等差等比数列的基本概念及运算课件

1、第三章 数 列第17课时 等差等比数列的基本 概念及运算第1页，共16页。 1.定义：从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列，叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示.一、等差数列:an等差数列2.等差数列的通项公式： 推广：知识要点或者an+2-an+1=an+1-an(nN*)变式： 第2页，共16页。3.前n项和公式： 4.等差中项: 如果a，A，b成等差数列，那么叫做a与b的等差中项.5.三个数成等差数列，通常设为a-d, a, a+d, 四个数成等差数列通常设为a-3d, a-d, a+d, a+3d.第3页，共16页。 1.定义：从第2项起，每

2、一项与它的前一项的比等于同一个常数的数列，叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示.二、等比数列:2.等比数列的通项公式： (q为不等于零的常数(nN*)或者推广第4页，共16页。 3.前n项和公式:4.等比中项:若a、b、c成等比数列，则称 b为 ac 的等比中项，且5.三个数成等比数列，通常设为 四个数成等比数列，通常设为 （公比大于零）6.数值不为零的常数列，既是等差数列又是等比数列.第5页，共16页。例1.在等差数列an中,已知a5=10 ,a12=31 ,求通项an . 分析:此题已知a5=10,n=5;a12=31,n=12分别代入通项公式an=a1+(n-1

3、)d 中,可得两个方程,都含a1与 d 两个未知 数组成方程组,可解出a1与d . 这里采用待定系数法，通过解方程(组)，求出首项a1和公差d，体现了方程思想，是数学中常用的解题思想方法. 解：设an=a1+(n-1)d，则有 a1+4d=10 (1) a1+11d=31 (2)解得 a1 =-2, d = 3,所以, an = -2+(n-1)3 = 3n- 5第6页，共16页。例2. 已知数列的通项公式为an=pn+q, 其中p、q是常数,且 p0, 那么这个数列是否为等差数列？如果是, 其首项与公差是什么？解：取数列 an 中的任意相邻两项an-1 ,an(n2)，an - an-1=(

4、 pn+q )- p(n-1) + q =pn+q-(pn-p+q)=p 它是一个与n无关的常数，所以 an 是等差数列，且公差是p. 在通项公式中令n1，得a1pq，所以这个等差数列的首项是 pq，公差是 p.第7页，共16页。则 (x-d)+x+(x+d)=15 (x-d)2+x2+(x+d)2=83所求三个数分别为3，5，7或7，5，3.解得 x5，d2.解：设此三个数分别为 x-d，x，x+d，例3. 已知三个数成等差数列，其和15，其平方和为 83，求此三个数.第8页，共16页。它们的比为3:4:5.直角三角形三边长分别为3d,4d,5d，a=3d (a=-d舍去)，即a2-2ad-

5、3 d 2=0，亦即(a-3d)(a+d )=0，由勾股定理得：(a+2d )2=a2+(a+d)2,解: 设直角三角形三边长分别为： a, a+d, a+2d (a0,d0)，例4. 已知直角三角形三边长成等差数列，试求其三边之比.第9页，共16页。例4. 已知直角三角形三边长成等差数列，试求其三边之比.另解: 设直角三角形三边长分别为： a-d, a, a+d (ad0)，由勾股定理得：(a+d)2=a2+(a- d )2,即a2-4ad=0，亦即a(a-4d)=0，a=4d (a=0舍去)，直角三角形三边长分别为3d,4d,5d，它们的比为3:4:5.第10页，共16页。（2）1.2，2

6、.4，4.8， （1） 5，-15，45，例5. 求下列等比数列的第4，5项：第11页，共16页。例6. 设 a,b,c,d 均为非零实数， 求证：a,b,c成等比数列且公比为d.a,b,c成等比数列证:关于d 的二次方程 有实根设公比为q，则b=aq，c=aq2代入得:第12页，共16页。例6. 设 a,b,c,d 均为非零实数， 求证：a,b,c成等比数列且公比为d.另证：a,b,c成等比数列且公比为d.第13页，共16页。例7. 已知数列an，（1）求证：an是等差数列；（2）若b1=1，b2=4，bn前n项和为Bn，且 Bn+1=（an+1-an+1)Bn+(an-an+1)Bn-1(n2),求bn的通项公式.第14页，共16页。例7. 已知数列an，（1）求证：an是等差数列；解:(1)an+1=Sn+1-Sn8an+1=(an+1+2)2-(an+2)2(an+1-2)2-(an+2)2=0(an+1+an )(an+1an -4)=0an , an+1+an 0N* an+1-an- 4= 0即an+1-an= 4数列 an 是等差数列.第15页，共16页。（2）若bn=1，b2=4，bn前n项和为Bn，且 Bn+1=（an+1-an+1)Bn+(an-an+1)Bn-1(n2),求bn的通项公式.Bn+1=5Bn-4Bn-1Bn+1-Bn=4(B