2021年高考数学模拟试卷全国卷(附参考答案和详解)

1、第2页（共16页）第1页（共16页）绝密启用前2021年普通高等学校招生模拟考试（4）数学适用新高考地区）总分：150分考试时间：120分钟祝考试顺利注意事项：1、本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。2、选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域

2、均无效。4、考试结束后，将本试卷和答题卡一并上交。第I卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.设全集U二1,2,3,4,5,6，集合P二1,2,3,4，Q二3,4,5，则P（Q）=（）UA.1,2,3,4,6b.1,2,3,4,5C.1,2,5D.1,2复数z满足（zi）（2i）=5，则z（）A.-22iB.2+2iC.22iD.2+2i某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（）A.7B.15

3、C.25D.354.曲线yx32x+1在点（1,0）处的切线方程为（）A.yx1B.yx+1C.y2x2d.y2x+2(n5.函数f(x)sinxcosx+：的值域为()6丿A.2,2B.凉朽C.1,1D.函数f（x）=2x+x3-2在区间（0,1）内的零点个数是（）A.0B.1C.2D.3已知离散型随机变量X的分布列为X123P33151015则X的数学期望E（X）=（）35A.B.2C.D.328.已知实数x，y满足axay（0ay3B.sinxsinyC.ln(x2+1)ln(y2+1)11D.x2+1y2+1二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多

4、项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.设某中学的高中女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x,y）（i=1,2,3,n），用最小二乘法近似得到回归直线方程为y=0.85x-85.71，则下列ii结论中正确的是（）a.y与x具有正线性相关关系回归直线过样本的中心点（x,y）若该中学某高中女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg若该中学某高中女生身高为160cm，则可估计其体重为50.29kg10.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD丄平面ABCD，NB丄平面ABCD，且MD=NB=1，G为MC的中点.则下

5、列结论中正确的是（）A.MC丄ANB.GB平面AMNC.平面CMN丄平面AMND.平面DCM平面ABN11.能够把圆O:x2+y2=9的周长和面积同时分为相等的两部分的函数f（x）A.f(x)=4x3+x2B.f(x)=ln称为圆0的“亲和函数”，下列函数中，是圆0的“亲和函数”的为（）ex+exxC.f(x)=2D.f(x)=tan5第 页(共16页)12.某房地产建筑公司在挖掘地基时，出土了一个宋时小文物，如图，该文物外面是红色透明蓝田玉材x2y2质里面是一个球形绿色水晶宝珠其轴截面由半椭圆C1：-+=l(x0)与半椭圆C2：(其中a2=b2+c2，abc0)组成设点Fo，F1，F2是相应

6、椭圆的焦点，A1，A2和B32B2是轴截面与X，y轴交点阴影部分是宝珠轴截面若宝珠的体积是F，1F在宝珠珠面上，FFF是等边三角形，给出以下四个命题，其中是真命题的有()2o12A.椭圆C的离心率为- HYPERLINK l bookmark22 o Current Document 17B.椭圆C的离心率大于椭圆C的离心率21c.椭圆C的焦点在y轴上2D.椭圆C的长、短轴之比大于椭圆C的长、短轴之比21第II卷本卷包括填空题和解答题两部分，共90分.三、填空题：本题共4小题，每小题5分。13.已知向量a=G3,1),b=(0,-1),c=(k,J3).若a-2b与a共线，则k=设常数aeR.

7、若x2+-的二项展开式中x7项的系数为-10，则a二.Vx丿已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6,BC二2朽，则棱锥O-ABCD的体积为.16定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离.已知曲线C:y二x2+a1到直线l:y=X的距离等于曲线C:x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离，则实数a=.2四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)等比数列an的各项均为正数，且2曾3a2=1，%-9a2a6-（1）求数列a的通项公式;n（2）设b=loga+loga+n3132+log3an，求数列1

8、f的前n项和.bn18.（12分）在ABC中，角A，B，nC的对边分别为a、b、c已知A=4-csin厂小n求证：BC=；若a=2，求ABC的面积.19.(12分)某单位共有10名员工，他们某年的收入如下表员工编号12345678910年新(万兀)33.5455.56.577.5850乙(x-X)(y-y)ii附：线性回归方程y=bx+a中系数计算公式b=i1_八乙(X-X)2ii=1a=ybx，其中X,y表示样本均值.求该单位员工当年年薪的平均值和中位数；从该单位中任取2人，此2人中年薪高于5万的人数记为g，求g的分布列和期望；已知员工年薪与工作年限成正线性相关关系，若某员工工作第一年至第四

9、年的年薪分别为3万元、4.2万元、5.6万元、7.2万元，预测该员工第五年的年薪为多少20.（12分）如图，四边形ABCD为正方形，PD丄平面ABCD，ZDPC=30，AF丄PC于点F，FECD，交PD于点E.证明：CF丄平面ADF.求二面角D-AF-E的余弦值.第6页(共16页)21.(12分)在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为2的椭圆E的一个焦点为圆C:x2+y24x+2=0的圆心.(1)求椭圆E的方程；(2)设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为1的直线l,l，当直线l,l都与圆C相切21212时，求P的坐标.22.(12分)x设函数f(x)=+c(e=2.71828是自然

10、对数的底数，ceR).e2x求f(x)的单调区间、最大值；讨论关于x的方程llnx1=f(x)根的个数.第 页(共16页)参考答案与解析D【解析】因为Q二3,4,5，所以Q=126，所以P(Q)=1,2故选D.UU55(2i)D【解析】(zD(2i)=5Oz-i=Oz=i+-2+2i故选D.2-i(2-i)(2+i)3.B【解析】青年职工、中年职工、老年职工三层人数之比为7:5:3，所以样本容量为-15故选B.15A【解析】对y-X3-2x+1求导可得y=3x2-2，代入x-1可得yl-1，即该点处切线的x-1斜率为1，所以切线方程为y-x-1.故选b.B【解析】f(x)可变形为J3sin(x

11、-：.故选B.I6丿B【解析】因为f(0)f0，且f(x)在(0,1)上单调递增，所以f(x)在(0,1)内的零点个数是1故选B313A【解析】根据随机变量分布列可知E(X)=1x+2x10+3x10=-故选A.8.A【解析】因为实数x，y满足axay(0ay，对于选项A,当xy时，x3y3，恒成立，n.对于选项B，当x-n，y-时，满足xy，但sinxsiny不成立.厶对于选项C，若ln(x2+1)ln(y2+1)，则等价为x2y2成立，当x-1，y-1时，满足xy，但x2y2不成立对于选项D，若，则等价为x2+1y2+1，即x2y，但x2y2不成立.故选A.二、多项选择题.ABCD【解析】

12、由于线性回归方程中x的系数为0.85，因此y与x具有正的线性相关关系,A正确；由线性回归方程必过样本中心点(x,y)，因此b正确；由线性回归方程中系数的意义知，x每增加lcm，其体重约增加0.85kg,C正确；当某女生的身高为160cm时，代入y=0.85x-85.71中可计算出其体重估计值是50.29kg，因此D正确故选ABCD.ABD【解析】显然该几何图形为正方体截去两个三棱锥所剩的几何体，把该几何体放置到正方体中(如图)，取AN的中点H，连接HB，MH，GB，则MCHB，又HB|AN，所以MC丄AN，所以A正确；由题意易得GBMH，又GB丘平面AMN，MHu平面AMN，所以GB平面AMN

13、，所以B正确；因为ABCD，DMBN，且ABBN=B，CDDM=D，所以平面DCM平面ABN，nn所以D正确.故选ABD.BD【解析】由题意可得，“亲和函数”的图像经过圆心(0,0)，且是奇函数A中，f(0)=0，f(x)不是奇函数，故f(x)二4x3+x2不为“亲和函数”；5-xB中，f(0)=ln1=0，且f(-x)=f(x)，所以f(x)为奇函数，所以f(x)=ln为“亲和函数”;5+xC中,f(0)=2，所以f(x)=图像不过原点，故f(x)=不为“亲和函数”；xD中，f(0)=tan0=0，且f(-x)=f(x)，f(x)为奇函数，故f(x)=tan5为“亲和函数”故选BD.12.A

14、C【解析】由题意知FF二FF二FF二22-c2,121020TOC o 1-5 h zc.2f3所以=sm60，解得b=c.b2-c23o32兀因为宝珠的体积是，F,F在宝珠珠面上，312所以球的半径R=b2-c2，所以4兀(前2-c2)3=a2=284所以一c2c2=4，c2=12，b2=16，3故a=27，b=4,c=2朽，椭圆C的离心率为=迢=孚,1a2“7x2y21椭圆C的方程为百+7=1，椭圆C的离心率为2121622121又2c，所以椭圆C的焦点在y轴上，故C为真命题；2TOC o 1-5 h z一、4打77厂一、82羽椭圆C的长、短轴之比为=，椭圆C的长、短轴之比为=，18224

15、书372乜人因为-厂亍，所以D为假命题故选AC.第II卷三、填空题.13.1【解析】由已知得a-2b=G-3,1)-2(0,-1)=G/3,3)故(a2b)cn3xx33k=0,解得k=114.-2解析】Tr+1=Cr(x2)5-r5令2(5-r)-r=7，解得r=1，从而Cia=-10，解得a=-215&3OM=$42-(23)2=2，VO-ABCD【解析】设ABCD所在的截面圆的圆心为M，则AM=2V(2?3)2+62=2J3,16.4【解析】曲线C是一个圆，它到直线l的距离等于圆心(0,-4)到直线l:x-y=0的距离减去42圆的半径，即2r2*2.C是开口向上的抛物线，所以C应在直线l

16、的上方，故a0.11设与直线l平行且与抛物线C相切的直线方程为y=x+b.1根据题意，得各二迈，解得b=2.由F=x+2,得x2-x+a-2=0,Iy=x2+a,由A=1-4(a-2)=0，解得a=9.4四、解答题.17.【解析】(1)设数列a的公比为q，由a2=9aa，得a2=9a2，所以q2=1.n3263491由条件可知q0，故q=3.由2a+Sa?=1，得2a+3aq=1，所以a=3.故数列a的通项公式为a=丄.nn3n+loga3n结合可得bn=log3耳+log3a2+=-(1+2+1故=-bn2n(n+1)-21211所以b+r+121+-bn(11)+一一Vnn+1丿第 页（共

17、16页）2nn+1所以数列I-bj的前n项和为n2nn+118.【解析】（1）由已知及正弦定理，得sinBsin-sinCsin=sinA,即sinBIsinC+cosC一sinCI22丿sinB+cosB2丿整理得sinBcosC-cosBsinC=1,即sin(B一C)=1,3n由于0BCb0)，c1其焦距为2.由题设知c=2,e=三,a2所以a=2c=4,b2=a2-c2=12.x2y2故椭圆e的方程为!6+12=1.(2)设点P的坐标为(xo,y0)J，l2的斜率分别为ki，k2，则12的方程分别为l:y-y=k(x-x),1010:y-y=k(x-x),020且k1k2=212k+y

18、kxI由l与圆C:(x一2)2+y2=2相切得I=2,1胶+1即(2-x)2-2k2+2(2-x)yk+y2-2=0,010010同理可得(2-x)2-2k2+2(2-x)yk+y2-2=0.020020从而k，k是方程12(2-x)2-2k2+2(2-x)yk+y2一2=0的两个实根，于是0000TOC o 1-5 h z(2一xo)2一2丰0,IA=8(2一x)2+y2一20,00y2一21且k1k2(2-x)2-220 x2亠+16y2一20(2-x)2-20得5x28x36=0,0018解得x=-2或x=.005由x0=-2得y0=3；由x=18得y工505它们均满足式故点P的坐标为(-2,3)或(-2,-3)或号【或I等22.【解析】(1)因为f(x)=(1一2x)e-2x,由f(x)=0，解得x=2.当x0,f(x)单调递增；当x2时，f(x)0，则g(x)=lnxxe2xc,Ie2x所以g(x)=e-2x一+2x1Ixe2x因为0,2x-10，所以g(x)0.x因此g(x)在(1,+8)上单调递增.(ii)当xg(0,1)时，lnx1x0，1.e2x所以-xe2x又2x11，所以+2x10，即g(x)0，即ce-2时，g(x)没有零点，故关于x的方程llnx1=f(x)根的个数为0；当g=e-