求函数解析式的类型与方法归纳总结

1、百度文库-让每个人平等地提升自我 函数的解析式【教学目标】1.理解函数解析式的概念，2.掌握求函数解析式的常见类型及其方法。【教学重点】掌握求函数解析式的常见类型及其方法。【教学难点】一些简单实际问题中的函数的解析式表示。 二知识要点：1.函数解析式的概念，2.求函数解析式的题型有:(1)已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；(2)已知f(x)求fg(x)或已知fg(x)求f(x)：换元法、配凑法；(3)已知函数图像，求函数解析式；(4) f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；(5)应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等.、典例分析1、定义

2、法(或配凑法)此方法是把所给函数的解析式，通过配方，凑项等方法使之变形为关于“自变量”的 表达式，然后以x代替“自变量”即得所求函数的解析式。例1已知f 11 ,求f x的解析式。 TOC o 1-5 h z J 2/ 1.11解 把解析式按“自变量”1 变形得f 1 1 2 1xxx, 12以x代替1 1 ,得f x x2 2x x工1此方法是将函数的“自变量”或某个关系式代之；以一个新的变量（中间变量），然后找出函数中间变量的关系，从而求出函数的解析式。例2已知f ex 1 x求 f x解令ex1=t,则 x ln t 1 t 1 f t In t 1 t 1 即f x ln x3、待定系

3、数法此方法适用于所求函数的解析式表达式是多项式的情形，首先确定多项式的次数，写 出它的一般表达式，然后由已知条件，根据多项式相等的条件确定待定系数。例3已知二次函数f X满足条件f 02axbxc=1,2axbx c2ax a b。由2x,得2ax2x, 2a2,ab 0, a 1,b4、解方程组法此方法是将函数中解析式的变量（或关系式）进行适当的变量代换,得一个新的等式,然后与原式联立，解方程组，即可求出所求的函数。在原式中将，1rx换成，再与原式联立，得x5、2f2x3x赋值法2fx,1d消去f，得1 x此方法是在函数定义域内，赋予变量一些特殊值, 而使问题获得解决。利用所给函数关系式进行

4、化简，从例5设f x是R上的函数，且满足 f 01,并且对任意实数x, y有例4已知2 ff x y f x y2xy1,求fx的表达式。解二对任意x, y,有f x y f x y 2x y 1 , 令x=y,得2f 0 f x x2xx1又f0 1,fx x x 1 06、参数法此方法是通过设参数、消参数得出函数的对应关系，从而求出f x的表达式。 TOC o 1-5 h z 例 6 已知 f 2 cosx 5 sin2x求 f x 。x 2 costcost 2x1解设所求函数y f x的参数表达式为2 ； 2y 5 sin tsin t 5 y 2222/12 ,消去参数 t,得 y

5、x 4x 8,即 f x x 4x 8,x1,3 .7、函数性质法例7已知函数y f(x)是定义在R上的周期函数，周期T 5,函数y f (x)( 1 x 1)是奇函数.又知y f(x)在0,1上是一次函数，在1,4上是二次函数，且在x 2时函数 取得最小值 5.证明：f (1) f(4) 0；求y f(x),x 1,4的解析式；求y f(x)在4,9上的 解析式.f(4 5) f( 1),解： f(x)是以5为周期的周期函数，f (4) TOC o 1-5 h z 又 y f (x)( 1 x 1)是奇函数，f(1) f ( 1)f(4), . f(1) f (4) 0 .当x 1,4时，由

6、题意可设 f(x) a(x 2)2 5 (a 0),由 f(1) f (4) 0 得 a(1 2)2 5 a(4 2)2 5 0 , a 2,f(x) 2(x 2)2 5(1 x 4),/: y f (x)( 1 x 1)是奇函数，f(0) 0,/又知y f(x)在0,1上是一次函数，.可设f(x) kx(0 x 1),而 f(1) 2(1 2)2 53,/ k 3, 当 0 x 1 时，f(x) 3x,从而当1 x 0时，f (x)f( x)3x,故 1 x 1 时，f(x) 3x.当 4 x 6时，有 1x51,，f(x) f(x 5)3(x 5) 3x 15.4,_-_ 2_23xf(x

7、)15,4x62(x7)28、构造法C5,PABf (x)f (x5) 2(x5) 225 2(x7)25当 4 x 8时，S f x当 8 x 12 时，S f x(4,8,例8如下图，在边长为4的正方形ABCD上有一点P,沿着折线BCDA由B点（起点） 向A点（终点）移动，设 P点移动的路程为x, ABP的面积为y f x。（1）求 ABP的面积与P移动的路程间的函数关系式；（2）作出函数的图象，并根据图象求y的最大值.解：（1）这个函数的定义域为（0, 12）.1当 0 x 4 时，S f x - 4x 2x ；21-1 4 4 8；21_- 412 x 24 2x o22x x (0,

8、4.这个函数的解析式为24 2x x (8,12).（2）其图形为 y由图知，f (x) max=8.O 2 4 6 8 10 12 x9、递推法*若函数的定义域为 N ,且函数关系式是由递推关系给出的，可用递推法求出 .， 、一 .、, _ _ * _ _ *例9已知函数f x定义域为N ,且对任意的n N ,都满足f n 1 f n 2n 1, f 11求 f x解由f n 12n 1,依次令n1,2机n 1,f 2f 13f 3f 2 5-Ef n f n 1 2n 1以上n 1个式子相加，得 f nf 1 f 3 5 |U 2n 11 3 5 | 2n 1 n2 故f xx2 x N。

9、10、数列法求定义在正整数集 N上的函数f n，实际上就是数列f n n 1,2, 的通项。 . 一 .一 、 *数列法就是利用等比、等差数列的有关知识(通项公式，求和公式等)求定义在N上的函数f n 。2,求 f n例10已知f 11,且对任意正整数 n,都有f n 1 3f nf n 11解由 fn1 3f n 2,有 fn1 1 3 f n 1 , 3.f n 1f n 1为公比是3的等比数列，其首项为f 1 1112, f n 1 213n 1,即f n 2忖1 1。三、巩固训练： TOC o 1-5 h z 1、(2006 年全国卷 II)、若 f sinx 3 cos2x,贝U f

10、 cosx ()(A) 3 cos2x (B) 3 sin2x (C) 3 cos2x (D) 3 sin2x/【考点分析】本题考查求函数的解析式、函数值和余弦倍角公式，基础题。/22解析：法 1 f sin x 3 cos2x 2 2sin x ,故 f x 2 2x 1 x 12-1 f cosx 2 2cos x 3 cos2x ,故选择 C3 cos 2x 3 cos2xf cosx f sin x 3 cos2 - x TOC o 1-5 h z 22【名师点拔】本题一般采用先求出函数的解析式，再求函数值。但如能巧用诱导公式，变 成已知条件模式，则可减少计算量。2xy ,则f x的解

11、析式可取为()x HYPERLINK l bookmark46 o Current Document 1 x12、(2004年湖北理，3)已知f (1一x) =11 x1xA. 21x2D.c 2x c 2xB 2 C. 21 x21 x2【考点分析】本题考查求函数的解析式、换元思想，基础题。解析:答案: 评述:t 1令 L_x t,则 x= L_t,/1 x1 tC本题考查函数的定义及换元思想3、已知f(x解： f(x211)x1) x. f(x) x33xf (t) =f (x)t2 1.本题还有一个陷阱2x-2-x一，24、已知f(2 x1)lg(xf(x)-)3 x2).,求 f(x)

12、。1,故准确的讲应为3(x2x2 x解：令2 x则x 2t 1(t1),f(t)1gMf (x)lg-2-(xx 11) 5、已知f (x)旦TH次函数，且满足3f (x1) 2f (x 1) 2x17 ，求 f(x)。解：设 f(x) ax b(a 0),则 3f(x 1) 2f(x 1) 3ax 3a3b 2ax 2a 2bax b5a2x17, a 2, b 7,f (x) 2x 7 . TOC o 1-5 h z 1,、6、已知 f(x)潴足 2 f (x) f (-) 3x,求 f(x).x1113,解：2f(x) f(-) 3x，把中的x换成一，得2f (一)f (x)一xxxxI

13、31 2 得 3 f (x) 6x , f (x) 2x -.xx/7( 2006年重庆卷)已知定义域为 R的函数f(x)满足f(f(x)-x2+y_=f(x)-x2+x./(I )若 f(2)-3，求 f(1);又若 f(0)=a,求 f(a);(n )设有且仅有一个实数xo,使得f(xo)= xo,求函数f(x)的解析表达式/解：(I)因为对任意 x R,有 f(f(x)-x2 + x)=f(x)- x2 +x,所以 / f(f(2)- 22+2)=f(2)- 22+2.又由 f(2)=3,得 f(3-22+2)-3-2,2,即 f(1)=1.若 f(0)=a,则 f(a-02+0)=a-02+0,即 f(a尸a.(n)因为对任意 x e R,有 f(f (x)- x2 +x)=f(x)- x2 +x.又因为有且只有一个实数x0,使得f(x0)-x0.所以对任意x R,有f(x)-x2 +x= x0.在