冲刺热点圆锥曲线离心率方法归纳教师版

1、离心率离心率是圆锥曲线的重要几何性质，是描述圆锥曲线形状的重要参数.圆锥曲线的离心率及其范围的 求解是一类常见问题，也是历年高考考查的热点，难易题目皆有.求解圆锥曲线的离心率的值或取值范围, 其关键是建立恰当的等量或不等量关系，以过渡到含有离心率e的等式或不等式使问题获解.1、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数的比例关系(只需找出其中两个参 数的关系即可)，方法通常有两个方向：(1)利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形(曲线上的点与两焦点连线组成的三角形)，那么可考虑 寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与。有关，另一条边为焦距.从而可求解(2)利用坐标运算：如果

2、题目中的条件难以开掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用。力,c进行表示，再 利用条件列出等式求解2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：(1)题目中某点的横坐标(或纵坐标)是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求.如果问 题围绕在“曲线上存在一点l 那么可考虑该点坐标用表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口(2)假设题目中有一个核心变量，那么可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可(3)通过一些不等关系得到关于力,。的不等式，进而解出离心率注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：6(0,1),双曲线：e(l,

3、+oo) 类型一利用几何性质【例1】【2020山东省实验中学期中】 耳，心是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且3 j TOC o 1-5 h z | PF2 | PF |,椭圆的离心率为“，双曲线的离心率为g，1。耳1=1百61 ,那么一+彳的最小值为()A. 4B. 6C. 4+272D. 8【答案】DX2 y2【解析】由题意得：1。片1=1月Kl=2c,设椭圆方程为= + 7 = 1(00),双曲线方程为22二七=1(。2。也 。)，又|尸耳1 + 1尸。1=2*尸丁 |尸耳|二24，2小 3 %c3a 9。凡+c”| PF21 +2c = 2q PF2 -2c = 2a2A

4、 ax -a2 = 2c ,贝ij 一+， =+ L =-q33a2 c 3ca2【解析】设双曲线的左焦点为B,由双曲线的对称性可知四边形MF2PB为平行四边形，眼闻=归闾，MFJIPN ,设|P用=根，那么|加入|=3根，2 二四周一娟=2加，即MFX = a, MF）=3a , /MF?N = 60 ,：/F、MF? = 6。,又忸F）| = 2c,在MFiB 中，由余弦定理可得：4c2 = a2 + 9a2 2-a-3a-cos60 即 4c2=7/,二 J =1，双曲线的离心率 e = = ,故4.【2020四川成都七中月考】椭圆，+2=1（。匕0）的右焦点为凡 左顶点为A,点P椭圆上

5、, TOC o 1-5 h z 且/_LAF,假设tanNP4/ =,，那么椭圆的离心率为（）21112A. B. -C. D.一4323（b2生【解析】不妨设P在第一象限，故P G , +“人？ a 1,即4改_2/=0,即a tan ZPAF =1 e 2/=0,解得e =不，e = -l （舍去），应选C.25.12020.凤城一中月考】椭圆5 +4的左、右焦点分别为耳，B，点2在椭圆上，。为坐标原点，假设|OP|=；IEKI，且|耳|以冒二。2,那么该椭圆的离心率为（）【解析】由椭圆的定义可得,|PFi|4-|PF2|=2a, X|PFi|PF2|=a2,可得PFRPF2I=a,即P为

6、椭圆的短轴的端点, |OP|二b,且|OP|=，|FiF2|二c,即有 c=b=,即为 a=Jc, -,应选 C.22r.【2020.黑龙江大庆二中期末】过椭圆二十二= 1（。/?。）的左焦点且斜率为一的直线/与椭圆交 矿 ba于A3两点.假设椭圆上存在一点尸，满足况+砺+而=。（其中点。为坐标原点），那么椭圆的离心率为（）1D.22222【解析】设4（%）3（2），48的中点M（为,%）,由题意知与+与=1,之+与=1,两式相减得 a b a ba +%）（%-）+（%+%）（x -必）a2b2a2b2 AB = 0，而 AB=2,所以w+.=。，所 a a bJ以直线OM的方程为y = -

7、x ,联立 a以直线OM的方程为y = -x ,联立 ab=1hacbe,解倚了尸=-yP =。/、22ay = (x + c)a，又因为。X +砺+而=0,6 在，应选A.2标为(x,y),那么 x = -(q + |APcos29) = -UAC - C 八 8。 一 一 山 I 一、, / 11。 8。、 9 = |AP|sin20 =,故点P的坐标为（,一） be所以而=2加,所以点P（c,）代入椭圆的方程，得2 =2/,所以e a22.【2。及黑龙江省大庆中学期中】）双曲线/一方=1（。公）的左、右顶点分别为A，B,尸为双曲线左支上一点，ZVIBP为等腰三角形且其外接圆的半径为6,那

8、么该双曲线的离心率为（）【解析】由题意知等腰AABP中，|A5| = |AP| = 2q,设/ABP = /APB = 6,那么/耳入。=26,其中。必为锐角，A4BP外接圆的半径为氐，2石。=一jsin，V5 275 x=4=一,cos26 = 2x21 = 3,设点P的坐5， sin 0 -, cos 6 = ?后，sin 2。= 2 x551 + =1 .选 c. a2 3(11)2 (吗 22C由点P在双曲线上得I 55-整理得勺=,.e = a2b2 - a 3 a22.【2020.黑龙江省双鸭山一中高三期末】双曲线。=1 （0/0）的左、右焦点分别为 矿 b耳(GO),用(GO),

9、尸是双曲线。右支上一点,且|尸闾=|月阊.假设直线PG与圆V + y2=2相切，那么双 TOC o 1-5 h z 曲线的离心率为()45A. B. -C. 2D. 333【解析】取线段的中点为A,连接AB,又|尸外|=向尸2,那么AF2J_PB, 直线尸尸1与圆2+产=层相切，且。耳=。乃,由中位线的性质可知|ABI = 2q, |Rl|=；|P/7i|=a+c,，4c2=(q 乙+ c)2+4，化简得3c22qc 5a2=0,即3e? 2e5 = 0,.(3e5)(e+l) = 0 ,那么双曲线的离心率为：，应选择A-J TOC o 1-5 h z 9(2c + %)%+c / 3火c 3

10、% c3% c . o32 cq= 6 + + =+ + 622 1+6 = 8,当且仅当一 =，即3cdc 3a. c 3w v c 3wc 36)3 36=3时等号成立.，那么二寸的最小值为8.22【例2】【2019 广东金山中学期末】月，入分别是椭圆 + = 1（。匕0）的左、右焦点，假设椭圆上存在点尸，使/耳尸耳=90。，那么椭圆的离心率e的取值范围为A. （0当 B. g,l） C 争 口. g,【解析】由椭圆上存在点P,使/耳尸入=90。可得以原点为圆心，以c为半径的圆与椭圆有公共点，。2,c2b2=a2-c2：.e = -，由0vel,克e）的右顶点和上顶点， 为坐标原点，E为线

11、段的中点，”为。在上的射影，假设OE平分NHQ4,那么该椭圆的离心率为1A.31A.32C.一3d-T【解析】法：设/EOA = e, ZHOA = 20, KO tan 0=胆= tan 20 =OA a1AB2b结合正切的二倍角公式知A b2，I2a化简得2= 3廿,故e，=旦 a 3法二：=.+/,HA = OAcos/HAO = a2ylcr +b2 /ci2 +Z?2HE = HA-EA =a2-b2OA-OB ah2a2+b2AB，由内角平分线定理,”=且，代入化简 OH EH得片=3从，故 = =，应选。 a 322q2.【2019宁夏银川二中月考】设X、尸2是椭圆石：与+ 3

12、= 1（。匕0）的左、右焦点，P为直线犬=”上一点，A&P片是底角为30。的等腰三角形，那么的离心率为（）1A.21A.23C.一44 D.5【解析】如下列图所示，八匕尸片是底角为30。的等腰三角形，那么因闾=伊用,/刊例助=30。，以ZPF2A = 60%ZF2PA = 30,所以|P闾二2a工ZPF2A = 60%ZF2PA = 30,所以|P闾二2a工又因为忻闻= 2c,所以,c 32c = 3 2c,所以 e =一,应选 C.c 32c = 3 2c,所以 e =一,应选 C.类型二利用坐标运算22【例3】【2020河南开封二中期末】椭圆。：A +的两焦点为月、F2, P为椭圆Ca Z

13、r上一点，且P乙轴，点到6P的距离为:，那么椭圆C的离心率为（1A.一41A.一41 B. 2d-T22【解析】由椭圆C：3+ 27 = 1（匕0）的两焦点为片（-。，0）, F2（c9 0）, P为椭圆。上的一点，且 CT /?_轴，可得I4工1= 2c,由X = C,可得y = b.八一;序h2=,即有|pbi=，由椭圆的定义可得,序11PF= 2a-,由得G为直角的内切圆圆心，二|桃|耳BI=二NIGBI + |P6I + |P|）, a22b2可得片鸟的内切圆半径飞上,即有如=2（。22） = 4（q + c）,整理得。=2。，椭圆。的离2a + 2c 2心率为e =一，应选B. a

14、222【例4】耳，工是椭圆E：a += l（ab0）的左右焦点，假设椭圆上存在点P,使得那么椭圆离心率的取值范围是（）A.B.V2C.D.【解析】思路一：考虑在椭圆上的点P与焦点连线所成的角中，当P位于椭圆短轴顶点位置时，/RPF?到达最大值.所以假设椭圆上存在。耳8的点P,那么短轴顶点与焦点连线所成的角8 2 90。，考虑该角与0的关系，由椭圆对称性可知，ZOP=-45,所以tan/OPK =OF26p=-1,即bcb=c2b2c2a2c29 进而 er191 口 V2 一即2 一,角牛倚e 2 ，再由6（0,1）可得思路二：由尸片，。巴可得/42工=90,进而想到焦点三角形身2鸟的面积:S

15、： =/tan幺丝=/，另一方面：S祈牲b2不,恒国回| =。,回| ,从而。|%| =b2nM = 一 c因为P在椭圆上，所以孙 卜女外 yp= bC9再同思路一可解得：CV2思路三：6_LP鸟可想到PFPE=O,进而通过向量坐标化，将数量积转为方程.设P（羽y）,耳（一C0）,凡（g。），贝1J有P4=（一。一九,一，）/6=（。一羽一，），那么PFPF2=x2 + y2-c2=0,即P点一定在以。为圆心，c为半径的圆上，所以只需要该圆与椭圆有交点即可，通过作图可发现只有半径/2人时才可有交点，所以cNZ?,同思路一可解得ew注：此题对P在圆上也可由P片，P入判定出P在以月入为直径的圆上，

16、进而写出圆方程思路四：开始同思路三一样，得到P所在圆方程为V + y2=c2,因为P在椭圆上，所以联立圆和椭圆方程：b2x2+a2y2=a2b222+ y =cz代入消去X可得：c2-y2 + a2y2 = crb1,整理后可得:卜4c2y2=by2= ,由y4也可可得：y2= cb,同思路一即可解得：ee.例4的众多思路重点区别在：一是从条件中想到椭圆的哪些性质与结论，不同的结论得到不同的突破口;二是在解决离心率时是选择用几何特点数形结合去解还是通过坐标方程用代数方式计算求解，可灵活选择.由于椭圆（双曲线）的元素a, b, c,在图形、方程中具有一定的几何意义，所以借助坐标关系或几何关系来解

17、决离心率的问题.【举一反三】221.12017课标1,理】双曲线C：二-二=1 （a0, b0）的右顶点为A,以A为圆心，b为半径作 a- b-圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.假设NMAN=60。，那么C的离心率为依 2a/3【答案】3222.【2020.河南洛阳新安一中月考】耳、尸2是双曲线=1(0,0)的左右焦点，过点尸2与双曲 a b线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点，假设点在以线段耳鸟为直径的圆外，那么双曲线离心率的取值范围是()A. (2, +oo)A. (2, +oo)B. (V3,2)C. (V2,V3)D.(1,扬x2【解析】双曲线: av2b二二

18、1的渐近线方程为广土一X,不妨设过点F2与双曲线的一条渐过线平行的直线方 bab程为 y= (x - c),ahche与y=-联立，可得交点M (上，-a22ac2点M在以线段FF2为直径的圆外，|0M|0F2|,即有一 十 4b2c2 勺。2, 4。b2A 3,即 b23a2, c2 -a23a2,即c2a.那么e= 2, 双曲线离心率的取值范围是 a类型三数形结合法(2, +oo),应选A.22【例5】【2020.广西南宁二中期末】椭圆C:T + jT = (ab0)的左焦点为方，点A是椭圆C的上顶点，直线/：y = 2x与椭圆。交于N两点,假设点A到直线/的距离是1,且MF + N尸不超

19、过6,那么椭圆C的离心率的取值范围是()A.B.C.。当D.【解析】设椭圆。的右焦点为尸，连接尸，NF，由椭圆的对称性可知四边形MFNL是平行四边形,那么MF +bNF = 2a,那么26,即a3,因为点A到直线/的距离是1,所以l=1,所以b =V4 + 1那么椭圆。的离心率ea1c a2-b255 41-4，因为所以/49,所以。1 - -r即椭圆ca2一 9的离心率的离心率，应选:A.22【例6】【2020四川绵阳期末】椭圆C =+ = 1（。80）的左右焦点为6，尸2,直线y =丘与 a b27r椭圆C相交于P, Q两点，假设|p片|=2|0用，且NP4Q = ,那么椭圆C的离心率为（

20、）d-T【解析】设椭圆的右焦点尸2,连接，PF2.QF2 ,由/尸片。=120根据平行四边形性质得到 /PQ=60,设PF、=2m,PF2=m,由余弦定理定理得，!=也优+：-4c, ： = &，由三2 4斤2 = 3m=26c ,椭圆的离心边关系得到 PF/、= 90,那么加=2c =2m, PF? = m.率e = = W,应选D求椭圆的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：求出代入公式e = ；只需要根据一 a个条件得到关于。力,。的齐次式，结合二转化为的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以。或/转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e （e的取值范围）.【举一反

21、三】 TOC o 1-5 h z 221. （2017新课标III,理10）椭圆C:j +斗=1（。人0）的左、右顶点分别为A，4,且以线段A4为 q- b直径的圆与直线公- + 2 = 0相切，那么。的离心率为（）A指R 6正n 13333【答案】A【解析】以线段A4为直径的圆与直线区-世+ 2 = 0相切，原点到直线的距离 产 =,化为：-y/a2b2a2 = 3b2,，椭圆C的离心率e = = J1 -与=?，应选A.2.【2016全国卷HI】O为坐标原点，厂是椭圆C，+/=1（。）的左焦点，A，3分别为C的左、右顶点.尸为C上一点，且PRLx轴.过点A的直线/与线段P产交于点M,与y轴

22、交于点E.假设直线经过。石的中点，那么C的离心率为（） TOC o 1-5 h z 1A.gB.2一3C3D4【解析】（法一：数形结合法）如图，设直线5M与y轴的交点为N,且点N的坐标为（0, m）,根据题意，点N是OE的中点，那么戊02%）,从而直线AE的方程为士+合=1,因此点M的坐标为一c, 2m丁）.2皿一c）MOBNsAFBM,所以盟=爆，即一R=安，解得所以椭圆C的离心率为/ I 2 V I I V-X JLx Ii!Czt*法二：交点法同法一得直线AE的方程为士+就=，直线BN的方程为?+= 1,又因为直线AE与直线BN交于点M,2m2m且PbLx轴，可设M（ c, ）.那么消去小解得所以椭圆C的离心率为9法三：三点共线法同法一得直线AE的方程为士+/=1,由题意可知M（c, 2m（1一）, MO, m）,即z,0）三点共线，那么c 11解得热 所以椭圆C的离心率为最法四：方程法设M（ c, m）,那么直线AM的方程为y=/?，x+a）,所以0, 言，直线的方程为y=Jb；（x0, 与y轴交于点（。，署），由题意知，言=詈，即。+。=2（。一）,解得=/所以椭圆C的离心率为今 法五：几何法