人教A版高中数学选择性必修二《5.2.1基本初等函数的导数》教案

1、5.2.1基本初等函数的导数 本节课选自2019人教A版高中数学选择性必修二第四章数列，本节课主要学习基本初等函数的导数本节内容通对基本初等函数导数公式的介绍，进一步帮助学生理解导数的含义，同时提升学生对函数导数的求解运算能力，为运用导数解决函数问题，打下坚实的基础。在学习过程中，注意特殊到一般、数形结合、转化与化归的数学思想方法的渗透。课程目标学科素养A.能根据定义求函数yc，yx，y=x2， y=1x,y=x的导数B掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用1.数学抽象：导数的概念2.逻辑推理：导数及导数的几何意义 3.数学运算：求曲线在某点处切线的斜率 4.直观想象：导数的几何意义

2、重点： 基本初等函数的导数公式的简单应用 难点：根据定义求函数yc，yx，y=x2， y=1x,y=x的导数 多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标温故知新 由导数的定义可知，一个函数的导数是唯一确定的。在必修第一册中我们学过基本初等函数，并且知道，很多复杂函数都是通过对这些函数进行加、减、乘、除等运算得到的。由此自然想到，能否先求出基本初等函数的导数，然后研究出导数的“运算法则”，这样就可以利用导数的运算法则和基本初等函数的导数求出复杂函数的导数。本节我们就来研究这些问题。二、新知探究1.求函数在x0处的导数的方法(1)求yf (x0 x)f (x0)(2)求变化率eq f(y,x)eq f

3、(fx0 xfx0,x).(3)求极限的y|eq sdo10(xx0)f (x0)eq o(lim,sdo14(x0) eq f(y,x).2.怎样求导函数？(1)求改变量yf (xx)f (x)(2)求比值eq f(y,x)eq f(fxxfx,x).(3)求极限的yf (x)eq o(lim,sdo14(x0) eq f(y,x).思考：导数与导函数有什么区别和联系？那么如何求几种常见函数的导数？问题1.函数y=fx=c的导数解：因为yx=fx+x-f(x)x所以y=x0limyx=x0lim0=0 若y=c表示路程关于时间的函数，则y=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止

4、状态。问题2.函数y=fx=x的导数解：因为yx=fx+x-f(x)x=x+x-xx=1所以y=x0limyx=x0lim1=1 若y=x表示路程关于时间的函数，则y=1可以解释为某物体的瞬时速度始终为1的匀速直线运动。问题3.函数y=fx=x2的导数解：因为yx=fx+x-f(x)x=x+x2-x2x=x2+2xx+(x)2-x2x= 2x+ x所以y=x0limyx=x0lim(2x+x)=2xy=2x表示函数y=x2的图像，上点x,y处切线的斜率为2x,说明随着x变化，切线的斜率也在变化。另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，y=2x表明；当x0时，随着x增加， y越来越大，y

5、=x2增加得越来越快； 若y=x2表示路程关于时间的函数，则y=2x可解释为某物体做变速运动，它在时刻x瞬时速度为2x。原函数导函数f(x)c(c为常数)f(x) f(x)x(Q，且0)f(x) f(x)sin xf(x) f(x)cos xf(x) f(x)ax(a0，且a1)f(x) f(x)exf(x) f(x)logax(a0，且a1)f(x)_f(x)ln xf(x)_0；x1；cos x；sin x；axln a；ex；eq f(1,xln a)；eq f(1,x)1.函数yeq f(4,x2)在x2处的导数为_解析：法一(导数定义法)：yeq f(4,x22)eq f(4,22)

6、eq f(4,x22)1eq f(x24x,x22)，eq f(y,x)eq f(x4,x22)，yeq blc|rc (avs4alco1(,x2)eq o(x0,sup17(lim)eq f(y,x)eq o(x0,sup17(lim)eq f(x4,x22)1.法二(导函数的函数值法)：yeq f(4,xx2)eq f(4,x2)eq f(4x2xx,x2xx2)，eq f(y,x)eq f(42xx,x2xx2)，yeq o(x0,sup17(lim)eq f(y,x)eq o(x0,sup17(lim)eq f(42xx,x2xx2)eq f(8,x3).yeq blc|rc (av

7、s4alco1(,x2)eq f(8,23)1.答案：12常数函数的导数为0说明什么？提示：说明常数函数f(x)c图象上每一点处的切线的斜率都为0，即每一点处的切线都平行(或重合)于x轴3对于公式“若f(x)x(Q)，则f(x)x1”，若把“Q”改为“R”，公式是否仍然成立？提示：当R时，f(x)x1仍然成立4下列说法正确的个数为()若yeq r(2)，则yeq f(1,2)21；若f(x)sin x，则f(x)cos x；f(x)eq f(1,x3)，则f(x)eq f(3,x4).A0个B1个 C2个 D3个解析：只有正确答案：B5(多选)下列结论正确的是()A若y0，则y0B若y5x，则

8、y5C若yx1，则yx2 D若y=x12，则yeq f(1,2)x12 答案：ABC6若ycoseq f(2,3)，则y ()Aeq f(r(3),2)Beq f(1,2)C0D.eq f(1,2)答案：C7函数yeq r(x)在点eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)，f(1,2)处切线的倾斜角为 ()A.eq f(,6) B.eq f(,4) C.eq f(,3) D.eq f(3,4)答案：B典例解析例1.求下列函数的导数(1)yeq f(1,x5)；(2)yeq f(x2,r(x)；(3)ylg x；(4)y5x；(5)ycoseq blc(rc)(avs4alco1(

9、f(,2)x).解(1)yeq f(1,x5)x5，y5x6.2y=x2x12=x2-12=x32, y=32x12(3)ylg x，yeq f(1,xln 10).(4)y5x，y5xln 5.(5)ycoseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)x)sin x，ycos x.1若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解2对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误3要特别注意“eq f(1,x)与ln x”，“ax与logax”，“sin x与cos x”的导数区别跟踪训练1求下列函数的导数：(1)yeq f(x,r(x)(x0)；(2

10、)ysin(x)；(3)ylogx.解(1)yeq f(x,r(x)eq r(x)(x0)，y(eq r(x)eq f(1,2r(x).(2)ysin(x)sin x，ycos x.(3)yeq blc(rc)(avs4alco1(logf(1,3)x)eq f(1,xlnf(1,3)eq f(1,xln 3).例2 假设某地在20年间的平均通货膨胀率为5%，物价P（单位：元）与时间t（单位：年）有如下函数关系pt=p01+5%t,其中p0为t=0时的物价，假定某种商品的p0=1,那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？（精确到0.01元/年）解：根据基本初等函数的导数公式表有

11、，pt=1.05tln1.05所以；p10=1.0510ln1.050.08所以，在第10个年头这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨。跟踪训练2 质点的运动方程是S(t)sin t，则质点在t时的速度为_；质点运动的加速度为_；解析：v(t)S(t)cos t，veq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)cos eq f(,3)eq f(1,2). 即质点在teq f(,3)时的速度为eq f(1,2).v(t)cos t，加速度a(t)v(t)(cos t)sin t.答案eq f(1,2) sin t例3 已知曲线yeq f(1,x).(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方

12、程；(2)求过点Q(1,0)的曲线的切线方程解yeq f(1,x)，yeq f(1,x2).(1)显然P(1,1)是曲线上的点，所以P为切点，所求切线斜率为函数yeq f(1,x)在点P(1,1)的导数，即kf(1)1.所以曲线在P(1,1)处的切线方程为y1(x1)，即为xy20. (2)显然Q(1,0)不在曲线yeq f(1,x)上，则可设过该点的切线的切点为Aeq blc(rc)(avs4alco1(a， f(1,a)，那么该切线斜率为kf(a)eq f(1,a2).则切线方程为yeq f(1,a)eq f(1,a2)(xa)将Q(1,0)代入方程：0eq f(1,a)eq f(1,a2

13、)(1a)得aeq f(1,2)，代入方程整理可得切线方程为y4x4.利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解跟踪训练3 当常数k为何值时，直线y1x与曲线y2x2k相切？请求出切点解：设切点为A(x0，xeq oal(2,0)k)y22x，eq blcrc (avs4alco1(2x01，,xoal(2,0)kx0，)eq blcrc (avs4alco1(x0f(1,2)，,kf(1,4)，)故当keq f(1,4)时，直线y1x与曲线y2x2k相切，且切点

14、坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)， f(1,2).通过对上节导数定义及求导步骤的回顾，引导学生对5个基本函数运用定义求导。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。 通过对5个基本函数导数的求解，及其导函数的解释。发展学生数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养。通过基本问题解决，帮助学生熟悉基本函数导数公式。发展学生数学抽象、逻辑推理、数学运算和数学建模的核心素养。 通过典型例题的分析和解决，帮助学生熟练掌握8个基本初等函数的导数公式，发展学生数学运算，直观想象和数学抽象的核心素养。三、达标检测1设函数f(x)cos x，则eq blcrc(avs4alco1

15、(fblc(rc)(avs4alco1(f(,2) ()A0B1 C1 D以上均不正确解析：注意此题中是先求函数值再求导所以导数是0答案：A2下列各式中正确的是 ()A(logax)eq f(1,x) B(logax)eq f(ln 10,x)C(3x)3x D(3x)3xln 3解析：由(logax)eq f(1,xln a)，可知A，B均错；由(3x)3xln 3可知D正确答案：D3若f(x)x2，g(x)x3，则满足f(x)1g(x)的x值为_解析：由导数的公式知，f(x)2x，g(x)3x2.因为f(x)1g(x)，所以2x13x2，即3x22x10，解得x1或xeq f(1,3).答

16、案：1或eq f(1,3)4设函数f(x)logax，f(1)1，则a_.解析：f(x)eq f(1,x ln a)，f(1)eq f(1,ln a)1.ln a1，即aeq f(1,e).答案：eq f(1,e)5求与曲线yf(x)eq r(3,x2)在点P(8,4)处的切线垂直，且过点(4,8)的直线方程解：因为yeq r(3,x2)，所以y(eq r(3,x2)(x23)eq f(2,3)x-13所以f(8)eq f(2,3)8eq f(1,3)，即曲线在点P(8,4)处的切线的斜率为eq f(1,3).所以所求直线的斜率为3，从而所求直线方程为y83(x4)，即3xy200.6.已知两条曲线ysin x，ycos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由解：由于ysin x，ycos x，设这两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为：k1cos x0，k2sin x0.若使两条切线互相垂直，必须cos x0(sin x0)1，即sin x