wlv数学建模之住房的合理定价问题

1、住房的合理定价问题摘要房价的合理性已成为当今社会的热门话题。本文依照题中所给出的数据，对3个问题分别建立模型并求解。针对问题1,首先利用Excel建立图表，绘制出历年房价走势图。然后，对 原始数据进行拟合，得出指数型及多项式型拟合方程，并在原图上绘制出趋势线。同时，求出确定性系数R2,依据R2是否接近于1判断拟合程度好坏，即检验拟 合方程的有效性。计算得出的指数型及二阶多项式型拟合方程：x1(i) 678.81e0.1281i x2(i) 12.59i2 50.274i 716.38 ,由此预测出 2010年房价分别为4080元/平米、3888元/平米。为了增加预测的可靠性，再结合二次指数平

2、滑法对2010年房价进行预测。通过比较实际值与预测值的平均偏差值 ME勺大小， 选择出合适的。预测出2010年的房价为3800元/平米。最后，建立三元线性回归模型，将上述三种方法对历年房价的预测值分别作为自变量xx2、x3的原始数据，以实际房价P(i)作为因变量，用Matlab软件拟合出多元线性方程：Pf1(i)0.0202 0.1389 x1(i) 1.1319 x2(i) 0.0084 x3。代入相关数据，求出历年的最终房价预测值为3866元/平米。针对问题2,通过Excel绘制出历年平均房价与人均 GDP勺关系走势图，且 自动生成对原始数据进行拟合后的指数型和自变量为 2阶、3阶、4阶的

3、多项式 型拟合方程及各自的确定性系数 R2。R2的值分别为：0.8673; 0.9929; 0.9982； 0.9986 o由此判断，因2阶多项式型拟合方程的R2不仅十分接近于1,且相对 于3阶、4阶的多项式方程更为简便，故选择：P(i) ( 7E 06) G(i)2 0.3236 G(i) 177.06为平均房价与人均 GDP勺关系方 程。最后，在联系当下实际状况的基础上对建立的模型进行研究， 分析出平均房 价与人均GDP勺关系。针对问题3,首先从政府、人民、房地产商三方面分析其各自对房价的要求。 然后，利用Excel ,并依据前两个问题的解决方法求出最合理的历年人均GDPffi平均收入走势

4、的拟合方程，分别为：G(i) 135.36i2 659.73i 4486.8;I(i) 57.978i2 390.52i 4715.8。由此预测出 2010 年的人均 GDP1 为 21781 元、平均年收入为21547元。利用Matlab软件拟合出以历年人均 GDPffi平均年收入 的实际值作为自变量2, x2 ;以历年平均房价的实际值作为因变量的二元线性回归方程，将已经预测出的2010年人均GD厉口平均收入值代入拟合方程Pf3(i)48.4599 0.0492G(i) 0.1348I，得到 2010年平均房价的预测值 3928元/平米。最后，再结合房价收入比等相关数据改善模型。本文最大的特

5、色在于采用多种方法解决问题并对其结果拟合得到最佳答案。 同时结合国家政策，社会现状等实际因素改善模型，增强模型的实用性。关键词：二次指数平滑、多项式、线性回归、房价收入比电视剧蜗居的热播不是一个偶然。它的成功，正是在于其所反映的“房 奴”问题激发了广大老百姓的共鸣。当今社会，房价的急速上涨让人们不知所措。 房价太高，而需房者收入又太低，使得国内的房地产业面临前所未有的困境。 如 何遏制房价过快上涨势头，使百姓买得起房，房地产商有钱可赚，国家的支柱性 产业得以健康地发展是放在我们面前的一大难题。以上述背景为基础，根据某地区各年的平均房价、人均 GDP职工平均年收 入等数据(见表1)解决关于住房的

6、合理定价问题：表1某地区19972009年房价、GDP职工收入数据表时间：年平均房价：元/平米人均GDP元平均年收入：元199776735405156199889537835138199999539166526200011174239743420011261492284752002143755609688200316406399107032004195778421138420052244911612343200624891087913630200728011347515558200830961673718472200935001874519820(1)根据该地区历年的平均房价建立模型预测 20

7、10年的平均房价。(2)研究该地区人均GDPW房价的关系。(3)试建立2010年该地区的合理房价模型使得百姓、房地产商、政府都比较满意。.表1中所提供的1997至2009年的平均房价、人均 GDP平均收入值真 实有效。.在2010年内，无地震、洪灾、瘟疫等重大自然灾害及战争、动乱等人为 灾难发生。.在2010年内，国内经济以固有趋势稳步发展，无金融危机冲击，人均 GDP呆持稳定上涨趋势。.针对第1个问题，假设政府没有出台任何有关住房的新政策。符号意义ii （1,2,3|14） , 1997为第1年，1998为第2年一以此类推P（i）第i年平均房价的实际值P（i）第i年平均房价的第一次平滑值P2

8、（i）第i年平均房价的第二次平滑值Pfi（i）（第1问中）2010年平均房价的最终预测值Pf2（i）（第2问中）2010年平均房价的最终预测值Pf3（i）（第3问中）2010年平均房价的最终预测值平滑系数X（i）由指数型拟合方程预测的第i年平均房价值X2（i）由二阶多项式型拟合方程预测的第i年平均房价值X3（i）由二次指数平滑法预测的第i年平均房价值T自i时点起1可前预测的时点数；ai、bi二次指数平滑法中的待定系数c0、g、 c2、C3（第1问中）三元线性回归模型的待定系数d0、d1、d2（第3问中）二元线性回归模型的待定系数G(i)第i年人均GDP的实际值G(i)第i年人均GDP的预测值I

9、(i)第i年平均收入的实际值I(i)第i年平均收入的预测值问题1:1）问题分析Stepl:利用Excel软件，作出1997至2009年的平均房价走势图，并添加指数型及 二阶多项式型趋势线。经观察可知，添加的趋势线与原平均房价的走势线较为吻 合。故使软件自动生成指数型及二阶多项式型拟合方程，和它们各自的确定性系数R2。如下图：该地区历年房价走势图-系列1指数（系列1）图1添加指数型趋势线的该地区历年房价走势图该地区历年房价走势图4000 ry = 12.59x2 + 50.274x + 716.38T系列1多项式(系列1)oooo OO 0 5 0 5 0 53 2 2 1 1价房米平每图2添加

10、二次多项式型趋势线的该地区历年房价走势图因R2分别为0.9980和0.9989 ,十分接近于1,故两拟合方程的拟合程度均 很高。利用它们进行2010年，即第14年的平均房价预测具有可很高的参考性。 Step2:为了增加预测的可靠性，再利用二次平滑指数法对2010年平均房价进行预测。首先，要确定 的值。选取不同的 进行计算，通过由不同 值得出的预测 数据再进行实际值与偏差值的平均偏差大小 ME计算。选取ME值较小的 作为 参加计算的平滑系数。Step3:建立三元线性回归模型，将上述三种方法对历年房价的预测值分别作为自变量为、X2、X3的原始数据，以实际房价P(i)作为因变量，用Matlab软件拟

11、合出三元线性回归方程，使我们所需要的2010平均房价预测值更为精确。2)模型的建立与求解Step1 :指数型拟合方程：x1(i) 678.81e0.1281i其确定性性系数R2 0.998二阶多项式型拟合方程：x2(i) 12.59i2 50.274i 716.38其确定性性系数R20.9989经计算可得：x1(i)(772, 877 , 997, 1133, 1288, 1464, 1664, 1892, 2150, 2444,2778, 3158, 3589);X2(i)(779, 867, 981, 1119, 1283, 1471, 1685, 1924, 2189, 2478, 27

12、93,3133, 3489);i (1 , 2, 313)利用以下公式进行误差检验：E P(i) x(i)nEin其中n=13;可得 MEX1 0.5; MEX2 0.6由此判断该拟合方程误差很小，预测数据具有有效性。4080其中，X1(14) 4080; X2(14) 3888即，用指数型及二阶多项式型拟合方程对2010年的房价预测值分别为元/平米；3888元/平米。Step2:指数平滑法的预测关系式为：P1P(i) (1)P1(i 1)利用上式进行两次平滑值的计算；再将第一次平滑值和第二次平滑值代入以下公式：ai n(i) (P(i) P2O)bi -(Pi P2(i)1确定待定系数ai,

13、bi的值；最后将ai ,b代入公式x3(i) ai b T求出预测值。当求出所有年份的预测值后，利用以下公式进行误差检验:Ei P(i)川)nEiME -IJn其中n=12。比较ME大小，选ME较小的 值。 取值为0.5 ; R(i)的初始值为767表2时间：年平均房价：元/平米P(i):元/平米F2(i)：元/平米x1 (i)：元/平米Ei19977677677671998895831799767128199999591385689510020001117101593610279020011261113810371173882002143712881163134097200316401464

14、131415381022004195717111513176419320052244197817462107137200624892234199024424720072801251822092902-10120083096280725083136-402009350031542831340595ME1 78 取值为0.3 ； p,(i)的初始值为767 表3时间：年平均房P(i):元/平米F2(i)：元/平x1 (i)：元/Ei价：元/平米米平米199776776776719988958057787671281999995862803844151200011179398449461712001

15、126110369021075186200214371156978122721020031640130110751410230200419571498120216243332005224417221358192132320062489195215362242247200728012207173725462552008309624741958287821820093500278221133211289ME2 228因为MEi ME2 ,所以将 的取值定为0.5.贝Ux3(i)(767, 895, 1027, 1173, 1340, 1538, 1764, 2107, 2442, 2902,313

16、6, 3405) , i (2, 3, 4, 5- -13)其中 X3(14) 3800即，采用二次指数平滑法对2010年房价的预测值为3800元/平米。Step3:建立三元线性回归方程：Pf1(i) / 。 x1(i)C2X2C3X3。)利用Matlab软件解上式; 可得：Pfi(i)0.0202 0.1389 x1(i) 1.1319 x2(i) 0.0084 x3(i)将 xi(14) 4080, X2(14) 3888, Xs(14) 3800代入上式;得 Pf1(14) 3866；即，2010年平均房价的最终预测值是 3866元/平米。1.131322.95570.C1S3YeM s

17、tep:mercejrt= -uJ2ir2忸+它之U.SS修内1F 卯了4ACUF-S1 = 0.336337p = 5 25rai a-oi20.000050D3 D.0470O.S63 150asModel History1iLLN UJ 工 LL图3对三元线性回归模型的误差分析图从图中可看出确定性系数R2 0.998791 ,拟合程度相当高因此根据此式得出的2010年平均房价预测值具有很大的参考价值。问题2:1)问题分析及模型的建立 建立如下图表：该地区历年房价与人均GD关系的走势图, 一 . . 一 一 -O OOOOOOOOOOo O0 544332211价房均平5000100001

18、500020000人均GDPrrr c 9E-05Xy = 777.3eR2 = 0.8673一系列指数（系列1）图4添加指数型趋势线的房价与人均 GDP1系走势图图5添加二次多项式型趋势线的房价与人均 GDP1系走势图图6添加三次多项式型趋势线的房价与人均 GD联系走势图图7添加四次多项式型趋势线的房价与人均GD联系走势图由图4图7可看出，指数型和自变量为2阶、3阶、4阶的多项式型拟合方程及各自的确定性系数 R2。 R2的值分别为：0.8673 ; 0.9929 ; 0.9982 ; 0.9986因为二次多项式的R2值既比指数型拟合方程的R2更接近于1,且其方程形式比三次，四次多项式的拟合方

19、程更为简便。 故用它反应历年人均GDPf平均房 价的关系。如下式：Pf2（i） 7E 06G2 0.3236G（i） 177.062）模型的求解根据建立的模型，即上式，研究分析该地区平均房价与人均GDP勺关系。因为该式的二次项系数小于1,则此方程的图形为开口向下的抛物线，必有 一个最高点。因而，随着人均GDP勺不断增长，平均房价也在不断增长（如当下 的情况），当人均GDR续增长到某一值时，平均房价达到最高点，且此后随着 人均GDP勺不断增长，房价呈下降趋势。最近，国家出台了一系列新的政策，如：在商品价格过高、上涨过快、供应紧张的地区，商业银行可根据风险状况， 暂停发放购买第三套及以上住房贷款；

20、对不能提供1年以上当地纳税证明或社会保险缴纳证明的非本地居民暂停 发放购买住房贷款；二套房首付款不得低于50%贷款利率不得低于基准利率的1.1倍（工商银 行已于2010年4月16日率先实行此政策）。而当这些政府调控楼市的政策出台之后不久，深圳、上海纷纷出现楼市投资者抛盘的情况，更有浙江投资者将上亿元的在京楼市投资抛售而出。由此分析得出，这一系列的新政策极大地影响了人们在房产上的消费倾向， 在一定程度上削弱了住房的购买量，从而使房地产商会以减少楼市的投资或以降 低房价的手段促进楼盘的买卖。综上所述，以理论模型结合实际情况进行分析可得出以下结论：就当前我国的经济发展状况来看，我国人均GDK继续保持

21、增长趋势，平均 房价也会随之增长。但是，由于国家政策的干预，平均房价的增长速度可能会逐 渐减慢甚至呈负增长状态，不过，这将是政策被实际且广泛实行一段时间后才可 能出现的结果，在短期内房价不会大幅度下降。问题3:1）问题分析要想建立一个合理的房价模型使房地产商、 人民、国家都满意，就必须同时 从三方面着手考虑。企业的根本目的是利润的最大化。 因而，就房地产商而言，高房价与高销 售量成就的高销售额是他们所追求的终极目标。然而，房价可由房地产商决定， 但他们却决定不了销售量。销售量无法提高，赢取利润便是空谈。因此，确定合 理的房价对于房地产来说十分必要。 因为，房价在很大程度上决定了销售量的多 少。

22、对于普通老百姓而言，房价当然是尽可能越低越好。（不考虑靠“炒房” 谋生的人群）。当下，房价的居高不下令许多买房者望而生畏，整个社会中降低 房价的呼声越来越高。针对政府来看，房价高，房地产业兴盛必然会带动多产业的发展与壮大， 从而促进整个国家的经济发展。但是，过高的房价又必定会引起百姓的怨言。 所 以，怎样确定一个既能保持房产业的繁荣又能满足百姓的住房需求的合理房价是 政府不得不考虑的问题。综上所述，合理房价的确定不仅要参考历年平均房价的走势，也要将以上三个因素考虑在内。因此，首先，根据该地区历年人均GD林口平均收入值的数据，分别拟合出一 个二次多项式方程，通过该方程得到该地区 2010年人均G

23、D林口平均收入的预测值。然后再将该地区历年人均 GDPG(i)和平均收入I(i)作为自变量，历年平均房价P(i)作为因变量拟合出二元线性回归方程。即，在人均GD吸平均收入的影响下，对2010房价进行预测的模型。人均 GDPfe一定程度上反应出整个国家的经济发展状况，而平均收入也在一定程度上映射出该地区老百姓的购买能力。最后，结合国家政策和社会状况对该模型进一步改善，使其具有实效性。2)模型的建立与求解Stepl:该地区历年人均GDP走势图年份T系列1多项式(系列1)PDG均人图8添加二次多项式型趋势线的历年人均 GD就势图该地区历年平均年收入走势图T-系列多项式系列)图9添加二次多项式型趋势线

24、的历年平均年收入走势图以上两图是通过Excel软件绘制的该地区历年人均GD林口平均收入的走势图，并自动生成二次多项式拟合方程合确定性系数R2。人均GDP勺拟合方程为： 2 G(i) 135.36i659.73i 4486.8R2 0.9957平均收入的拟合方程为：I (i) 57.978i2 390.52i 4715.82 R2 0.9898通过对R2与1的接近程度判断可知，两拟合方程的拟合程度均很高。代入数据可得：G(14) 21781； I(14) 21547。所以2010年的人均GDP和平均收入的预测值分别为 21781元，21547元Step2:以G、I(i)作为自变量，P作为因变量建

25、立二元线性回归模型。其中，i (1, 2, 3- -13)。利用Matlab软件求解，得到拟合方程：Pf348.4599 0.0492G(i) 0.1348I(i)代入 G(14) 21781 和 I (14) 21547 ,得到 Pf3(14) 3928即，在人均GDP与平均收入的影响下所预测的 2010年房价为3928元/平米口-丫幻.03232.5123 C.1611口.1三3.二46mC.UO32MvkI 囚（ap”. i nr0 DJD5 0.10 15 U2H erupt - -4二白七日RUSE -11t；JLitii1-sc|_we -U ytlti- tti&dJFf-5邛= U931IB田产一三3 MiT口-注JF2etH 口图10对二元线性回归模型的误差分析图由上图可知此二元线性回归方程的确定性系数为。因此判断该方程的拟合程 度很高，误差较小。但是，3928元/平米的