高考数学专题训练-概率

1、2009届高考数学专题训练一一概率1.两人要去某风景区游玩，每天某一时段开往该风景区有三辆汽车(票价相同) ， 但是他们不知道这些车的舒适程度，也不知道汽车开过来的顺序.两人采用了不同 的乘车方案：甲无论如何总是上开来的第一辆车.而乙则是先观察后上车，当第一辆车开来时，他不上车，而是仔细观察车的舒适状况.如果第二辆车的状况比第一辆好，他就上第二辆车；如果第二辆不比第一辆好，他就上第三辆车.如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等，请尝试着解决下面的问题：(1)三辆车按出现的先后顺序共有哪几种不同的可能？(2)你认为甲、乙两人采用的方案，哪一种方案使自己乘坐上等车的可能性大？为什么？2有一个抛

2、两枚硬币的游戏，规则是：若出现两个正面，则甲赢；若出现一正一反, 则乙赢；若出现两个反面，则甲、乙都不赢.(1 )这个游戏是否公平？请说明理由；(2 )如果你认为这个游戏不公平， 那么请你改变游戏规则，设计一个公平的游戏；如果你认为这个游戏公平，那么请你改变游戏规则，设计一个不 公平的游戏. 一个口袋中有10个红球和若干个白球，请通过以下实验估计口袋中白球的个数：从口袋中随机摸出一球，记下其颜色，再把它放回口袋中，不断重复上述过程.实 验中总共摸了 200次，其中有50次摸到红球. 求其中白球的个数.在右图所示的图案中，黑白两色的直角三角形都全等.将它作为一个游戏盘， 游戏规则是：按一定距离向

3、盘中投镖一次，扎在黑色区域为甲胜，扎在白色区域为 乙胜.你认为这个游戏公平吗？为什么？.在口袋里有4颗糖，其中2颗是草莓口味的，1颗是苹果口味的，1颗是薄荷口 味的.(1)从中同时取出两颗，共有多少种等可能的结果？(2)从中取出一颗，放回搅匀后再取一颗，共有多少种等可能的结果？(3)比较在(1) (2)两种不同的取法中，”取出的两颗糖口味一样”的概率.6. 一个盒子中装有四张完全相同的卡片，分别写着 2cm , 3cm , 4cm和5cm ,盒 子外有两张卡片，分别写着3cm和5cm.现随机从盒内取出一张卡片，与盒子外的 两张卡片放在一起，以卡片上的数量分别作为三条线段的长度，解答下列问题：(

4、1)求这三条线段能构成三角形的概率；(2)求这三条线段能构成等腰三角形的概率.7.(构造概率模型解题)设0 x, y,z 1 ,求证：x + y+ z-xy-yz-zx1.8.证明范德蒙(Vandermonde)恒等式:C0 k1 k -1 . .0k 0 _kn Cm Cn CmCnCm - Cn：m .9.某农科所培育出两种杂交水稻品种进行试验种植，在相同的条件下各种种植10亩。收获情况如下:A品种山产量 (kg)750780800840880山数2.51.522.51.5B品种山产量 (kg)760780800820850山数22321试评价两种水稻品种产量的优劣状况.某电路中有红灯、绿

5、灯各一只，当开关闭合后，便有红灯和绿灯闪动，并且每 次有且仅有一只灯亮，设第一次出现红灯和绿灯的概率相等，从第二次起，前次出现红灯后接着出现红灯的概率是1,前次出现绿灯后接着出现红灯的概率3是,.求：5(I )第二次出现红灯的概率；(H)三次发光，红灯出现一次，绿灯出现两次的概率.从10个元件中(其中4个相同的甲品牌元件和6个相同的乙品牌元件)随机 选出3个参加某种性能测试.每个甲品牌元件能通过测试的概率均为 牌元件能通过测试的概率均为之试求： (I)选出的3个元件中，至少有一个甲品牌元件的概率；(II )若选出的三个元件均为乙品牌元件，现对它们进行性能测试，求至少有 两个乙品牌元件同时通过测

6、试的概率.,每个乙品5. 1 .猎人在距100米处射击一野兔，其命中率为 1,如果第一次射击未中，则猎人2进行第二次射击，但距离为150米，如果第二次未击中，则猎人进行第三次射击，并且在发射瞬间距离为200米，已知猎人命中概率与距离平方成反比， 求猎人命中 野兔的概率。.设有n个人，每个人都等可能地被分配到 N个房间中的任意一问去住(nN), 求下列事件的概率(1)指定的n个房间各有一个人住(2)恰好有n个房间，其中各住一人.已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机制概率为0.2(1)假定有5门这种高炮控制某区域，求敌机进入该区域后被击中的概率。(2)要使敌机一旦进入这个区域后有 0.9以上的概率

7、被击中，需至少布置几 门高炮？.某数学家有两盒火柴，每盒都有 n根火柴，每次用火柴时，他在两盒中任取一 盒并从中任取出一根，求他发现用完一盒时，另一盒还有 r根(1rn)的概率.基本系统是由四个整流二极管(用、并)联而成，已知每个二极管的可靠度为 0.8 (即正常工作)，若要求系统的可靠度0.85,请你设计二极管的联结方式。.甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一 刻钟，过时即刻离去，求两人会面的概率。.某商场为了吸引顾客，设置了两种促销方式.一种方式是：让顾客通过转转盘 获得购物券.规定顾客每购买100元的商品，就能获得一次转转盘的机会，如果转 盘停止后，指针正

8、好对准100元、50元、20元的相应区域，那么顾客就可以分别 获得100元、50元、20元购物券，凭购物券可以在该商场继续购物；如果指针对 准其它区域，那么就不能获得购物券.另一种方式是：不转转盘，顾客每购买100元的商品，可直接获得10元购物券.据统计，一天中共有1000人次选择了转转盘 的方式，其中指针落在100元、50元、20元的次数分别为50次、100次、200次.(1)指针落在不获奖区域的概率约是多少？(2)通过计算说明选择哪种方式更合算？19.某中学高一年级有6个班，要从中选出2个班代表学校参加某项活动，高一（1） 班必须参加，另外再从高一（2）班至七（6）班选出1个班.高一（4）

9、班有学生 建议用如下的方法：从装有编号为1、2、3的三个白球A袋中摸出一个球，再从装 有编号为1、2、3的三个红球B袋中摸出1个球（两袋中球的大小、形状与质量完 全一样），摸出的两个球上的数字和是几，就选几班，你认为这种方法公平吗？请 说明理由.20.某商场2009年2月搞“真情回报社会”的幸运抽奖活动，共设五个奖金等级,最高奖金每份1万元，平均奖金180元，下面是奖金的分配表:资金等级一等奖二等奖三等奖四等奖五等奖资金额（元）10000500010005010中奖人数3889300600一名顾客抽到一张奖券，奖金数为 10元，她调查了周围不少正在兑奖的其他顾客，很少有超过50元的，她气愤地去

10、找商场的领导论理，领导解释说这不存在 什么欺骗，平均奖金确实是180元.你认为商场所说的平均奖金是否欺骗了顾客? 此种说法是否能够很好地反映中奖的一般金额？用你所学的统计与概率的有关知 识做简要分析说明.以后遇到类似抽奖活动的问题，你会更关心什么？.抽样本检查是产品检查的常用方法.分为返回抽样和不返回抽样两种具体操作 方案.现有100只外型相同的电路板，其中有40只A类版后60只B类板.问在下列 两种情况中“从100只抽出3只，3只都是B类”的概率是多少？(1)每次取出一只，测试后放回，然后再随机抽取下一只(称为返回抽样)；(2)每次取出一只，测试后不放回，在其余的电路板中，随意取下一只(称

11、为不返回抽样).某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0. 21、0.23、0.25、0.28,计算这个射手在一次射击中：(1)射中10环或7环的概率；(2)不够7环的概率.如图，用A, B, C三类不同的元件连接成两个系统 Ni, N2,当元件A, B, C都 正常工作时，系统 N1正常工作；当元件 A正常工作且元件B, C中至少有一个正 常工作时，系统N2正常工作.已知元件A, B, C正常工作的概率依次是0.80, 0.90, 0.90.试分别求出系统Ni, N2正常工作的概率P1, R.(NP-aBc -01.某城市518路公共汽车的准时到站率为 90%,某人

12、在5次乘坐这班车中，这班 公共汽车恰好有4次准时到站的概率是多少？25.某公交公司对某线路客源情况统计显示， 公交车从每个停靠点出发后，乘客人 数及频率如下表：人数067-1213-1819-2425-3031人以 上频率0.10.150.250.200.200.1(1)从每个停靠点出发后，乘客人数不超过 24人的概率约是多少?(2)全线途经10个停靠点，若有2个以上(含2个)，乘客人数超过18人的 概率大于0.9,公交公司就要考虑在该线路增加一个班次，请问该线路需要增加班 次吗？26.排球比赛的规则是5局3胜制，A、B两队每局比赛获胜的概率都相等且分别 为2和1.33(1)前2局中B队以2

13、： 0领先，求最后A、B队各自获胜的概率；(2) B队以3 ： 2获胜的概率.北京08奥运会吉祥物是“贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮”.现将三张分别印有“欢欢、迎迎、妮妮”这三个吉祥物图案的卡片 （卡片的形状大小一样，质地相 同）放入盒子.欢欢迎迎蛔蛔（1）小玲从盒子中任取一张，取到卡片欢欢的概率是多少？（2）小玲从盒子中取出一张卡片，记下名字后放回，再从盒子中取出第二张 卡片，记下名字.列出小玲取到的卡片的所有可能情况，并求出两次都取到卡片 欢欢的概率.袋中有5个白球，3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率: 摸出2个或3个白球；（2）至少摸出1个白球；（3）至少摸出1个黑球.盒中有

14、6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求下列事件的概率：（1）取到的2只都是次品；（2）取到的2只中正品、次品各一只; 取到的2只中至少有一只正品.从男女学生共有36名的班级中，任意选出2名委员，任何人都有同样的当选机会.如果选得同性委员的概率等于 1,求男女生相差几名？2答案：.解：（1）三辆车开来的先后顺序有 6种可能：（上、中、下）、（上、下、中）、（中、上、下）、（中、下、上）、（下、中、上）、 （下、上、中）.（2）由于不知道任何信息，所以只能假定 6种顺序出现的可能性相同.我们 来研究在各种可能性的顺序之下，甲、乙二人分别会上哪一辆汽车：顺 序甲乙上

15、、中、下上下上、下、中上中中、上、下中上中、下、上中上下、上、中下上下、中、上下中于是不难得出，甲乘上、中、下三辆车的概率都是 1;而乙乘上等车的概率是1, 32乘中等车的概率是1 ,乘下等车的概率是1 . 36.乙采取的方案乘坐上等车的可能性大.解：（1 ）不公平.因为抛两枚硬币，所有机会均等的结果为：正正，正反，反正，反反.所以出现两个正面的概率为-,4出现一正一反的概率为2=1.4 2因为二者概率不等，所以游戏不公平.（2）游戏规则一：若出现两个相同面，则甲麻；若出现一正一反（一反 一正），则乙赢.游戏规则二：若出现两个正面，则甲赢；若出现两个反面，则乙赢; 若出现一正一反，则甲、乙都不

16、赢.解法一：设口袋中有x个白球,由题意，得105010 x 200解得x=30 .答：口袋中大约有30个白球.注：这里解分式方程是同解变形，可不检验，因而不给分.501解法二：P （50次摸到红球）= =一,2004. “ . 1.10 丁- =40 . 40 10 =30 .答：口袋中大约有30个白球.答：这个游戏是公平的.因为黑白两色的直角三角形都全等，且个数也分别相等, 所以黑白两色直角三角形面积的和也分别相等.又因为黑白两色的弓形的弦长都是直角三角形的斜边， 所以黑白两色弓形面积的和也分别相等.因此黑白两色区域面积各占圆面积的 50% ,即镖扎在黑白两色区域面积的概率均为 50%故此游

17、戏公平. (1)共有12种等可能的结果，树状图略.(2)共有16种等可能的结果，可由 列表法得出(3)在(1) (2)两种不同取法中，”取出的两颗糖口味一样”的概率 分别为工、368.解：由已知得：共组成4组边，即2,3,5; 3,3,5; 3,4,5; 3,5,5,2分(1)依题意，3,3,5; 3,4,5; 3,5,5,有3组能构成三角形，4分, f(构成三角形)=3(2)依题意,3,3,5和5,3,5两组能构成等腰三角形P(构成等腰三角形)二.证明：设A、B、C三个相互独立的事件，且 P(A)=x, P(B)=y, P(C) = z,由概率的性质及加法公式得：1 - P(A B C);

18、P(A) P(B) P(C) - P(AB) - P(BC) - P(CA) P(ABC)-P(A) P(B) P(C) -P(AB) - P(BC) - P(CA); x y z - xy - yz - zxx y z - xy - yz - zx 0.9解得：n 10.35V nCN+至少需要11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌15.解：由题意数学家共用了 2nr根火柴，其中n根取自一盒，nr根取自另一盒，于是此问题可等价转化为：“2nr个不同的球，放入两个盒子，求甲盒放 n个，乙盒放nr的概率”，记作事件A,因每个球放入两个盒子共有 2种放法2nr个球的所有等可能结果为22-,甲盒放入

19、n个球的可能结果为C； P (A)CM2222n -r16.解：设系统可靠性为P(D(2)(3)(4)若全并联，则 P = 1 0.2 4=0.9984 0.85若两个两个串联后再并联，则 P = (1-0.82) 2 = 0.8704 0.85两个两个并联后再串联，则 P = (1 0.22)2 = 0.9216 0.85三个串联与第四个并联，则 10.2 (1 0.83) = 0.9024 0.85设计如下17.解：设x、y分别为甲乙两人到达约会地点的时间， 若两个人能会面，则| x-y | 0.90.二.事件 A, B, C互相独立，N1正常工作的概率为P =P(A B C) = P(A

20、) P(B) P(C) =0.8X0.9X0.9=0.648. N2 正常工作的概率为P2 =P(A) (1 P(B C) =P(A) (1 P(B) P(C) =0.8X (1 (1 0.9) (1 0.9) = 0.792.解 5次乘坐518次公共汽车，只有“车准时到站”和“车不准时到站”两种 情况发生，而且每次车是否准时到站与另一次无关，因此 5次乘车恰有4次准时 到站的事件可看作5次独立重复试验中“车准时到站”事件恰好发生4次，故概率为奇(4) =C；0.94 乂 0.1/0.328.解(1)每个停靠点出发后，乘客人数不超过24人的概率约为0.1+0.15+0.25+0.2=0.7(2

21、)从每个停靠点出发后，乘客人数超过 18人的概率为0.20+0.20+0.1=0.5途经10个停靠点，没有一个停靠点出发后，乘客人数超过18人的概率为 TOC o 1-5 h z 1Cw(1)0(1-1)10,途经10个停靠点，只有一个停靠点出发后，乘客人数超过18人2的概率 d0(1)1(11)9 . 22所以，途经10个停靠点，有2个以上(含2个)停靠点出发后，乘客人数超 过18人的概率P=1 - 或(1)0(1 -1)10 - C (I) (1-1) 9=1 - 4 -誓= 0.9 .该线路需 2210 22210 29 1024要增加班次.答：(1)每个停靠点出发后，乘客人数不超过 24人的概率约为0.7; 该线路需 要增加班次.解(1)设最后A获胜的概率为P1,最后B获胜的概率为P2. TOC o 1-5 h z P1=c3(2)3= , P2=1 + 2 X 1+- X 2 X 1= (或 P2=1-丹=电).3273 33 333 2727(2)设B队以3 : 2获胜的概率为P3. - P3= C4 (1)3 (2)2 =.3381.解析：(1