6512、864;能被8整除的有 3568、5880、6512、864 . (2)能被25整除的有 8875、93625 ;能被125整除的有 8875、93625 . ( 3)能被3整除的有 23487、6765、5880、198954、864;能被 9 整除的有 198954、864. ( 4)能被 11 整除的有 407、 6765 6512 .例题2

11、.答案：21详解：要想让四位数能被9整除，数字和得是 9的倍数，空格中要填 7 ?要想让四位数能被11整除，奇位和与偶位和的差得是11的倍数，空格中要填 8?要想让四位数能被8整除，需要后三位即7C是8的倍数，空格中要填 6 .三个数字之和是 21 .例题3.答案：67680或67185详解：根据题意，这个数能被45整除，即能同时被 5和9整除，个位只能是 0或5,对应的百位是6或1 .例题 4.答案：12345608、12341648、12348688详解：末三位被8整除，十位数字只能是0、4、8 .要满足号码能被11整除对应的干位数字只能是5、1、&例题 5.答案：10395; 98730

12、详解：要被45整除，五位数既得是 5的倍数，也得是9的倍数.那么五位数的末尾只能是0或5 ?先来看最小的数？要让前面数位上的数字尽量小，可以是1CD5 ?要满足它是9的倍数且最小，应该是 10395 ?再来看最大，要让前面数位上的数字尽量大，可以是98 口口5或9CD0 ?要满足它是9的倍数且最大，应该是98730 .例题6.答案：875413详解：要想是11的倍数，奇位和与偶位和的差得是11的倍数.这六个数字的和是 28 ,而最大的三个数的和是20,也就是说无论是奇位还是偶位之和都不会超过20,所以只能把28分成两个14,偶位为& 5、1,奇位为7、4、3.练习1.答案：能被4整除的数有31

13、24、312、5588;能被3整除的数有312、5289、7314 ;能被11整除的数有 3124、5588.练习2.答案：本题的答案不止一种，要想被3整除，空格中可以填1、4、7.要想被4整 除，空格中可填2 或6.要想被5整除，空格中可填0或5.练习3.答案：3132或3636简答：要想被 36整除，这个四位数要既是 4的倍数，也是9的倍数.要想是4的倍数，个位上的空格 中可填2或6.要想满足四位数是 9的倍数，百位上的空格对应要填1或6.练习 4.答案：2213332 或 2283336简答：这个七位数既是 4的倍数，也是11的倍数.要想是4的倍数，个位上的空格中 可填2或6,剩下的空格中对应可填