高考数学专题复习16空间角

1、45角，则此直线与高考数学专题复习16空间角高考在考什么【考题回放】.如图，直线 a、b相交与点 O且a、b成60O,过点 O与a、 b都成60角的直线有(C )A 1条 B . 2条 C . 3条 D . 4条.在一个45的二面角的一个平面内有一条直线与二面角棱成二面角的另一个面所成的角为(A )A 30B . 45C . 60D , 90.直三棱住 AiBiCiABC /BCA=900,点 D、Fi 分 别是 AiBi、AiCi 的中点，BC=CA=CC 则 BD 与 AFi 所成角的余弦值是(A )A适 B . 1 C .包 D.丑 i2i5i.已知正四棱锥的体积为 i2,底面对角线的长

2、为 2旗, 则侧面与底面所成的二面角等于.3. PA,PB,PC是从P点引出的三条射线，他们之间每两条的夹角都是60 ,则直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为：? 3O为正方体 ABCD-AiBiCQ的中心，作 OHLM ,连结 OM则OML DE (三垂线定理)，.在棱长为a的正方体 ABCD-AiBiGD, E、F分别为BC与AD的中点,(i)求直线AiC与DE所成的角；(2)求直线AD与平面BEDF所成的角；(3)求面BEDF与面ABCD成的角。【专家解答】(i)如图，在平面 ABCCrt,过 C作CP/DE交直 线AD于P,则/ACP (或补角)为异面直线 AiC与 DE所成的角。在

3、AACP中，易得A1c =、：3a,CP =DE =*5a,A1P =3a ,由余弦定理得2215故异面直线 AiC与DE所成的角为arccos。15(2) : ZADE =NADF ,AD在面BiEDF内的射影在/ EDF的平分线上。 而BiEDF是菱形，DBi为/ EDF的平分线。故直线 AD与面 BEDF所成的角为/ ADBi.在 RtABiAD中， IAD = a, AB1 =亚a, B1D = V3a,则 cosZADB1 = 3。3故直线AD与平面BEDF所成的角为arccosi3。3(3)连结EF、BiD,交于点O,显然O为BiD的中点，从而 平面ABCD则H为正方形 ABCD勺

4、中心。再作 HML DE垂足为 故/ OMHK/二面角B-DE-A的平面角。DE10在 RtADOOE 哼 a,OD 哼DE 琮 a， 则由面积关系得OM=0E=a。FB 高考将考什么【范例1】在1200的二面角0(aP中，AW0(, BwP ,已知点A和B到棱的距离分别为 2和4, 且AB=10。求(1)直线AB与棱a所成的角；(2)直线AB与平面3所成的角。解：(1)如图所示，在平面 a内，过A作Ad a ,垂足为 C;在平面3内，过B作BDL 3 ,垂足 为D;又在平面 3内，过B作BE/CD,连结CEL,则/ABE为AB与a所成而角，CE/ BD,从而 CELL a , / ACE=1

5、20, / AEB=90，一一一丁在AACE中，由余弦定理得/AE = Jac2 EC2 -2AC ECcos1200, ,J- 一 /=22 42 -2 2 4cos120 = 2 7A故 DE =(3,-3,0),EC1 = (1,3,2), FD1 =(-4,2,2)设向量n = (x, y,z)与平面GDE垂直，则有DCD1B1C1E、F分别是线段 AB BC上的点，且 EB= FB=1.(1)求二面角 C- DE- C1的正切值；(2)求直线EC与FD所成的余弦值.解：()以a为原点，AB,AD, AA1分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系，则有D(0,3,0) 、D(0,

6、3,2) 、E(3,0,0) 、F(4,1,0) 、C(4,3,2),A1在 RtAAEB 中，sin/ABE =些AB(2)过点A作AAP,则垂足故直线AB与平面3所成的角为arcsin 10【点晴】 本题源于课本，高于课本，不难不繁，体现了通过平移求线线、通过射影求线面角的基本方法。【文】 如右下图，在长方体 ABCD-A1B1OD中，已知AB= 4, AD =3, AA 1= 2 .0故直线AB与棱a所成的角为arcsin 55A在P的另一半平面上。在 RtAAA C 中，AA = ACsin600 =73。在 RtAAAB 中，sin/ABA= AA = 。AB 10高考要考什么系,猜

7、斜线上一点或斜线本身的射影一定落在平面的某个地方三垂线定义，然后再证垂面法3.二面角的平面角的主要作法：定义【考点透视】异面直线所成角，直线与平面所成角，求二面角每年必考，作为解答题可能性最大.【热点透析】1.转化思想： 线线平行二线面平行 u 面面平行，线，线二线_1面之面，面 将异面直线所成的角，直线与平面所成的角转化为平面角，然后解三角形2.求角的三个步骤：一猜，二证，三算.猜是关键，在作线面角时，利用空间图形的平行，垂直，对称关在 RtAOHM中 sin/OMH =空=122。OM 630故面bedf与 面ABC所成的角为arcsin-一6DE=(一z,z) = z(一1,2)，其中

8、z 0取n0 = (1,1,2)，则n0是一个与平面C1 DE垂直的向量丁向量 AA 1 = (0,0,2)与平面 CDE 垂直，n 0 与 AA1所成的角6为二面角C - DE C/勺平面角t an 二| n 0 | 1AAi |. 114、004、.22(II )设EC与FD所成角为3 ,则EC1 *FD11 (-4) 3 2 2 2| EC1 | | FD1 |12 32 22 . (-4)2 22 22.2114【点晴】空间向量在解决含有三维直角的立体几何题中更能体现出它的优点，但必须注意其程序化的过程及计算的公式，本题使用纯几何方法也不难，同学不妨一试。【范例2】如图，在四棱锥 P-

9、ABC右，底面ABCD为矩形，侧棱 PAL底面 ABCD AB=、, 3, BC=1 PA=2,E为PD的中点(I)求直线(n)在侧面并求出AC与PB所成角的余弦值；PAB内找一点 N,使NEL面PACN点至ij AB和AP的距离解法一：(I)建立如图所示的空间直角坐标系，则A、日C口 P、E的坐标分别为A(0, 0, 0), B(V3,0, 0), C( .3 ,1,0), D(0, 1,0), P(0, 0,2), E(0 ,2,2).3x - 3y =0二 xx 3 y 2 z = 0从而 AC= ( V3, 1, 0) , PB= ( 3 , 0,设AC与PB的夹角为0 ,则cos0A

10、C PB3-7| AC | | PB |2,714 ，_一一、八3 . 7AC与PB所成角的余弦值为 三714(n) N点在侧面pab内，故可设1_P NrN 点坐标为(x, 0, z),则 ME =( x, ,1z) 2, 工 NE AP=0,由NEEL面PAC可得 NE AC = 0,-C-X-o - 4：B x=0.，1,、(-x - ,1 - z)2，1,、(-x - ,1 - z) 2z -1 =0,(0,0,2) =0,(,3,1,0) =0,3 x =6 z = 1.即N点的坐标为(0, 1),从而N点到AB AP的距离分别为1, ；解法二：(I )设 AOA BD=Q连 OE贝

11、U OE/PB,EOA即为AC与PB所成的角或其补角,在AAOE中，AO=1, OE=!pB=1Z, AE=1PD=_,3.1714d 7 5 13 17 cosEOA =一幻生=,即AC与PB所成角的余弦值为、714212(n)在面 ABCg过D作AC的垂线交 AB于F,则/ADF =6 TOC o 1-5 h z J-f-连 PF,则在 RtAADF中 DF=AD =32 AF =ADtanADF = . cosADF 3 3设N为PF的中点，连 NE贝U NE/DF,-. DF1AC DF PA，DF，面 PAC从而 NEL面 PAC.N点到AB的距离= 1aP=1, N点至ij AP的

12、距离mJaFmE3 HYPERLINK l bookmark8 o Current Document 226【点晴】由线线、线面、面面的位置寻找满足某些条件的点的位置，它能考查学生分析问题、解决问 题的能力，两种方法各有优缺点，在向量方法中注意动点的设法，在方法二中注意用分析法寻找思路。/BAD =90 ,沿对角线 AC将折起，使点B在平EF,则 OE/AD,【文】在梯形 ABCD43, AB=BC=1 AD=2 /CBA 面ACD内的射影 O恰在AC上。(1)求证：AB_L平面BCD(2)求异面直线BC与AD所成的角。解：在梯形 ABCD, AC = DC = 72,AD=2, , AC2

13、+DC2 =AD2 ,- AC .L DC 又 BO _L平面 ACD 故 AB _L CD 又 AB _L BC ,且 BCcCD =C , AB .L 平面 BCD(2)因为 BA=BC BO _L AC ,二O为AC中点，取 CD中点E, AB中点F,连结 OE OF/BC,所以AD与BC所成的角为NEOF或其补角 作FH/BO交AC于H,连结 HE,则FH_L平面 ACD.EF2 -FH 2 EH 2 -FH 2 HC 2 EC21在二角形EOF中，又；FO , EO=12 1由余弦定理知cos/EOF =-,二/EOF =120故异面直线 BC与AD所成的角为1202【点晴】折叠问题

14、必须注意折叠前后之间的关系和区别，本题使用空间向量的方法也不失一种好方法。【范例3】如图，在斜三棱柱ABC AB1cl中，A1AB A1AC, AB = AC,AA = AB=a,侧面B1BCC1与底面ABC所成的二面角为120 1 E、F分别是棱B1c1、AA的中点(I )求A A与底面ABC所成的角(n)证明A1E /平面B1FC（出）求经过 A,、A、B、C四点的球的体积解：（I）过A作A1H _L平面ABC ,垂足为H连结AH ,并延长交BC于G ,于是ZA1AH为AA与底面ABC所成的角NAAB=NAAC ,AG 为/BAC 的平分线又 AB =AC , AG _L BC ,且G为B

15、C的中点.由三垂线定理 A1 A_L BC . A1A/B1B,且 EG/B1B ,，EG _L BC .于是/AGE为二面角A BCE的平面角，即/AGE =120;由于四边形A1AGE为平行四边形，得 /AAG=60二.（n）证明：设 EG与B1c的交点为P ,则点P为EG的中点.连结PF .在平行四边形 AGEA中，因F为A1A的中点，故 A1E/FP .而FP u平面B1FC , AE红平面B1FC ,所以AE 平面B1FC .（出）连结 A1C .在 M1AC 和 AAAB 中，由于 AC = AB , NA AB=NAAC , AA = A1A ,则 AAAC AAAB ,故 A,

16、C = A1 B .由已知得 AA=A1B=AC=a 又AH _L平面ABC ,H为AABC的外心设所求球的球心为 O ,则O w A1H ,且球心O与A1A中点的连线OF _L AA1 TOC o 1-5 h z a-在RtAA FO中，AQ = 1=上一= 出 . HYPERLINK l bookmark92 o Current Document cos AA1 H cos 30334 3 43 3故所求球的半径 R= a 球的体积 V = nR =na . HYPERLINK l bookmark106 o Current Document 3327【点晴】（I） （n）两小题注意使用二

17、面角属于简单立几问题。（出）要注意球的几何性质以及平 面几何知识的合理利用。【文】在四棱锥 P-ABCD中，ABCM正方形，PAL面 ABCD PA= AB= a, E为BC中点.（1）求平面PDE与平面PAB所成二面角的大小；（2）求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小解：（1）延长AR DE交于点F,则PF为平面PDE与平面PAD所成二面角的棱，. PAL平面 ABCD - ADL PA AB, PAAAB=A DAL平面 BPA于A, 过A作AOL PF于Q 连结 OD,，,，5 atctan 2则/AOD即为平面PDE与平面PAD所成二面角的平面角。5得tan/AOD =，故面PDE

18、与面PAD所成二面角的大小为 2* *B（2）解法 1 （面积法）如图: ADLPA AB, PAAAB =ADAL平面 BPA于A,同时BCL平面 BPA于B,.PBA是4PCD在平面PBA上的射影,设平面PBA与平面PDC所成二面角大小为 0 ,cos 0 =Sapae/S PC=收/2 =。=45即平面BAP与平面PDC所成的二面角的大小为45解法2 （补形化为定义法）如图将四棱锥P-ABCE#形得正方体 ABCD-PQMN贝U PQL PA PD,于是/ APD是两面所成二面角的平面角。在 RtPAD 中，PA=AD45。则/APD=45 。即平面 BAP与平面PDC所成二面角的大小为

19、【点晴】求线面角、面面角关键在于准确作出角，同样遵循一作二证三计算的步骤，但应用面积射影 法求二面角可避免找角，同学们注意经常使用。【范例4】如图，已知平行六面体 ABCD AB1c1D1的底 面 ABCD1：菱形，且.C1cB =/C1cD =/BCD =600.(I)证明：OCXBD.一、3 一一 、. 一(II ) CDD= CD=2, CC=-,记面 CBD为 & ,面 CBM 3 ,2求二面角a BD 3的平面角的余弦值；CD(III )当CD的值为多少时,能使 AC平面GBD?请给出证明。 CC1(I )证明：连结 ACi、AC AC BD交于O,连结CiO .四边形 ABCO菱形

20、，. AQ BD BOCD 又.ZBCC1 =/DCC1 , C1C =C1c , AC1BC 与AC1DC,C1B=C1D ,. DOOBC1O_LBD (1 ACL BDAS C1O=O,BDL平面 AC1 .又 C1c u平面 AC1 ,C1 C_L BD.(II )解：由(I )知 ACL BD, C1O_LBD /gOC是二面角a-BD-P的平面角.在 AC1BC 中，BC=2, C1c =3, /BCC1=60：, 2 TOC o 1-5 h z _ 22r3 23-3C1B2 =22-2x2x-xcos60224z OCB30:ob=1b(=1.cqJgb2 -ob2=-1=2,

21、2443C1O =3 即 C1O =C1c.作 C1H，OC 垂足为 H2点H是OC的中点，且OH二旦,所以cos/C10c = OH =料.(III )当CDCC1=1时，能使A1C，平面C1BD .2 1C10 3CD证法一：.=1, . . BC=CD=C1C ,又/BCD =/C1cB =/C1CD CC1由此可推得 BD=C1B =C1D . .三棱锥 C C1BD是正三棱锥设 A1c 与 C10 相交于 G AC1 /AC 且 AC1 ： 0C2 ： 1,CG : G02： 1.又C10是正三角形C1BD的BD边上的高和中线，.点G是正三角形 C1BD的中心，CGL平面C1BD .

22、即A1C，平面C1BD证法二：由(I)知，BDL平面 AC1 , . A1C 仁平面 AC1 , /. BDL A1C .CDCc1=1时，平行六面体的六个面是全等的菱形,同BDL A1C的证法可得BCAC .又BDn BC1=B,.AC，平面 C1BD .【点晴】本题综合考查了立体几何的各种基础知识,(III )作为开放题有一定难度，常使用猜测(或特殊情形猜测)再分析证明的解决方法。【文】如图，在四棱锥 P-ABCD43,底面ABC比边长 为a的正方形，并且 PD=a, PA=PC=2a。(1)求证：PDL平面 ABCD(2)求异面直线PB与AC所成的角；(3)求二面角A-PB-D的大小。(

23、4)在这个四棱锥中放一个球，求球的最大半径。解：(1) PC=V2a, PD=PC=a PDC RtA,且 PD DC同理 PD AD 又 ADA DC=D，PD平面 ABCD(2)连BD,因ABC皿正方形，BDAC 又 PD平面 ABCDBD是PB面ABCDk的射影，由三垂线定理得 PB!AC. PB与AC成90角。(3)设 A6 BD=OAE1PB 于 E,连 OE. ACL BD 又 PD1 平面 ABCD AC=平面 ABCD PD AG又 PDH BD=D. .ACL平面 PDB由三垂线定理逆定理知 OEL PB, 又 AB=a, PA=2a , PB=J3a ,则OE是AE在平面P

24、DB上的射影。/AEO是二面角 A-PB-D的平面角。 PEL平面 ABCD DALAR2 一 . 2 .PAL AB,在 RtPAB 中，AE?PB=PA?A B，AE=丝 a,又 AO=2a32sin AEO = -AO OE(4)设此球半径为 四棱锥分为五个小四棱锥,1,3=,/AEO=60 ,二面角 A-PB-D的大小为 60 。 2R,最大的球应与四棱锥各个面相切，球心为S,连SA SR SC SD SP,则把此V P ABCD =qR(SDC +S苫bC S SfAB + SfDA + S 正方形 ABCD ) 31a2= 3R(Ta22a22ar -r 它们的高均为R,由体积关系

25、得：-a2)-R(2a2 2a2) = - a333R = a = (2 -V2)a。 2 .2【点晴】 解决(4)的关键是确定球与四棱锥具有怎样的位置关系时，半径最大，此时怎样建立关于 球的半径的等量关系式。立体几何中的最值问题，常有两种解决方法：(1)建立所求量的函数关系式，再求最值；(2)根据立体几何的有关知识，确定在什么位置时，所求量取最值。自我提升1 .平面ot的斜线AB交口于点B ,过定点A的动直线l与AB垂直，且交口于点C ,则动点C的轨迹是(A )一条直线一个圆(C) 一个椭圆.如果平面的一条斜线长是它在这个平面上射影长的 所成角的余弦值为(A )(D)双曲线的一支3倍，那么这

26、条斜线与平面A. 1 B3.如图在正三角形点，G H I、3 C3ABC中,E、F分别为各边的中J分别为AF、AD BE、DE的中点,将三角形沿DE EF、DF折成三棱锥以后，G山IJ所成角的度数为(B )A 90 B . 60 C . 45.已知二面角a -l - P的大小为D 600,m, n为异面直线，且.120m, n所成的角为(BA 300 B.在ABC中,M,N分别是AB,AC的中点,PM,平面 ABC,当BC=18,PM=3j3时，PN和平面 ABC所成的角 是 30 .正六棱柱 ABCDED-/BiCQEiFi的底面边长为1,侧棱长为止,则这个棱柱的侧面对角线ED与BC所成的角

27、为 60.在正四面体 ABCD43, E、F分别为AD BC的中点。(1)求CE与AF所成的角；(2)求直线CE与平面BCD所成的角。解：(1)连结FD,取FD的中点G,连结GE B G分别是AD FD的中点，GE / AF ,故/ CEG(或其补角)即为 CE与AF所成的角。设 AB=a在ACEG中， 222EG =2a,EC =a, CG =二 a, COS. CEG =CE EG -GC4 一 242故CE与AF所成的角为arccos 。3(2)二.正四面体 ABCD，BCLAF, BCLDF,.BCL面 AFD 面 AFDL面 BCD 过 E作 EHL DF于 H, 贝U EHL面BC

28、D贝U/ ECH为CE与面BC所成的角。在 Rt ACEH中，sin ZECH =23即CE与平面BCD的角为arcsinXl。38 .已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形2,AB/ DC,2DAB =90*PA_L 底面 ABCD 且_ 1PA=AD=DC=AB=1, M是 PB的中点2(I )证明：面 PADL面PCD(n)求AC与PB所成的角；(出)求面AM*面BMO成二面角的大小方法一：(I)证明： PAL面 ABCD CDLAD由三垂线定理得 CDL PD因而，CD与面PAD内两条相交直线 AD, PD都垂直,又 CD二面 PCD 面 PADL面 PCD(n)解：过点 B作 BE/

29、CA,且 BE=CA则/ PBE是ACW PB所成的角.连结 AE,可知 AC=CB=BE=AE=2 ,又 AB=2,所以四边形ACBE正方形.由 PAL面 ABCD导 / PEB=90CDL 面 PADBE . 10在 RtPEB 中 BEK2, PB75 ,二 cos/PBE =.PB 5,-11 10二AC与PB所成的角为arccos.5(出)解：作 ANLCM垂足为 N,连结BN在 RtPAB 中，AM=MB 又 AC=CB. .AM葭 BMC,.BNLCM故/ ANB为所求二面角的平面角. CBLAC由三垂线定理，得 CBL PC 在 RtPCB 中，CM=MB 所以 CM=AM在等腰三角形AMH, AN- MC= .CM2 -(竺2)2AC，, AN3=26. 5. 5.AB=2co