高校学生上课教室安排问题

1、B题：高校学生上课教室安排的问题摘要本文针对高校学生上课问题，通过题中所给信息及数据，分析各个因素、表格之 问的关系，建立0-1规划模型、TOPSIS1型等，对高校学生时间、地点上变化的 问题进行求解。对于问题一，考虑到附件六所给数据存在缺失、异常、重复的情况，用筛选找出 错误数据并删除的方法预处理数据， 然后针对三个子问题建立相应的 0-1规划模 型。对第一小问，约束条件为周数、星期数、课数取值范围，目标函数为对每天 每节课各教学楼各楼层上课班级人数进行求和， 部分结果为教二楼4层第1周星 期1第1讲课61人，第2讲课32人。对第二小问，约束条件为周数、星期数的 取值范围和设立的两个课数变量

2、差值为一，目标函数为每天课间各教学楼上、 下讲课上课班级集合减两讲课均在该教学楼上课的班级集合乘以对应人数，部分结果为艺媒楼第1周星期1第2、3节课间进出144人，6、7节课间0人。对第三 小问，约束条件为周数、星期数的取值范围和设立的两个课数变量差值为一，目标函数为每天课间有两讲课在不同校区的班级集合加有一讲课但宿舍和上课地 点不在同一校区的班级集合乘以对应人数，部分结果为只上一讲课时第1周星期 1第2、3节课问南北通道过723人。本问详细结果见附录。对于问题二，分析得到影响课表合理程度的因素有学生课间进出教学楼的人数、 课问南北通道经过学生的人数、教三楼上课人数。建立TOPSIS模型，先对

3、数据用差值发进行预处理，设决策矩阵和构造规范化加权决策矩阵，然后确定方案， 计算指标与方案距离，最后得出并求解评价模型，结果的分析与检验用秩和比综 合评价模型检验。对于问题三，建立优化模型，当进出每个教学楼以及南北校区的通道的学生总人 数最少时为最优解。从两个方面考虑，一是上两讲课时学生宿舍与上课地点在同 一校区的人数越多课表越合理，据此建立模型。约束条件为周数、星期数的取值 范围和设立的两个课数变量差值为一，目标函数为学生两讲课上课地点与宿舍在 南、北校区时人数最大值。关键词：0-1规划模型、TOPSIS真型、秩和比综合评价模型一、问题提由高校学生室内教学主要在教学楼内进行。由于各种原因这些

4、教学楼被分布在 南北两个不同的区域，同时各教学楼的设计与规划也不近相同。 南区与北区之间 有条狭窄的通道相通。现在的问题是在目前的排课系统下，上午和下午课间（指上午第 1-2节课与 第3-4节课问，下午第5-6节课与第7-8节课问）的时候学生从校园内来回穿插， 这个本来就是各高校的一道靓丽的风景线，但随着校园和在校的学生规模的扩 大，学生从一个教室赶到另外一个教室的距离就拉长了。由于南北校区的通道过于狭小，加上课间穿过隧道的学生人数众多， 步行的时间不免有些紧张，即使使 用自行车或电动车也无法正常使用（人太多，另外也有安全隐患）。另外教三楼 的楼梯偏小，每到课间学生即被堵满楼道，一旦发生事故其

5、后果不堪设想。为此，希望解决下面的一些问题：1、依据附件16中的推荐课程表中的数据计算出每天每节课的时间内，各 教学楼各楼层正在上课的学生人数，以及课间每个教学楼进出的学生人数以及通 过学校南北通道的学生人数；2、试确立数学模型衡量所排课程的合理程度，并在这个数学模型下计算该 高校所排的课程表的合理程度；3、在课程表安排的上课时间不变条件下，设计一个方案修改上课地点使得 进出每个教学楼以及南北校区的通道的学生总人数尽可能的合理；4、在尽可能少的改变课表安排的上课时间（改变后的时间也在同一天）情 况下，改变哪些课程的上课时间可以最大限度地减少课间流动的学生人数；二、基本假设.假设学期中途无学生休

6、学、退学或请假的情况；.假设给出教室均能正常使用；.假设任意两栋同校区的教学楼间距相差不大；.假设学生课间只有在另一教学楼上课时才进出教学楼 ；.假设学生只有因为上课原因才通过学校南北通道。三、符号说明符号意义i周数j星期数k课节数m教学楼数n楼层数四、问题分析问题一分析问题要求建立计算每天每节课各教学楼各楼层正在上课的学生人数， 以及课 问每个教学楼进出的学生人数以及通过学校南北通道的学生人数。 对于第一个问 题，分析如下图：咐伴六.南件四羊宰周星期珊踞附件二图一上课学生人数分析图分析上图，根据附件二可先按照南北校区将每栋教学楼的楼层列出，得到每层楼对应固定的教室代码，然后以准确时间（第 i

7、周星期j第k节课）为自变量研究 每个教室在不同时间上课的班级，再根据附件四可得出每个班级的人数， 最后将 每层楼各个教室上课的人数相加，可得到每天每节课各教学楼各楼层上课学生人 数。这里使用0-1规划模型，设立学生上课时具体时间与地点的未知数，时间上 设周数、星期数、课数，地点上设教学楼数、层数、班数，当处于上课状态时， 这些变量的值为1,反之则为00模型的约束条件为变量的取值，目标函数为在 给定时间范围地点范围内对学生数求和。 建立数据库，用多表关联查询对对模型 进行求解。对第二个问题进行分析，如图：附件六图二进出教学楼学生人数分析由题中信息可知课间为第2、3节课，第6、7节课，第10、11

8、节课之间。分析 上图，根据附件六可得出每个班级的推荐课表，然后以准确时间（第i周星期j）为自变量，对每个班的第2、3节课，第6、7节课，第10、11节课上课所在教 室对应的教学楼进行比较。若相同，则说明课问该班级学生不在教学楼间移动； 若不同，则说明课问该班级学生在教学楼间移动。 分别建立课间进出教学楼的模 型，进入教学楼人数为两讲课上课教学楼不同的人数和上讲课未上课的人数；走出教学楼的人数为下讲课不上课的人数和两讲课上课教学楼不同的人数。以此建立相关班级集合，再乘以对应的人数，可得结果。对第三个问题进行分析，如下 图：附件六讨二分析上图，根据附件六可得出每个班级的推荐课表， 再通过时间（周数

9、、星期数） 查找分别在第2、3节课，第6、7节课，第10、11节课时每个班级所在校区， 然后进行对比分析。若校区相同，则该班学生课间在南北校区之间移动； 若不同, 则该班学生课间不在南北校区间移动。在南北校区移动的人数分为两讲课上课校 区不同和只上一讲课但宿舍和上课校区不同两种情况，据此建立这两种情况班级 集合的模型，再乘以对应人数，即为需求结果。问题二的分析要求建立衡量课程合理程度模型的， 并计算所排的课程表的合理程度。此问为建 立评价模型，首先初步判断可建立层次分析模型和接近理想点模型，层次模型因为确定权重时偏主观，故比较后采用接近理想点模型。首先对题中信息进行分析， 确定影响课程合理程度

10、的因素有学生课后会宿舍的走行距离、学生课间进出教学楼的人数、课问南北通道经过学生的人数、教三楼上课人数。根据附件一到六， 可计算出上述因素的具体数值，因为上述指标均为低优指标，故用差值法转化为 高优指标。对数据进行归一化处理，得到各元素的归一化矩阵值，构造规范化的 决策加权矩阵。然后取每个因素的最大值构成理想解矩阵， 取每个因素的最小值 作为负理想解矩阵。最后定义所排课表与理想解的接近度，再分别计算所给课表 与理想解、负理想解的距离，根据所得出的两个距离，对课表方案的合理程度进 行评价，最后通过秩和比综合评价模型对此问结果进行分析与验证，若结果相差不大，则说明结果可信。1可题二的分析要求设计一

11、个方案修改上课地点使进出每个教学楼以及南北校区的通道的学生 总人数尽可能合理，此问需建立优化模型进行求解。对所给信息进行分析，因上 课时间不变，故在某一时间南北校区上课总人数不变，学生流动发生在上下课时 问，这里分两种情况进行讨论。一是对于只上一讲课的班级，学生上课地点和宿 舍在同一校区的班级越多，最终方案的合理程度越高；二是对于上两讲课的班级， 学生两讲课的上课地点、两讲课上课地点与宿舍在同一校区的班级越多，最总方 案的合理程度越高。当这两个条件达到最优解时，即为此问的最优解。据此建立 优化模型，约束条件为周数、星期数的取值范围和设立的两个课数变量差值为一， 目标函数为学生两讲课上课地点与宿

12、舍在南、北校区时人数最大值。五、模型的建立与求解问题一模型的建立与求解数据预处理对附件中所给数据进行分析，发现其中部分数据存在异常或缺失的情况，通过excel对数据具体处理如下：1）教室代码异常对附件六进行分析，发现某些被安排了课程的教室，在附件五的教室代码中 没有找到。对附件六中的教室代码进行筛选，对比附件五发现其中代码为： JS0229 JS0230 JS0233 JS0235 JS0373 JS0376 JS0392 JS0422 JS0423 JS0445的教室在附件五中无对应编号，根据题目要求剔除共2508组数据。2）教师编号异常对附件六进行分析，发现出现在同一时刻同一间教室有两个教

13、师上课的情况。将教师代码异常时对应的课程信息编号在附件五中进行筛选，可得正确的教师编号，删除附件六错误数据共 9203组数据。3）教室代码缺失对附件六进行分析，发现多组数据中教师代码存在缺失的情况。对教室代码进行排序，发现其中共有1210组数据缺失，所占总数据的比例约为 2.2%、 于5%,直接剔除个案。处理后附件六数据为41969组。每天每节课各教学楼各楼层上课学生人数模型的建立与求解要求建立计算上课人数的模型，首先根据分析设t=中 J,第i周上课。星期j不上课。第k节不上课tj星期j上课k J,第k节上课X 八m,n。第m教学楼第n层不上课g1,第m教学楼第n层上课，Xm,n附件中数据可得

14、约束条件:目标函数为:0,211 tj W 0,7】 tk w 0,121。第m教学楼第n层第g教室不上课小 . 。田1,第m教学楼第n层第g教室上课 titjtkXm,nX，R其中1.g表示教室数；2.R表示第i周星期j第k节课在m教学楼n层第g间教室上课班级的人数。 综上，每天每节课各教学楼各楼层上课学生人数模型如下：Z titjtkXm,nXm,nx ti0, 21 1“，tj 三 0,7 1tk 三 012 1对所建模型求解，所得部分结果如下表：表1-1南校区部分结果表教学楼层数周数星期数课数人数教一楼4111、2613、4325、6r 9721、2353、4805、619731, 2

15、645, 64141 2243, 4595, 64851 2593, 41325, 61417, 85031-2111、23921、2683、41725、61987、8233教三楼33、41095、61227、81549、105241、21873、4525、61089、107853、4547、8244表1-2北校区部分结果表教学楼层数周数星期数课数人数艺媒楼3111、2443、4275、6877、8639、103121、2383、4575、6807、89331、2953、41379、103143、4767、87151、2153、41135、6747、8485.1.3课间每个教学楼进由学生人数模

16、型的建立与求解要求建立课间进出教学楼学生人数的模型。 此问分两个部分进行考虑，一是课间 进入每栋教学楼的人数，包括两讲课不在同一教学楼上课的人数和上一讲课未上 课的人数；二是课间走出每栋教学楼的人数。包括两讲课不在同一教学楼上课的 人数和下讲课不上课的人数。对某一栋教学楼进行分析，发现在假设成立的情况 下，下一讲课在该教学楼的人数组成如下：上讲课未上课上讲课上课f上讲课在该教学楼上课的人数下讲课教学楼内人数|仅下讲课在该教学楼上课的人数1可知只有上讲课在该教学楼上课的人不需要进入,且下讲课不在该教学楼上课的人需走出。设ti。第i周不上课1,第i周上课tj0星期j不上课0，；j对于课间进入每栋教

17、1,星期j上课学楼的人数约束条件为:k2 = k1 + 1N ti =212 tj =7目标函数为：“. ttj Am,k2 -Am2Am,k1 Rm其中l.ki表示计算人数时上一讲课的节数，ki =2,5,9;2*2表示计算人数时下一讲课的节数;. Am,%为第i周星期j第m教学楼1节课上课班级的集合;.Am,k2为第i周星期j第m教学楼k2节课上课班级的集合;.Rm为课间进入m教学楼班级集合对应的人数。对于课间走出每栋教学楼的人数约束条件为:k2 = k1 +1 ，Z ti =21工 tj =7建立模型如下：、titj Am,k1 -Am,k1Am,k2 Rm其中Rm为课间走出m教学楼班级

18、集合对应的人数。最后得出课间每个教学楼进出学生人数的模型为：/k2 = k1 +1,Z ti =21|,二 tj = 7titj Am,t1RmAm,t2Rm-Am,t2Am,% Rm Rm 1求解模型得到部分结果如下：表2艺媒楼进出人数部分结果周数星期数课节数进出班级未移动班级进出人数112163141163143165142144316313416313316313216114216114161651321651311631441631421631410722163141163142573161142161141616514216514116314316314216313216314413

19、716314131 04052163141165142138163134163133163132316314216114216114161631411651411651427416314216314316314475.1.4课间通过学校南北通道学生人数模型的建立与求解要求建立通过学校南北通道学生人数的模型。 分析可知，通过南北校区的学生人 数分两种情况，第一种情况是需上两讲课但不在一个校区上课， 第二种情况是只 上一讲课但宿舍与上课教学楼不在一个校区。 对两个校区的学生上课情况进行分 析，如下：南校区北校区图4由上图可知，第一种情况通过南, 从北校区到南校区上课的总人数；南北校区学生上课情况北

20、通道的学生人数为从南校区到北校区上课和 第二种情况通过南，北通道的学生人数为从宿舍到南校区上课和从宿舍到北校区上课的总人数。设tj = .。第i周不上课1,第i周上课tj。星期j不上课J星期j上课。约束条件为:k2 = k1 +1ti =21工 tj =7建立模型如下:Z titj(Bs,k1Z titj(Bs2qB,n,kis,nn,s其中1.Bs,k1、Bn-分别为第i周星期j第ki节课在南、北校区上课的班级集合;k2、30水2分别为第i周星期j第ki节课在南、北校区上课的班级集合;Rs,n为从南校区到北校区班级集合对应的人数;Rn,s为从北校区到南校区班级集合对应的人数。对于第二种情况，

21、分析第二讲课某校区上课人数组成如下:上讲课上课下讲课该校区上课人数南校区上课人数 北校区上课人数上讲课未上课宿舍在南校区宿舍在北校区则此情况所求人数为下讲课在某校区上课的人数减去上讲课上课人数再减去宿 舍在另一个校区的人数。由题得约束条件为：k =k1 +1仁 ti =21Z tj =7建立模型如下:工 titjBn,k2 -Bn,k2 n(Bsk+Bn,ki RZ titjBs,k2 Bs,k2 n(Bn,ki+Bs,ki 虹其中1.R为从南校区宿舍到北校区上课班级集合对应的人数;2.Rn为从南校区宿舍到北校区上课班级集合对应的人数。最后得出课间通过南北通道人数的模型为：k2 =k1 +1Z

22、 ti =21X tj =7工 titjBs,k1riBn, k2R,n+(Bs,k2 riBn,k1R, s + Lk2-B、, k2-1+ B*贬 + Bs,k2 - Bs, k2 rl ( 3 ,k1+ R ,k1求解模型部分结果如下：表3只上一讲课时的部分结果情况周数星期数课节数班级班级人数总人数从北校区 下课回到 南校区宿 舍11203114128516031142220311432803114426031145250331413503314235034141310341422805114328051144310521432905214433052145340521463705214

23、72705413139从南校区 宿舍到北 校区上课113031141282070311422203114328033141350331423503414131034142285.2问题二模型的建立与求解此问需建立评判课表安排合理程度的模型，通过题中所提条件如南区与北区之间 通道狭窄、教三楼的楼梯偏小等，可判断影响课表合理程度的因素有：课间进出教学楼学生人数、课间通过学校南北通道学生人数、教三楼上课人数。这里考虑 用层次分析模型和TOPSIS模型来求解问题，因层次分析模型在确定权重时较为 主观，为得出更加准确的评价模型决定选用TOPSIS1型。数据预处理对附件中数据进行处理，得到三种因素随时间变

24、化的值，部分数据如下表：在以上数据指标中可以看出，三个指标的数值均为越低越好，因此这里采用倒数 法，即将指标进行100/x的变化，将所有数值转化为高优指标。转化后对应数值 如下表：TOPSISlf 型的建立对数据预处理后的数据还需进行归一化处理。设此问题决策矩阵为C,由c可构成规范化的决策矩阵Z,其元素为Za,b,有：7 1 _ab ,ba,b -147fb,b2 bd其中1.b为可行解的个数；.b为目标个数；. fa,b为决策目标，由决策矩阵C给出。然后构造规范化的加权决策矩阵 Z,其元素Za,b计算如下：Zb,b =WbZb.b其中Wb为第b个目标的权。归一化处理后数据如下：据此可确定最优

25、方案与最劣方案：；Z +二亿：Z2Z)、Z-葩工乙-)计算一学期的四个指标分别与最优方案和最劣方案的距离，即：j D + =，亿.由乙咛十亿.由Zz+f +亿a,b Z打2222D-=v,（za,b-zr）+（za,b-Z2-）+（za,b-zn最后得出的评价合理性的模型为：zab =a , bfa,b1471 L,b 2 za,b =Wbza,b2+ =亿+223+)z=亿？2一？3一)D +=kza,b -乙+2 +泛由 一z?2 十忆由 一z32D-=V(za,b-zr2 十忆由z2v + Qa,b - Nf模型的求解得出这些指标分别与最优和最劣点的距离，与最优点距离远，并且与最劣点距离

26、近，说明排课效果不好，同理，与最优点距离近，并且与最劣点距离远，说明排 课效果好。最后得出的结果是指标一与最优点距离是 0.7922,与最劣点的距离是 0.3156,指标二与最优点的距离是0.8054,与最劣点的距离是0.3765,指标三与 最优点的距离是0.7688,与最劣点的距离是0.3545,从中我们可以看出，这些指 标与最优点距离有点远，与最劣点的距离有点近。可判断出这个排课的合理程度 较低。结果的分析与验证为了进一步说明排课的合理性，这里选用秩和比综合评价模型来验证前面所得模 型及结果，判断其是否合理。首先将 365个评价对象的4个评价指标排列成365 行4列的原始数据表，编出各个指

27、标的各评价对象的秩， 其中效益型指标从小到 大编秩，成本型指标从大到小编秩，同一指标数据相同者编平均秩，得到秩矩阵记为R =（R,b ）47x3。根据公式：RSR147 33、Ra,bb=1可得出秩和比，在得出各评价指标的权重不同时，计算加权秩和比:WRSR 二11473-wb Ra,bbd3其中wb为第b个评价指标的权重，Z Wb =1同时需标志RSR（或者WRSR）的频率分布表。列出各组频数f ,计算各组累积频数cf ,计算累积频数P :同时，需要将P转换成概率单位probit o然后计算对应的线性回归方程，以前面所得卞S率probit为自变量，以RSR值为因变量计算直线回归方程，公式为:

28、RSR = a b probit最后对得出的结果进行分档排序，可得一学期每天的加权秩和比的排名。 最后得 出结果与用TOPSIS1型求解的结果相差不大，故认为结果可信。5.3问题三模型的建立与求解问题要求建立使进出每个教学楼以及南北校区的通道的学生总人数尽可能合理的模型，可认为是一个优化模型。当模型解为最优解时，进出教学楼以及南、北 通道的学生人数应为最小值。因上课时间不变，故在同一时段学校上课总人数为 固定值，要达到最优解，应使上两讲课时在同一教学楼的班级与上一讲课时宿舍第i圄不卜课与上课地点在同一校区的班级数达到最大值。 根据分析，设ti=J0笠11,第i周上课。星期j不上课得到约束条件为

29、: TOC o 1-5 h z t i =, 、一j1,星期j上课k2 = k11%t =21“tj =7DsDsk = DskDsDsm = Ds,k2DnDn,k1 = Dn,k1DnDn,k2 = Dn,k2DsDs,k1Ds,k2 = DsDnDn,k1Dn,k2=Dn其中1.Ds、Dn分别为宿舍在南、北校区的班级集合；. Ds,k? Ds,k2分别为第月、k2节课时在南校区上课的班级集合;.Dn,k1、Dn,k2分别为第k1、k2节课时在北校区上课的班级集合;目标函数为: min Z titj Am,tiRm+A,t2RmAm,ti n Am,t2(Rm+Rm JminZtitjBs

30、.BH, k2 R, n+(Bs ,k2Bn, kiR, sBn ,k2 &, k2,：s,kiBn,ki.r nBs,k?Bs,k2,:n,kis, kis 最终得到优化模型为：k2=ki+iZ ti =2i工 tj =7DsriDs,ki=Ds,kiDs Ds,k2 = Ds,k2Dn n Dn,ki = Dn,ki=黑DsgnDsLDsDnADn/Dninmini titj AmtiRm+Amt2RmAmtinAm/Rm+Rm)1minz的姐,ki仆以尺R,n十伯永2 n &,ki R,s十匕员一九2 n阻国十Bs , k2-Bsk20(艮ki +瞅求解模型：5.4问题四模型与求解六、模

31、型的评价与推广6.i模型的评价(i)模型的优点：i 、第一问中，模型建立清晰，简单易懂，对题的分析步骤紧密，有详细的流程图对模型的分析进行讲解，让读者能够很快的了解模型的思路。、第二问中，建立逼近理想点的模型，和大多数模型相比，不用自己给出评价指标，比较客观，降低了主观因素对评价的影响。、第三问中，运用比较简单的逻辑分析建立优化模型， 更易得出结论且容易理解。(2)模型的缺点：对题目的了解不够深刻，模型的建立有点过于简单，考虑因素不够全面，没有选 出合适的算法对问题进行详细客观的求解，没有给出很好的优化方案。6.2模型的推广此问中需处理的数据较多，所建模型可应用于大数据的处理问题。 如根据网课网站所统计记录的用户上课时间、时长、所选课程的类型等数据，制定对某些用户的课程优惠方案等。七、参考文献司守奎，孙玺菁，数学建模算法与应用，北京：国防工业出版社， 2014. TOC o 1-5 h z 韩中庚，数学建模方法及其应用，北京：高等教育出版社，2015.姜启源，数学模型，北京：高等教育出版社，2008.张志涌，matlab教程，北京：北京航空航天大学出版社，2015.八、附录8.1问题一的Matlab程序clcclear alldata6,text6=xlsread(B6_2015?3 i 2? i X ?D? ?);data4,text4=xlsread(B4_ a ?