高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解

1、高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 第一章函数、极限、连续第1节函数基本内容学习一基本概念和性质1函数的定义设有两个变量x和y,变量x的变域为D,如果对于D中的每一个x值，按照一 定的法则，变量y有一个确定的值与之对应，则称变量y为变量x的函数，记作： y x。2函数概念的两要素定义域：自变量x的变化范围对应关系：给定 x值，求y值的方法。3函数 的三种表示方法显式：形如y r x的称作显式，它最直观，也是初等函数一般采用的形式。隐式：有时有些关系用显式无法完全表达，这时要用到隐式，形如x2y2F区y） 0,如椭圆函数2 2 1。abX vt参数式：形如平抛运动的轨迹方程12称作参数

2、式。参数式将两个y gt 2变量的问题转化为一个变量的问题，从而使很多难以处理的问题简化。4函数的四个基本性质1高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解奇偶性：设函数 f x在对称区间 x上有定义，如果对于x X包有fix） R X）（或）f（x）f（ x）,则称f X为偶函数（或f X奇函数）。注：偶函数f X图形关于y轴对称，奇函数f X的图形关于坐标原点对称。有界性：设函数f X在区间X上有定义，如果 M 0,使得对一切X X,包有： f x 风则称f x在区间x上有界；若不存在这样的M 0,则称f x在 区间X上无界.注：函数f X有无界是相对于某个区间而言的。周期性：设函数f X

3、在区间X上有定义,若存在一个与x无关的正数T,使 对任一 K X,包有f K T f X 则称f X是以T为周期的周期函数， 把满足上式的最小正数T称为函数f X的周期。单调性：设函数f X在区间X上有定义，如果对 xl,x2 X.xl x2,何有： 1x11k2 （或xl 1 x2 ）则称f x 在区间X上是单调增加（或单调减少）的；如果对于 x1a2 X,xl让恒有：xl 1x2 （或 1x11x2 ）则称f x在区间X上是严格单调增加（或严格单调减少）的。5其它函数定义复合函数：设函数y u的定义域为Df,而函数U X的定义域是 D 值域为Z ,若Df Z ,则称函数y f x为x的复合

4、函数，它的定义域是x I X D 且（x） Df。这里 表示空集。反函数：设函数V f x的值域为Zf,如果对于Zf中任一 y值，从关系式 y f x中可确定唯一的一个 x值，则称变量x为变量y向函数，记为： x y , 2高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解其中 y称为函数y x的反函数，习惯上y x的反函数记为： y f 1 X 06初等函数常信函数 C(C为常数)，x R幕函数 yx R ，定义域由 确定，但不论 如何，在(0, )v 。且乱 1) x Rx对数函数 V loag(a 。且2l)x (0,) TOC o 1-5 h z 三角函数 如ysinx,x R； ycosx

5、.xR；y tanxA (k,k ),k L ；coix,x(k,(k 1) )1 Z等22反三角函数7 aTCSX； iiix IJy stccosmx i；y arctanx送 R；v ai,ccotx.x R.以上六类函数称基本初等函数。由基本初等函数经有限次加、减、乘、除、复合而成的函数称初等函数。7分段函数一个函数在其定义域y0当Xd1 当 x 0.取整函数x表示不超过x的最大整数；x n.当n X n 1 ,其中n为整1当x为有理数时。仅 狄利克莱(Dirichlet)函数0当x为无理数时|高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解XA 0绝对值函数X XA 0基本题型训练一典型

6、例题1判断函数的等价性例1.1下列各题中，函数f(x)与g(x)是否相同？为什么?(l)f(x) lgx2;g(x) 21gx;(2) f(x) xtg(x) g(x) ； (4) f(x) Lg(x) scc2x laii2x ；解：(1)不相同，因为 lgx2 的 定义域是(。Q )，而2 glx的定义域是(0. )0(2)不相同，因为两者对应法则不同，当 x 。时，g(x) x0相同，因为两者定义域、对应法则均相同。(4)不相同，因为两者定义域不同。2求函数的定义域例1.2设 心1)的定义域为田间侬0)则f(x)的定义域为多少？解：函数Rx 1的)定义域是指X的变化范围，即0 X 1 a

7、,令I X 1,则1 t a 1。故对函数f(x)而言，t的变化范围为1担1,由函数表达式的 变 量无关性”，知：f(X)的定义域为1再lo常见错误：l,a 1。主要是对定义域所指的变量取值范围理解不深，误认为 0 x1a,由此得到1 x a 1。3判断函数奇偶性例1.4下列函数中哪些是奇函数，哪些是偶函数，哪些是非奇非偶函数？4高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解y cxsinx.y logafx (a 07a 1)2解：(1)因为sinx为奇函数，x2为偶函数，所以y ex疝lx为奇函数f( x) loga( x toga故f(x)为奇函数4判断函数的周期性例1.5下列哪些是周期函

8、数？对于周期函数，指出其周期。(1) y cos(x 2)了 1 sin X解(l)y cos(x 2)是周期函数，周期为2 ；y 1 sin x是周期函数，周期是2 5判断函数单调性例1.6设网在(，)上有定义，且对任意x, y (,)有Rx) Ry)工证明L,U) f(x) x在( .)上单调增加。2lcga(x Rx),证明：设 xLx2 (, ).xl x2 所以 Rx2) f(xl； x2 xl x2 xl,而Rxl) f(x2) f(x2) Rxl) x2 xl 所以 1(x1) xl f(x2) x2 所以F(xl) F(x2)即F(x)在(,)上单调增加。6求反函数例1.7求函

9、数y5高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解解：令1y2yl 11 t。所以 t ,所以 y ly 11 t y 14yxi , 2y l(y 1) 所以反函数y依即为所求。(x i)27复合函数求法X2,X 0 1 x,x Qg(x) 例 1.8 设 则 fg(x)等于多少？ x lx 0 x,x 0解：当X 。时，g(x) x 0,所以当x。时有口虱刈1 x；当 x 。时，g(x) 2K 。所以 X 。时有 flg(x) 22 故，1 xa 0fg(x) 2。x 2a 0注：求复合函数一般用三种方法：分析法，代入法，图示法。本题用的是分析法， 下面分别介绍这三种方法。(1)分析法：是

10、抓住最外层函数定义域的各区间段，结合中间变量的表达式及中 间变量的定义域进行分析，从而得出复合函数的方法，该法适用于初等函数与分 段函数或分段函数之间的复合。(2)代入法：将一个函数中的自变量用另一个函数的表达式来替代，这种构成复合函数的方法，称之为代入法，该法适用于初等函数或抽象函数的复合，这种方法在求复合函数时一般最先想到。(3)图示法：借助于图形的直观性达到将函数复合的一种方法，适用于分段函数，尤其是两个均为分段函数的复合。关于图示法解题的一般步骤如下：先画出中间变量函数U X的图形；把y U的分界点在xou平面上画出(这是若干条平行于x轴的直线)； 写出u在不同区间段上x所对应的变化区

11、间；将所得结果代入y U中，使得y X的表达式及相应x的变6高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解化区间。关于这种方法我们会在后面的练习或者能力拓展中用到。二能力拓展例1设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，M N表示“m的充分必要条件是N ,则必有(A)F(x)是偶函数是奇函数。(B)F(x)是奇函数 (X)是偶函数。(C) F(x)是周期函数Rx)是周期函数。(D)F(x)A解法一：任一原函数可表示为c,且1： (x) .当F(x)0 x是单 调函数门工)是单调函数。为偶函数时，有F( X) F(x)，于是F ( x) ( 1) F图，即 R x)，也即K工)瓶)，可见f(x)为

12、奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则1。)出为偶函数，0 x从而F(x) Wl c为偶函数，可见选(A)o 0 x解法二：令 f(x)=1 ,则取 F(x)=x+1 ,排除(B)、(C);令 f(x)=x ,则取 F(x)=x2 ,排除(D);故应选(A)。l.X 1 例 2 设 Rx) 则 fff(x)等于O.x 1(D) Oa 10a 1 Lx 1函数理论框架图Lx 1(A) 0(B)l(C)解：由 ff(x) =1 得，fff(x) =1,故应选(B) 7高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解第2节极限与连续性基本limxii a 0,n 一个正整数N ，当n N 时，8 包有高

13、等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解xn a 。若xn存在极限，称xn收敛，否则称xn发散。定义a R 一个整数X,当x X时，有心)a x用a正数，当0 x xO 时，有Rx) a 定义2.3xlim xO2数列、函数极限的基本性质与相关定理定理2.1(极限的不等式性质)xnxll则xn定卜K limyn b 若 a b,设 nlim 则 N,当 n 1时，若 n N 时，xn W; 叫 11a bo(I, limxn b 则 a b。定理 2.2(极限的t一性)设 nlim n理2.3(收敛数列的有界性)设xn收敛，则xn有界(即 常数O.XTL 期由1,2,)。岭)A, limg(

14、x) B若A B则 也皴,定理2.4(极限的不等式性质)设 xlim xx xOO当0 x x。 时值)g(x)；若虱必(0 x xO )，则A Bof.x0或A。，则存在一个当推论(极限的保号性)若xlim xO工 xO ,53 xO 时，1x 0(或x 0)。00f(x) A? lirnffx) B 则 A B。定理 2.5(极限的t一性)设 xlim XX X定理2.g(夹逼准则)声在x0的领域内，包有 x f XX,且x xOlim x lim x A,则 limf x A。x xOx xO定理2.7(单调有界准则)单调有界数列处必有极限。3函数连续性定义定义2.1设函数f X在x0的

15、某领域内有定义，给x在x0处以增量 X,相应9高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解地得到函数增量y 1就 工 r xO 0若极限lim y 0,则称f x在x xO处连x。续。f X定义2.2设函数f x满足条件：（1）工 在x0的某领域若f x在x0 处京现以下三种情形之一：f x 不存在；f X f X。（1）1x 在 x0 处无定义；（2）xlim（3）xlim 则称 x0 为 f X XX的间断点。间断点x0的分类：第I类间断点f xO xO均存在。其中若fxOfxO f xO , xxO称为可去间断点。若fxOfxO4 xO称为跳跃问断点。第ii类间断点：f xO xO至少有

16、一个不存在。若f xO I xO之中有一个为，则x xO称为无穷间断点。5闭区间上连续函数的性质（1）（连续函数的有界性）设函数f工在岫上连续，则f x在岫上有界，即 常数M 0,对任意的x 砥b ，包有 fXMo（2）（最值定理）设函数f X在 1b上连续，则在 通b 上f X 至少取得最大值与最小值各一次，即 ！使得：10高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解f max f x , a,bf min a 、b f xa x ba x b（介值定理）若函数f x在 2b上连续， 是介于f a与f b （或最大 值M与最小值 m）之间的任一实数，则在乱卜 上至少 一个 ，使得f a b

17、0（零点定理或根的存在性定理）设函数fx 在 ab 上连续，且 fa f b0,则在 吃 内至少 一个 ，使得 f 0, a b 5无穷小及其阶 （1）无穷小与无穷大的定义定义2.5在某一过程中以零为极限的变量称为无穷小（量）limf x 0 。一个 X 0,当 X 时，恒有 f x 。x xOlimf x 0 定义2.6在自变量的某一变化过程中，若函数 数f X为无穷大量。lirnf x M 0. 一个 X Q,当 X 时，何有 f x M. x xOlimf x 0 x xOXx 时，包有f x 。10,当0 x xOf x的绝对值无穷增大，则称函Xx 时，包有f x VLM 0, 一个

18、Q , t（2）无穷小与无穷大、无穷小与极限的关系区 xOlimf x A Rx） ，其中 lim （x） 0; x xO1 f(x)为无穷小，Rx)。则为无穷大fix)在同一极限过程中，。HQ为无穷大,则1为无穷小f(x)(3)无穷小阶的概念定义2.7设在同一极限过程中，X 、 X为无穷小且存在极限11高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解x xO(x )lim x Oirn x 0 0 x xO(x )X 若li mO,则称 X是比 X高阶的无穷小，记为X 0 X t若而！ X ，则称 X 是比 X 低阶的无穷小。X XC,则称 X与X是同阶无穷小。 X若lim若1而X 1 ,则称

19、大与 是等价无穷小，记为XX oX若lim x C C 0,k 0,则称X为X的k阶无穷小。k x(4)等价无穷小的重要性质x(凡(，若x a (x卜)x且lim (x)存在，则 仅)lim (x)(x) lim (x)(x)该结论表明：在求极限过程中等价无穷小因子可以替换。(X卜(x)(x a) (x)(x) o( (x)(5)确定无穷小阶的方法利用洛必达法则确定k 。使得limx xOf X (x a)k A 。，则X a时,f(x)是x a的k阶无穷小。洛必达法则：法则I(X xOx xOO 型)设函数 满足条件：oiimf X OJimg x 0；X X在x0的领域内可导(在X0处可除

20、外)且12高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解ex0 ； limx xOfx fx f x linx 存在(或)。则limxxx 鲜g阴 xx x法则I (型)设函数x ,g x满足条件：limf x 0,limg x 0； 0个 X 0,当 X X 时，X，g X 可导，且 g x 0； limf X,gx & . gxx xOf x 存在(或 j0 g x 则 limx xO limx xO法则n(型)设函数1满足条件：limf x Jimg x ；x xOx xOX 4 X在X0的领域小)f的)(x国) n!若 Ra) f(a) rn 1 皿跳a) 0g 0 则 Rx) (x a

21、)n a)n)0 n!n 因此f(x)是(x前的n阶无穷小(后面章节还会讲到)。利用无穷小的运算性质如若X &时，x盘x分别是X &的n阶与则X g X是X a的(n m)阶无穷小，当11111时，X gx是m 阶无穷小，x a的n阶无穷小。本章需要记忆知识1重点概念、性质函数的定义、函数连续的定义、间断点及其类型、夹逼准则、单调有界准 13高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解则等。2重点公式sinxlim Lx Oxulim 1 x x Olx 1 e(或 lim 1e)；工nx常用极限：o i中列向ilimarctanx2xlimarcxta n xx 2c otlimarcxx

22、x Ox xx IHmarccotxlimex Olimex lim x基本题型训练1求复合函数x 2,x 0, x 2 例设 f x ，求 f xx,x lx Lx 0 x e? x 1解：由题设f x ,X , X 1分以下情况讨论。当 X 1时，X 0 x L 或 x Q x x 2 1, 即 x :X 。0 X 或 x Q x x2 1 1,即2 x 2当 x 1时，X 01 X 0.或 x 0： x x 2 1, 即 x 1x Q 呈或 k 0： x xll,bp 2 x 2214高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解x 2,综上所述，f x2 1 e, Lx 1 1 x 00

23、 x x 2利用函数概念求函数表达式知 KM 1 X sin工,求f(x)o 解：令ex t ,则x lilt o于是 hl 疝iflnl)从而 Rx ) Hxn s0 ixR (x)(x),其中(x)是已知函数，则有两类问题：一是已知f求；二是已知求f。若f是已知，并存在反函数，则 1( 。若 已知，并存在反函数，令，则x 皿，从而叫 (1(0),即(X)(1(。)。因此，这两类问题都是求反函数问题。3求未定型函数极限例求下列极限 解：原式15高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 原式原式原式16高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解4求变限积分不等式的极限 (cldt)202

24、x02例求极限lim解：原式=lim3xedt2t22( etdt)( cidt),2x22x2光018x2limX4e4x22x尤018x2etdt24 lim014x23x e2xetdt242e4x lim 014x2x328xe2注：在验证条件limXRl)dl 时，要用到以下结论：若f(x)连续，又IA 0(也可为)lim (x),则向x 0叫dt o5由极限确定函数中的参数例 确定a,b,c的值，使解：当原式故原式故c=存在，并求该12时，由可得同理可得的值，使极限例试确定常数极限值.17高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 解：原式可得存在 则原式同理由所以原式6利用函数

25、收敛准则求极限例1 (利用夹逼准则)可得解:由夹逼原则可得原式例2 （利用单调有界准则）1 a若序列a口的项满足：al .为正的常数），且an 1 an ,（这里2 an18高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解口 12 Jo试证an有极限，并求出它。1 a al 2岫a 解：由ala2 al 2 al 2812al今用数学归纳法证 冰 I a ak2 也a冰 1 ak 2 冰 a2ak2k1 a又an an 1 an 2 an。这只须注意到:an2 a 0,故 我1单调且有下界，从而其极限 2an（n 时）存在，令其为a。1 。由窗I an 2 an I alima lima 有皿 I

26、n n2an1 a ,即 A A ,2 A 即A2 a,所以一 .0 。从而 liman n7求n项和数列的极限2 n sin 1例求 limn n In n 2n2 n sinsinsinlni 1 2 n &h;(sin sin sin) =HnInni Innnnn In In 2nsinsin.Uni 2 而 lim sin sin xdx ,另一方面，On im i 1 19高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解sin2 nsinsi 血 &gl；l(sin sin2 simi ) = n Isini 皿 In Ini liiiimi In n2nnlnj 22 .且 隔 si

27、n ,故由夹逼定理原式=n n Inn i I8求n项积数列极限，xxx 例当 x 0 时，Hmcoscos cosnn242xxxx2iisinncoscos cosn原极限liin n2nsinn2xxxx2n Icoscos (cosnsiim) lim口 X2nsinn2 xxxx2n 2gsecis (2cosn 1 siiin 1)limn 2nsinn2sinXX2n2n limsinxlin nx2sin2sinx2nsinx2nsinxx9利用函数极限求数列极限12例 求 lim(ntan)n口 11解：因为limntan口1lininntan1L可化为求 lim(xtan1

28、)x2口 Xnttant ttltant ttant tlx2)又因为lim(ln xt Otx20,其中limt 0t。而tant l高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解1 lUtot 11(1 cost)(l cost)Him lim lim , 故 原 式 =e3 3222t Ot Ot3t3t OtcostS10无穷小的比较与无穷小的阶的确定例 设函数Rx) limn xr无，则胞)在(:)处处可导(B)恰有一个不可导点(C)恰有两个不可导点(D)至少有三个不可导点C 解:先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形当x 1时，心)1血 池 3n 1 ；n当x 1时，心)1血1 1

29、 ；当X 1时，I(x) linixfn 31x3n 1) x. In3x3a L即Rx) 1, 1 x L可见f(x)仅在x=1时不可导，故应选(C)x3,x L11函数连续性与间断点类型的讨论例判断间断点并判别类型解：当时,时,时,所以为函数第一类间断点21高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 12有关极限的证明例设f(x)在)连续JimRx) A 0,求证lim出X xX 0 证明因liml(x) AA,由极限的不等式性质可知，x 2AX.当X X时，小)MX X时，有2xXxXARDdl I(l)dl (x X) 0 0 X 0 2xO,因此Xlif111 td( t)x TO

30、C o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark0 o Current Document x0注： 若 A 0,则lim, L fl(d)类似可知，若 A 虫则lim i11(d) HYPERLINK l bookmark2 o Current Document X0 x13利用泰勒公式求极限例求下列极限(关于泰勒展式有关1面Wx21n(l )；2112 %；(4)M1 2 加；x Ox 0 xx2 x解lim cosx ex 0sin4xx22 limcosx ex 0 x4x22x22.分母的次数为4, .只要把cosx, ecosx 1eX22展开到出现x的四次幕即可。1

31、2144X X O(X)2!4!121122lx(x) 0(x4)22!2114)x o x4 1故 原极限lim4x 0 x12(22高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解)的展开式只要取到2项即可11111 ln(l )()2 of02) xx2xx2x2xx2111111原极限limfx x2( 02 川 lim口1)(3)二.分子关于x的次数为2。1111 a(1 5x) 1 (5x)( 1) (5x)2 c(x2) 5215515lx1 x 2x2 o(x2)21 原极限 Hmx OR x 2x2 o(x2) (1 x)2x2 x ln(l x) ln(l x)(4) I nx

32、2 X221 2 xlxlxxlx21x33 2)3)0 x() 1Kg )x 3(22232222321 x x3 o(x3) 12111131o(x3)3. 1 2 3x x o(x)l 13xxl212x)故 lim(l x 0112 xH 应 2x32 x!2练习题一1填空题(1)已知(2)设函数有连续的导函数,，若23高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解在处连续，则常数(3)设当(5)已知(6)时,阶无穷小，则1222n2(7) lim(3 33) n n In 2n nxm US) limn(m 和n为正整数且 m n) n x 1a bx2,x 0 (9)设Rx) sin

33、bx在x 0处间断，则a与b应满足的关系是 a 0 x2选择题(1)若函数处连续，则的值是24其中则必有高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 x在定义域（B）有下界无上界.（D）有界且2211x（C）有界，且1K TOC o 1-5 h z 21 x22(3)函数 f x (4) limx3x)_x (A) (B)4 1(C)(D)4 x 1 x 1 则2(x) _x 1 1 ,x 1 x(A)1(B)03(6)设口)& 工则 _ sin x (C)(D)不存在(A)有无穷多个第一类间断点，(B)自由一个可去间断点(C)有两个跳跃间断点(D)有3个可去间断点3计算与证明求极限试讨论处的

34、连续性和可导性 (3)试确定常数极限值.25的值，使极限存在，并求该高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解设的值 求的可去问断点，求(5)设的值。求(6)设的某邻域R )f(xl) KM Rxn)。n 设 色)在(，)上连续，且 皿01 x,证明： 一个，使得R )(10)设 f(x), g(x)在a,b上连续，且 Ra) g 1(b) g(b),则在(a,b)(2)a+b26高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解16(5) TOC o 1-5 h z (6) 2(7) 13(8) mn (9) a b2 (A)(2) (D)(3) (C)(4) (A)(5) (D)(6) (D)

35、 3 nm (2) 1(3), (5)212(8)提示：用介值定理 提示：辅助函数F(x)心)工，用零点定理(10)辅助函数 g(),利用介值定理(11)可利用零点定理(12)可利用前面讲到的求复合函数当中的图示法 27高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解极限理论框架图28高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解第二章一元函数微分学本章要求1理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求 平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理 量（数三、数四不要求），理解函数的可导性与连续性之间的关系。（数三、数 四增加要求了解经济意义（含边际

36、与弹性的概念）。2掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。3了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。4会求分段函数的导数，会求隐函数和参数方程所确定的函数以及反函数的导数。（数三、数四参数方程求导不要求）5理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理泰勒定理，了解并会用（数三、数四 不要求）柯西中值定理。6掌握用洛必达法则求未定型极限的方法（数三、数四会用洛必达法则求极限）。7理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌 握函数最大值和最小值的求法及其应用。8会用导数判断函数图形的

37、凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐 近线，会描绘函数的图形。9 了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径 （数三、数四不要求）。 第1节导数与微分基本内容学习一基本概念与定理1导数的概念定义1（函数在某点的导数）：设函数Rx）在x0的领域内有定义，给x在29高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 x0处以增量式0）,函数 y和相应地得到增量 y心0 0,如果极 小0 X）心0）八，存在，则函数在点处可导，该函数值1讪x 0 x x 0 xdy称为函数在x0处的导数，记为（助， （测，X X0即dxRxO x） f（xO） y 令 xO X X ,则 （xO） lim iim x 0 x x 0 x 限 limf （xO） limx xOf（x） 1（x0） x xO定义2（左右导数）：函数f（x）在x0处的左、右导数分别定义为左导数f (xO) lim x 01(x0 x) f(xO)f(x) 1(x0) xO x)x x xx xQQ1(x0 x) f(x O)f(x) 1(x0) lim x xO xx xO右导数f (xO) lim x 0定义3(函数在区间上可导)：如果y fix)在(a,b)内每一点均可导；则称该函数在 (a,b)内可导；若y 在(a,b)内可导，且在X &和X b处分别具有右导数