无穷小量的比较课件

1、高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学 大 学 数 学（一）第十一讲 无穷小量的比较第1页，共42页。第三章 函数的极限与连续性本章学习要求： 了解函数极限的概念，知道运用“”和 “X ”语言描 述函数的极限。 理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则 以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。 理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。 掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的 函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。 理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极 限求相应的函数极限。 理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念，会判

2、断函数 间断点的类型。了解基本初等函数和初等函数的连续性以及 闭区间上连续函数的性质（介值定理、最值定理）。 理解幂级数的基本概念。掌握幂级数的收敛判别法。第2页，共42页。第三章 函数的极限与连续性第六节 无穷小量的比较一. 无穷小量比较的概念二. 关于等阶无穷小的性质和定理 第3页，共42页。设 , 是同一个极限过程中的两个无穷小量.第4页，共42页。则称 是 的若记为高阶无穷小,此时, 也可称 是 的低阶无穷小.第5页，共42页。若为常数,记为则称 与 是同阶无穷小,第6页，共42页。若为常数,则称 为 的 k 阶无穷小, 记为第7页，共42页。则称 是 的若记为等阶无穷小, 等价无穷小

3、必是同阶无穷小,但反之不真.第8页，共42页。不存在, 但又不是无穷大,若则称 与 是不能比较的无穷小.第9页，共42页。x 0 时的几个无穷小量的比较：例1第10页，共42页。第11页，共42页。有何想法？例2证第12页，共42页。第13页，共42页。所以 1 cos x = O( x2 ) ( x 0 ) . 例3第14页，共42页。 x 0 时,不可比较的无穷小.不存在, 但不是无穷大, 与 x 是例4第15页，共42页。二. 关于等阶无穷小的性质和定理 1. 定理定理设在某一极限过程中,第16页，共42页。证综上所述,第17页，共42页。限过程中的第三个变量.2. 定理z 是该极 设在

4、某极限过程中,( 或为 ), 则若定理第18页，共42页。由定理 1, 得, 故 lim z = . 综上所述,设 则则设 证第19页，共42页。设在某极限过程中, , , 则 .3. 定理传递性定理第20页，共42页。无穷小量可以用其等价无穷小量替代.定理告诉我们:在计算只含有乘、除法的极限时,第21页，共42页。例 如果在加减法中用等价无穷小量替代, 则会产生错误:第22页，共42页。将常用的等阶无穷小列举如下: 当 x 0 时第23页，共42页。求例5解第24页，共42页。求例6解第25页，共42页。求例7解第26页，共42页。求例8解第27页，共42页。求 和差化积例9解 此题也可先在

5、分子处加 1 减 1第28页，共42页。求例10解第29页，共42页。证明：若在某极限过程中0, 0,在某极限过程中, 若 , 则且 0, 则 的充要条件是例11证反之,则故第30页，共42页。由于例12解第31页，共42页。解例13 变量代换 四则运算 等价无穷小第32页，共42页。解例14 连续两次使用等价无穷小替代. 等价无穷小替代第33页，共42页。解例15 函数的性质 等价无穷小替代 重要极限 也可再用等价无穷小替代第34页，共42页。请看下面的定理.第35页，共42页。定理证等价无穷小 替代第36页，共42页。解例16 利用初等方法进行变化, 使之能用等价无穷小替代.第37页，共42页。解例17第38页，共42页。解例18第39页，共42页。解例19第40页，共4