高考数学二轮复习导数及其应用专题训练含解析

1、【状元之路】2015版高考数学二轮复习 导数及其应用专题训练(含解 析)一、选择题 TOC o 1-5 h z .函数y= f(x)的图象在点x= 5处的切线方程是 y=x+8,则f(5) +f (5)等于()A. 1B. 21C. 0d2解析 由题意知 f (5) = 5+ 8= 3, f (5) = 1 ,故 f (5) + f (5) = 2.故选 B.答案 B.函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如图所示，则导函数y=f (x)的图象可能为()解析 x0时，f(x)为增函数，所以导函数在x0时，原函数先增后减再增，所以导函数先大于零再小于零之后又大于零.故选D.答案 D ,.

2、 . . a + b .(理)(2014 山东淄博一模)若函数f(x)的导函数在区间(a, b)上的图象关于直线 x= -2一对称，则函数y = f(x)在区间a, b上的图象可能是()A.B.C.D.解析因为函数y=f(x)的导函数在区间(a, b)上的图象关于直线a+ bx=对称，即导函数要么，一,2 + b .、，、一一，.,图象无增减性，要么在直线x=2两侧单调性相反.由图得，在a处切线斜率最小，在 b处切八八一一， 一一 ,一。 ， ，八a+ b ,线斜率最大，故导函数图象不关于直线x = 2一对称，故不成立；由图得，在 a处切线斜率最大,在b处切线斜率最小，故导函数图象不关于直线x

3、 =a+ b,对称，故不成立；由图得，原函a+ bx=-对称，成立；由图得,数为一次函数，其导函数为常数函数，故导函数图象关于直线a + b.原函数有一对称中心，在直线x=a2一与原函数图象的交点处,故导函数图象关于直线x=a+ b对称,成立；所以满足要求的有，故选 D.答案 D3.(文)函数f (x) = 3x2+ ln x-2x的极值点的个数是(A.B. 1C.D.无数个解析 函数定义域为(0 , +), ,16x2-2x+1且 f (x) = 6x + 一一 2=,J xx ，2由于 x0, g(x) = 6x2x+1 中 A=200 恒成立,故f (x)0恒成立,即f (x)在定义域上

4、单调递增，无极值点.答案 A4. (2014 重庆七校联盟联考)已知函数f(x)在R上满足2f (x) = 2f (2 -x) -x +8x- 8,则曲线y=f(x)在点(1, f(1)处切线的斜率是()B. 1A. 2C. 3D. - 2解析 由 f (x) = 2f(2 x) x2 + 8x8 两边求导得，f ( x) = 2f (2 x) x ( 1) 2x+ 8.令 x =1 得 f (1) = 2f (1) X( 1) 2+8? f (1) = 2, .1. k=2.答案 A5. (2014 云南昆明一模)已知函数f(x)=lnx+工，则下列结论中正确的是()ln xA.若x1, x

5、2(x1x2)是f (x)的极值点，则f (x)在区间(xb x2)内是增函数B.若Xi , X2(Xi0,且 xw 1, f (x) 2? Xo0, f (x)在(Xo, 十 )上是增函数,11ln 2x -11人,-1斛析 由已知 f( x) = x xln 2x= xln 2x (x0,且 x w 1),令 f ( x) = 0, 4导 x= e 或 x= &.当寸，f (x)0 ；当 xC，1 ；U (1 , e)时，f (x)0.f(x)在1加(1 , e)内单调递减, e一=-和x = e分别是函数f (x)的极大值点和极小值点，故函数 e TOC o 1-5 h z 以 A、B错

6、；当0 x1时，lnx0,f (x)e, f (x)在(xo,十)上是增函数，d正确.答案 D. f(x)是定义在(0 , +8)上的非负可导函数，且满足 xf ( x) f (x) W0,对任意正数 a, b, 若ab,则必有()A. af ( b) bf (a)B. bf (a) af (b)C. af(a)wf(b)D. bf(b)f(a).I、 f x xf x -f x _斛析 设 F(x)=,贝U F ( x) =2W0 xx. f x . 故F(x)= 为减函数., f a f b,由 0a b ? af (b) bf (a),故选 A.答案 A二、填空题.(理)(2014 广东

7、卷)曲线y=e5x+2在点(0,3)处的切线方程为 .解析 y = 5e y | x= 0= 一 5，所求切线方程为y3=5x,即 5x+y3=0.答案5x+y-3=0.(文)已知函数f(x)=xex,则f (x) =;函数f(x)的图象在点(0, f(0)处的切线方程为.解析 f (x) =1 . ex+x ex=(1 +x)ex; f (0) = 1, f (0) =0,因此 f(x)在点(0 , f(0)处 的切线方程为 y0 = x0,即y= x.答案(1 +x)ex y = x.若点P是曲线y=x2In x上任意一点，则点 P到直线y=x2的最小距离为 .解析 过点P作y=x2的平行

8、直线，且与曲线y=x2lnx相切.x = x0= 2x0 一 . x0设 P(x, x2lnx。),则有 k = y2x= 1. - x0= 1 或 xO=(舍去).x02|1 1 2|=.2.答案 ,2已知函数 f(x) = x3+2bx2+cx+1 有两个极值点 xb x2,且必62, 1, xzC 1,2，则 f ( - 1)的取值范围是.解析 由于f ( x)= 3x2+4bx+c,据题意方程3x2+4bx+c= 0有两个根xbx2,且x1 -2, -1 , xzC 1,2,令g(x) = 3x2+4bx+c,结合二次函数图象可得此即为关于点(b, c)的线性约束条件，作出其对应的平面

9、g -2 =12-8b+cR0, g - 1 =3- 4b+ c 0, 1 g 1 =3 + 4b+c0,g 2 = 12 + 8b+O0,区域，f (-1) = 2b c,问题转化为在上述线性约束条件下确定目标函数f( 1) =2bc的最值问题,由线性规划易知 3W f ( 1) w 12.答案 3,12三、解答题.已知函数 f(x) =4x3+3tx2-6t2x + t -1, xCR,其中 tCR.(1)当t = 1时，求曲线y=f(x)在点(0, f(0)处的切线方程；(2) t wo时，求f(x)的单调区间. 322解 (1)当 t = 1 时，f (x) = 4x + 3x 6x,

10、 f (0) = 0, f ( x) = 12x + 6x-6, f (0) =- 6,所以曲线y=f (x)在点(0, f(0)处的切线方程为y=- 6x.(2) f (x) = 12x2+6tx 6t2.令 f (x) = 0,解得 x= t 或 x = |.因为tw0,以下分两种情况讨论:f(x)的单调递增区间是所以,若t0,则20,则t0 时，x2ex;(3)证明：对任意Z定的正数c,总存在x0,使得当xe(x。，+ 8)时，恒有x2cex.解 (1)由 f(x) = exax,得 f (x)=ex a.又 f (0) = 1 a= 1,得 a = 2.所以 f(x) = ex2x,

11、f (x)=ex2.令 f (x)= 0,得 x= ln2.当 xln2 时，f ( x)ln2 时，f (x)0, f(x)单调递增.所以当x=ln2时，f(x)取得极小值，且极小值为f(ln2) = e1n2 2ln2 = 2ln4 , f(x)无极大值.(2)令 g( x) = ex-x2,则 g (x)=ex2x.由(1)得 g (x) =f (x) Rf(ln2)0 ,故g(x)在R上单调递增，又 g(0) =10,因此，当 x0 时，g(x) g(0)0 ,即 x2ex.(3)若 01,则 ex0时，x20时，x2cex.取 x()=0,当 xC(X0, +8)时，恒有 x2cex

12、.若0ci,要使不等式x2kx2成立. c而要使exkx2成立，则只要 xln( kx2),只要x2ln x+ Ink成立.一,2 x-2令 h(x) = x 2ln x In k,贝U h ( x) = 1 =,x x所以当x2时，h (x)0, h(x)在(2, +8)内单调递增.取x0=16k16,所以h(x)在(x0, +8)内单调递增，又 h(x。)= 16k21n(16 k) - ln k=8(k-ln2) + 3( kIn k) +5k,易知 kln k, kln2,5 k0,所以 h(x0)0.16.一 一 2 x即存在 x0=一,当 xC(x0, +0)时，恒有 x ce .

13、c综上，对任意给定的正数c,总存在x0,当xC(x0, +)时，恒有x22.+ax2+bx+c,2f ( x) = 3x + 2ax+ b. f (x)在(8, 0)上是减函数，在(0,1)上是增函数，当x=0时，f(x)取得极小值，即 f (0) = 0.b= 0.(2)由(1)知，f (x) =-x3+ax2+c, 1是函数f (x)的一个零点，即 f(1) =0,c= 1 a.2. f ( x) = 3x + 2ax= 0的两个根分别为.2ax1= 0, x2=. f (x)在(0,1)上是增函数，且函数 f(x)在R上有三个零点，2a . . x2= 一1 ,35 f (2) = -

14、8 + 4a+ (1 - a) = 3a- 7- 2故f (2)的取值范围为5.-*002B级一一能力提高组1 .(理)(2014 江西卷)若 f (x) =x2+21f(x) cX,则 f1f(x) dx=(),0A.B.D.解析f(x)直接求解定积分，再利用方程思想求解.=x2+2/1f(x) dx,0/f(x) dx =,0 x3+2xj 01Kdx)|1 c 1、, =3+ 2 r f(x) dx, TOC o 1-5 h z 3. 0.1.,1I f(x) dx=-.03答案 B1 .(文)(理)2.(2014中原名校二模)已知函数g(x)3 , =ax +bx2+cx + d(a

15、W0)的导函数为 f(x),且 a+ 2b+3c=0, f(0) f(1)0，设 Xi, x2是方程 f(x)=0的两根，则|x 1 X2|的取值范围是()A. 0,C.D.9)解析 因为 f(x) =3ax2 + 2bx+c,所以 f(0)f(1)= c(3a +2b+c)=c(2a -2c)0,0 C0 ,设X1, X2是方程f(x) =0的两根，则|x 1X2|的取值范围是()bJ0，以解析 因为f(x) =3ax2 + 2bx+c,所以f(0)f(1)=c(3a +2b+c) =c(2a 2c)0,0 C0;当x (1,2)时，f (x)0 ,所以f(x)有两个极值点1和2,且当x=

16、2时函数取得极小值，当 x=1时函数 取得极大值.只有不正确.答案3.(理)(2014 课标全国卷n )已知函数f(x) =ex-e x-2x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设 g(x) = f(2x) - 4bf(x),当 x0 时，g(x)0 ,求 b 的最大值；(3)已知1.414 2近0,等号仅当 x=0时成立.所以f(x)在(00, + 00 )上单调递增.(2)g(x) = f(2x) -4bf(x) =e2xe 2x4b(exe x) + (8b 4)x ,g (x) = 2e2x+e 2x 2b(ex+e x)+ (4b 2) =2(e、+e x2)( ex + e x-2

17、b+ 2).当b0,等号仅当x=0时成立，所以g(x)在(一,十8)上单调递增.而g(0) =0,所以对任意 x0, g(x)0 ；当 b2 时，若 x 满足 2& + 葭x2b2,即 0 xln (b 1 + b2 2b)时 g (x)0.而 g(0) = 0, 因此当 0 xw ln (b 1 + /b2_2b)时，g(x)0, In 282 0.692 8 ;当 b = 32+ 1 时，ln (b - 1 +b2-2b) = ln72,3-g( ln +)=-厂 2#+ (3 也+ 2) ln 20,18+ . 2ln 2 28 0.693 4.所以ln 2的近似值为0.693.3.(文)(2014 课标全国卷n )已知函数f(x) =x33x2+ax+2,曲线y = f(x