高等数学知识点整理

1、极限与函数1、数列极限重点:匕6语言，cauchy收敛原理，收敛与绝对收敛，数列极限的性质1）数列极限的性质：1、有界性：收敛数列必有界2、保序性：若limK二a, lim y c方：且曰 A则存在正整数N,当打 JV时 有必3、保不等式性 4、保号性5、夹逼原理2n1 . 3 51)2 4 , 62n，求 lim%提示：利用不等式性质来寻求上图中不等式右边的上界。6、单调有界定理这是数列极限的基本考察点此 数列3满足：对任意加有，斗3-卬+|%-里|+|4-%一51成立一证明4和SJ收敛这道证明题旨在考察大家对单调有界定理以及柯西极限存在准则的熟练掌握程度，思考 证明方法的过程中，对于题目中

2、给出具体式子的情况，应首先考虑基本定义和基本定理。iE因为相：中雨或增仃卜界匕所以|$也敛.因为5.收敛.所以由柯旭极限自汗昨则:ivj. 5以， 杆7 Lfe Ln ),这道极限题是乍一看有点复杂，但基本上这种内部比较整齐，有带x的幕次 方的函数求极限，可以先尝试做基本变形看看能否运用两个重要极限，从而剥去 复杂的一层。而这道题，在做了基本变形之后，我们发现是很容易的：V -4J.6o1 *ln.6-Tkd第limb x In b因 1ini-一 Qlima1 -bf + Mlnb_Mlnr/*+ 1+bT +xlitj - xLinTlnb)一xlnA,a1 -bT aUio lim t-

3、 n In。一占 Inb + lnb- Inn o Lei a -bx lii- =lullhill- 71-+02所以lim，*)一仙仔常见方法：利用上面两个极限和函数极限的符合运算法则，可以得到下面几个常用的极限:3)无穷小量与无穷大量常见题型:7.设/rx) = J/ 了 f K(l) = X* .若当工-0,时* 工)於g(工)的同阶无7小*则常见方法：等价的无穷小量在极限的讨论中占有重要的地位1）无穷小之间的关系”5后一个等价关系7设/V） g（和*幻都是工3飞 时的无穷小量,则a.目反性：/（工卜/（女）（工一颉* b.时林性；若 f（K）gX0）r Jg（x）/（.x）（X-XO

4、）J .c,传递性:苫且gk）M4）（工一与）,则&-见）.2）等价的无力小质昂有下面的基本应用，设/（工）和g（S都是工T/时的比方小后，/（.X）*（A）（XT&J）齿收网工）江某小（q）l*定乙则a1呼/（,（、）= Um虱，网式上*hix 碓）hm 士 lim产f fix）/ gQ）3）几个重要的等价无穷小量;v现 sin x x （ X - 0 ）；耳1-GOSX-X2 （ A 0）； Fln（l+ x）x （x - 0 ）； u，-Lx t x- 0 ）； +jarctanxx （ x 0 ）； *（1+冗-12s （ x - 0 ） 在此要注意运用等价无穷小量的时候，要将式子转化

5、为乘除，加减不能直接使 用等价无穷小量。4）曲线的渐近线利用极限，曲线的渐近线得以严格定义：若曲线上的动点沿着曲线无限远离原点 时，动点与某定直线的距离趋于 0,则这条定直线称为该曲线的渐近线.1）+ b为曲线了 = /（r）的斜渐近线当且仅当下列条件之一满足,ad = lim ,b = lim(/(x) - Ax) ；HfR KXXX- 1b,k = lim , b =#IH Wr(/W-r).最宜定理.若/江m.bi上连续，则它在m.w上必能取得最大值与最小便.零点存在定理,若/在闭区间匕加上连续且则存在门(白使得/三.分值定理，在小加上连续，明它一定能取到最大值材=max/(A)臼口加和

6、 加=曲口丁(父)|忑。6之间任意个值，.函数的连续性是函数的基本特性，无处不在，常考题型具体考察间断点个数:&设/(外宫W)在匕上行定义，1%.对加0茶)分别是了.启时间断点,则lllix f ( t).g(*)的旬断点的个数为A+ 0个区1个C D D,以1：始f阿糖此题通过作图即可得到；对于间断点的种类，希望大家留心它们的区别，后期学 习可能会用到部分间断点的某些特性。2导数与微分基本内容：导数定义、初等函数导数、求导四则运算、复合函数求导法则、 隐函数求导、参数方程求导、高阶求导、莱布尼兹公式重点：可导性、初等函数求导公式、复合函数求导法则常见题型：1、对给定函数求导方法与技巧：熟练掌

7、握初等函数导数以及导数运算法则2求给定曲线方程某点处切线方程例如以下第4小题：4曲线产.，7二5在点卜0)处的切线方程为L答案；y 工33、可导性判断习题：注了小则/的不可手点个数是A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个解法：对于这类绝对值函数的可导性判断，首先要去掉绝对值，将分段函数写清楚，再进行分段求导，除了每部分的不可导点外，要留心间断点的可导性，判断某点的可导性通常看左右导数是否相等，该题中在3处左右导数相等，在0处不相等，且在其余点处明显可导，因此，答案： A方法及技巧：1）由导数定义判断某一点是否可导；2）由连续函数必可导得出函数可导；3）计算某一点左、右单侧函数值是否相等判断可

8、导性。4、复合函数求导一般复合函数求导是比较容易的，熟练掌握链式求导法则是求对导数的关键。在 真正求导过程中，不同的方法计算量的大小是不一样的，对形同y = w（x）v（A）这样的带指数哥求导虽然有些复杂，但方法是比较固定的:方法一工将二必中)进行变形,得到v=血血&L再对其求导1 #方法二：两边先取对数，hy=y(x)hu(x)t用时两边工求存.注意3是工的函数, 左边需要求复合函数导数；，试卷中第二大修的第a题则是考察复合函数求导的题目, a vsr *4.,ir y = (l4-A*)求心3 TOC o 1-5 h z -TlL,7 Y*B ；1 -|_ 丁答案：vr= (1+x*)*

9、Inf 1 + r2 + 工5 2jtlnx+ +1+XX5、由导数定义求导叫1十支)工设的数y= -r 求，.h4 01解.由号数定义二吟习题:6、隐函数求导习题:6. it v = f(.r) ill 疗程一 q. = T- + 8、x 畴定,求 i(.解.Onj=0 .两边求凡则仃广(1 十./) 一丁一号 = 2a-疝1 x0) =-1继故求导1仃e*(l+y)2 + 尸歹-2/ - jy*-2-cosx把工二Uj=0,/(0)二1代心 则疔门 0=1方法及技巧：对某一变量求导时将其余的变量当作常量，依次对每一个变量求导7、参数方程求导习题：x-cicor. t 上山山 h2v5.设、

10、其中。为非0的常数，求号.T 二 疝/九代答案：一3acos fsm/方法及技巧：掌握参数方程求导公式及理解高次求导含义3微分中值定理及应用基本内容：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，泰勒公式，极值，拐 点，函数单调性1、函数单调性，极值与凸性拐点常见题型：求实际问题极值，不等式证明方法与技巧：通过导数来得到函数的单调性和极值是从我们高中就接触的， 通过第一二三充分 条件即可判断极值；不等式证明常常和函数单调性联系，在稍有难度的不等式证 明中会用到变形和詹森不等式等等例如相关题目： （本邀12分）求函数.1皿的单调区间9此函数图形的切或坐标，这是一道常规题，即求解函数一二阶导数，判断导

11、数零点和左右符号即可得到。此处需要注意的是，拐点并不只是二阶导为 0的点，（x1,f（x1）为拐点的必要条件是二阶导为0;拐点两侧分别是严格凸与严格凹的，即拐点是凸函数和凹函数 的分界点，因此需要进一步判断该点二阶导两侧符号情况才可确定 = 0 二 x = ud凰2分)在卡粒内。的球体蚱作外加时体，要便解裸体体则盘小. 岛搂相联华松齐为匕少？同同惟林的这同样是一道极值题，实际应用求解极值题一般是比较简单， 只要找到简单的函 数关系，就直接成为函数求极值的简单问题。解设圆锥体的底半径为八高为力，角乙45。=研，则tan/ =,，因此，阅锥体的体积为idv = Ln凸,=/,3伊=疗333(nr

12、4)_q/(打=三-8=0=白即当=,h =小白时体积最小.V? 2 -M叫8、(本题 10 分)证明：，l + .v)lif(l + *)0).这是一个不等式证明问题，放眼看去该不等式包含函数是一些简单初等函数， 因 此首先可以尝试最常用的方法一一移项求导找极值。ill：令 v) = / 1 十% )lif (1 十工),a eo,田)1 则 / (0) = 0/() =二 X-hF (1 + a - 2bi(14-x )/(0) = 0 .八)2约旦二吐也包。)1+工1 +1I+X所以单增,BP/(x)0(x0),单增，即t)0(t0),因此不等式成工不等式的证明问题是一个难点，证明不等式

13、过程的一些常用技巧：1运用函数增量和自变量增量的关系如.InQ十工)K|J InQ 十工)一ln(l +0) c工；sin x-sin?|0(/(.x)0).3运用函数四性.4运用均值不等式5运用微分中值定理，卜面给大家一道习题，大家可以自行练习:证明不等式3Mp-岂。/人 其中2瓦c均为正数心泰勒公式泰勒公式作为一种方法的使用面很广，因为这种神奇的工具可以将一些看起来比 较复杂的函数组合变成幕函数的形式，从而让我们很清楚地发现很多突破点，可 以用于解复杂极限，用于做近似计算，在一些证明题中也颇有奇效。常见函数的泰勒展开式1e?=1+z+z2/2!+ +z/n!+.|z|尸 1+Z+Z2+2n

14、+.|z|13 /(1+Z)= 11)“2n+ |z|14sinz=z-z3/3!+z5/5!*-+(*1f*z2n+1/(2n+1)!+ ，|z|58sz=1-z)2!+z04!+卜1丁？22口)!,团8(6ln(1+z)=z-z2+z3/3-*(-1)V+1/(n+1)+- |z|17(1 +z= +oz+a(o-1 )z2/2!+a(a-1 )(cp2)z)3!+ 口(。-1)(a-n+1)z7n!+*. z Lb Ln,4-解2山泰勒公式:ax = 1 + xliin +-hr n + o(A2)，所以 一xlna)F=lim 1 +IT。Jlif +。(/)111* oInn=lul

15、l 1 十lOax -xhin 13 if -xhifeJh1一+ o x*)马如一 口-Iq-占)-/ !Je*ir i . x*，=e-应用中值定理进行证明常见方法：构造辅助函数选择题第8题就是中值定理的一个小练习：8,设八)二1，一1乂/-2)(?-3),则广同T2)中的零点个数为A. 2个B. 3个C. 4个D, 5个通过上述方程明显看出fa题零点是o.l6,5根据中值 定理.在(-65),(75,7),(-1,0),(0,1),(1,Q),(W,内部分别有 尸的零点，因此在(T, 2)内部尸(X)的零点个数是4个. 因此答案选C； ,相同地,我们可以得了”(可在(-1,2)内部的零点个数皿六、(本题8分)设/(x)二阶可导，IL满足/(-1)=2，/(0| = 1, 2)=1.366证明：存在使价/(S) = l.分析：要证明存在& (-1, 2) ,s.t.rw=i,由证明 存在性.和二阶导数，自然想到用中值定理。因此常用方 法构造辅助函数产=/a)-ga)，使得产(工)在(