高考全国课标百所名校高三数学压轴题精选含答案及解析

1、2009年高考全国百所名校数学压轴题精选AAA.【青岛市2009年高三教学统一质量检测(理)22.】(本小题 满分14分)已知等比数列QJ的前n项和为S = 2 ,3n+k(kw R,nw N)(I )求数列an的通项公式；(H )设数列bn满足an =4(5 + k)anbl , Tn为数列bn的前n项和，试比较3-16Tn 与4(n+1)bn书的大小，并证明你的结论.【解析】：(I)由 S =2 3n+k(kw R,nw N*)得：n 22 时,n 1an =Sn Sn=4M3 2分 ：小是等比数列，,1 =S =6 + k=4/. k = 2,得an =4乂3(” N*)4分n -1 (

2、n)由 an =4(5+k)anbn和 an =4乂3 得bn =- 6分4 31 2n -2 n -1J b2 b3 g市I 中出3=1亮/龄六3川田川4 4 3 4 34 34 3(2) -：2Tn1 n -1n4吏4 3n10分1L_ .，一。二一 2n_8 8 3 8 328 3nq 8 3T & 3n4 化 16 3n，4(n 1)bn1 -(3 -16Tn)n(n 1)3n2n 1n -1n(n 1)-3(2n 1)3n TOC o 1-5 h z ：n(n+1)3(2n + 1)=n2 5n3 11分n 5 (r N*)时有5 v 375 - 37二当 n a或 n 5(nwN)

3、时有 3-1Tn 4t ；当 1 4( bnQ 14分22-x y C1 ： 一2彳=1(a b 0).【皖东十校09届第一次联考试卷数学(理)22】已知椭圆 a b的离3心率为 3 ,直线I : y =x+2与以原点为圆心、以椭圆 C1的短半轴长为半径的圆相切.(I)求椭圆C1的方程；(II)设椭圆C1的左焦点为F1,右焦点F2,直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直l1于点P ,线段PF2垂直平分线交l2于点M ,求点M的轨迹C2的方程；Coe 元最(III)设。2与x轴交于点Q,不同的两点R，S在02上，且满足QRRS-0，求 的 取值范围.=1， 2 a2 =3b2 332

4、c2a2 - b2【解析】：(De 3 , 6 a2 c2直线 I ：x-y-2 = 0与圆X2 +y2 =b2相切:b, b = 2 ,b2 =22. a2 = 3x y=1椭圆C1的方程是(n ) MP=MF2 ,，动点M到定直线11 :x =-1的距离等于它到定点 F1 (1, 0)的距离， TOC o 1-5 h z ，动点M的轨迹是C为11准线，F2为焦点的抛物线 6分.点M的轨迹C2的方程为y2 =4x 9分22(0,0)，设叶y1),S(学y2)222- y1二 y2 - y1QR =(U,yJRS =(-,y2 -y1)44 . QR RS =0222-y1) =0y1(y2

5、-y1)/ y1(y216.y1*2、Vi 0 ,化简得y2 = -(必) TOC o 1-5 h z y1 11分22 256y2 = y12 带 32 -2 256 32 =64y122562V； = FV； =16,% =一4当且仅当y1时等号成立 13分iQS|=v?)2 +y； T(y； +8)2-64,又丁 y 64 . 4414分，当v2 =64)2 =刈寸，|QS|min=84G故|QS|的取值范围是8方产)2.【江苏省姜堰中学高三数学阶段调研试卷】(本小题满分16分)函数xf(x)=ae , g(x) =ln xln a,其中a为常数，且函数y = f(x)和y = g(x)

6、的图像在其与坐标轴的交点处的切线互相平行(1)、求函数y =g(x)的解析式m的取值范围。 TOC o 1-5 h z x m x(2)、若关于x的不等式g(x)恒成立，求实数/x /1f (x)=ae ,g (x)=-【解析】：(1)xy =f (x)的图像与坐标轴的交点为(,a), y = g(x)的图像与坐标轴的交点为9,0)_1由题意得f/(0) =g/(a)，即 a,g(x) = In x(2)由题意g(x)当xW(1尸)时,x一m、. x m ： x - . x In xln x-6令(x) = x - x ln x.中/(“a?x-2令 h(x)=24-lnx-2，山刈 W(1

7、一5)当 xw (1,y)时,h/(x) 0,- h(x)单调递增。,h(x) . h(1)-010由m x Jx1nx=中（刈在xB，1）上恒成立，得m - (1) = 11516综上，可知m =13.【湖南省长沙一中2008-2009学年高三第八次月考数学(文科)21.】(本小题满分13分)如图，在矩形 ABCD中，已知 A (2, 0)、 点P在BC边上移动，线段 OP的垂直平分线交C ( 2, 2),y轴于点E,点M 满足 EM =EO + EP.(I )求点M的轨迹方程;1(n)已知点F(0, 2 ),过点F的直线l交点M的轨迹于Q、R两点，且QF =uFR,求实数人的取值范围.【解

8、析】：(I)依题意，设P(t,2) ( 2Wt02,M (x, y).当t=0时，点M与点E重合，则M= (0,1)；当t w耐，线段OP的垂直平分线方程为:Et2 4 r t2 +4令 x = 0/寸、=,即 E (0,)44t2 4.由 EM = EO EP4(x,y) (0,4t2 4 t2 4)(t,2 一 丁)x =tI t2 +4.消去 t,得 x2 = Y(y_1) y=2 一丁显然，点(0, 1)适合上式.故点M的轨迹方程为x2=-4(y-1)( -2x2)111l : y = kx + (Wk E ),代入x2 = -4(y -1),(II)设244得 x2+4k -2=0.

9、设 Q (x1,y1)、R (x2,y2),则.2=16k8 0 x1 X2 = -4 kx1x2 = -2(1 - 九)x2 = -4kQF =?FR,得 Xi = _卜2一2,.消去x2 ,(1 - 1 V 2二8k1(1)11丁 0Ek2, 0()-,gP2Z2 -5Z + 2 0).-k 21622解得24.【湖北省2009届高三八校联考第二次（理）21.】（本小题满分14分）已知数列J中,ai - 31bn 1na2 =5 ,其前n项和Sn满足Sn SnN =2Sn2 ( n 3 ).令工%平求数列1%的通项公式;(n)1什 f x -2x1 -Tn =bj 1 b2f 2 - II

10、I - bnf n :二若 f (x)2,求证：-、，6(nn1)；（出）123n人 Tn =一 bia b2a b3aHan人.，令 2、（ a a。），求同时满足下列两个条件的所有a的值:11Tn m 10,- f率对于任意正整数n,都有n 6 ；对于任意的3)gp an =an+2(n 3)，.an= an -anj. .i I an j - an _2IH a3-a2a2= 2n,+2n/ +HI + 22 +5=2n+2n工十|十22 十2十1 +2 =2n +1(n3)2,检验知n =1、2时，结论也成立，故 an =2n +1 31n_1 (2n*+1 ) (2n +1 ) 1

11、C 1_1(U)由于bnfn =2n12n 11 2=22n 1 2n 1 1 =32n- 2n 11故T=b1fl bf2 川 bfn-中 一-一1一1nbib2*2 _ 1 2 1221221 232n12n11（出）（i ）当a=2时，由（n）知:10 :二 m :二一6,1Tn6 ,即条件满足；又11Tnm：-2 1 212n 110g2 -1取n。等于不超过I16m J的最大整数，则当nn。时，TnAm9(ii)当 a a2时，n 1 ,n a na n aa 2bn a bn2 =2.22bn 2nTn H % U H 上1n 工(2ba J 2 工R 2 2 2(1 +2 2n*

12、+1J由（i ）知存在1 J,1一 n 12 12 21 3a故存在n0eN*,当nn0时,Tn2n 1 13a不满足条件12iii0 二 a ：二2，-2nn bn aabn -22na=-bn22n.1Tn = - ba n时,a 1m 0,一取12 I 6二若存在M N ,a 111 aTn m,则2 2l1十2 -2n+十1)产12Tn m .不满足条件综上所述：只有a =2时满足条件，故a =2.145.【河南省普通高中 已知点A是抛物线2009年高中毕业班教学质量调研考试（文）22.】（本小题满分12分）y2=2px （p0）上一点，F为抛物线的焦点，准线l与x轴交于点K,I AF

13、 | ,三角形 AFK的面积等于8.（1）求p的值；（2）过该抛物线的焦点作两条互相垂直的直线11, 12,与抛物线相交得两条弦，两条弦的中点分别为 G, H.求| GH |的最小值.【解析】：22.解：（I）设A（x,y。）,F 9,0 j准线1的方程为: 因为抛物线的焦点2x,K .2AM _lTMAM =x+E = AF ,2又 AK| =V2|AF 得 AK| =72|AM ,即AAKM为等腰直角三角形, KM = AM =xX0,XoE21,而点A在抛物线上,p p3)= 2px/.=上，于心.Ep .212 J S AFK又1p2 c=一 p p = 8,22p = 4.2 _ a

14、故所求抛物线的方程为y = 8x.6分2(2)由V =8x,得2,0),显然直线li12的斜率都存在且都不为o.1 /c、y = (x - 2) k设l1的方程为y = k（x2）,则12的方程为y2=8x，G(2 当4)2GH24242年一4k)(4 4k)16(k4k2 ) k4k2k2-64.（当且仅当二 12k时取等号）lyk(x2),得k k ,同理可得 H(2*4k ,4k).12分所以1GH |的最小值是8.【解析】a2 =03a3 二 一48a4 二 一56.【河南省普通高中 2009年高中毕业班教学质量调研考试(理)22.】(本小题满分12分)1n 1a1 = 7 ，一 a

15、；22 .解：(1)2 ,由数列Lan的递推公式得 2an -n；aai = , an i = n N .已知数列满足 2an +4n(1)求 a2,4, a4 ；an 二 n(2)已知存在实数 口，使I an +n )为公差为-1的等差数列，求 a的值；.bn =2(ni=N )S273 + 1(3)记3 2 an42,数列lb2的前n项和为Sn ,求证：n 12. , an 11(n 1) an 二 n2) , an+ + n+1an+n(n 1)(2an -n) nr 工(n 1)an 4n an 二河(n 1)(2an -n) . n 1 an nan 4n(C2)an (4C -1)

16、n an - n 二._13an +3nan +n = 3 TOC o 1-5 h z an:on二数列1an +n J为公差是3的等差数列二 一1 , =-1由题意，令3 ，得a = -2. 7分an - ：zn(3)由(2)知 an +na -2=-1 (n-1)(-1) =n a +i2-n所以-n 2n n 1“3n2 -(n 1)2 2(n 2)-n - 3此时n+3=(J3)n42n(n+2) TOC o 1-5 h z 11.1T=2 (优产(n+2) (V3)nn 10_ 11111.-2( ；3)3 3.3( ,3)4 4 ( ；3)2 2(/3)n 2 (n 2) ( .

17、3)n n (n 2) TOC o 1-5 h z 11+ s=+(5)n 1 (n - 1) ( .3)n 21.112.3 1() = 2向 61212分7.【河北省石家庄市 2009年高中毕业班复习教学质量检测(一)22.】(本题满分12分)一、1 -a In x - f (x), a 三 R. TOC o 1-5 h z 【理科】已知函数x(I)求f (x)的极值;(II)若1nx -kx0,x2 0,且x1 +x2 c e,求证：x1 + x2 A x1x2.*f/(x)=.a,【解析】：(I)f x2,令(x)=0 得 x = ea当 xw(0,ea),f/(x)0,f(x)为增函

18、数；a/当 Xue，f (x)。，f(x)为减函数，可知f (x)有极大值为f(e)=e .4In x ,：k(n)欲使1nx-4 +x2 x1 0由上可知f(x)ln xx在(0,e)上单调递增,.ln(x +x2) 坦上即 x/n(x1 +x?)x1x2x1x1 x2ln x1D, TOC o 1-5 h z x2ln(xiX2)in x2同理 .1时两式相加得 ln(Xi . X2). in , lnx2 =lnx1X2Xi X2xix2 38.【河北省石家庄市 2009年高中毕业班复习教学质量检测（一）22.】（本题满分12分）229-y- =1（a .2）的离心率为【文科】已知椭圆

19、a a2，双曲线C与已知椭圆有相同的f焦点，其两条渐近线与以点 （0，,2）为圆心, 1为半径的圆相切。（I）求双曲线C的方程；（II）设直线y = mx +1与双曲线C的左支交于两点A、B ,另一直线l经过点M （2，0） 及AB的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围。【解析】：（本小题满分12分）（I）设双曲线C的焦点为：Fl（-c，0），F2（C,0）,O0c a2 -2 _J TOC o 1-5 h z 由已知a a 2 , 得a=2，c=应，2分设双曲线C的渐近线方程为y = kx ,k 0 士招/ 2匕1依题意，&2+1，解得k=1.双曲线C的两条渐近线方程为 y = x.故双

20、曲线C的实半轴长与虚半轴长相等，设为a1,则2aI2 = c2 = 2 ,得a2=1 ,22双曲线C的方程为x _y =1 6分.y = mx + 12 22244（1-m）x -2mx-2=0（II）由、x -y =1直线与双曲线左支交于两点，。2_-m。0 0 2m0解得1m0因此1 -mm 1又AB中点为1 -m2，1 -m2 y直线l的方程为1 TOC o 1-5 h z 2(x 2)2m + m + 2,222b =o=-2m m 21、217-2(m -)令 x=0 ,得48,1 9172(m -)2(-2 、, 2,1)m (1,、.2)4，812分.故 b 的取值范围是(-,-

21、2-V2)U(2,+oo).9.【东北育才学校 2009届高三第三次模拟考试（文）22.】（本小题满分14分）设等比数列 an的前n项和Sn,首项a11 q = f()-(- -1,0)_1,公比1十九（i）证明：Sn =（1十九）-九4*bn = f (bn,)(n匚N , n _2),求数列 bn的通项公式;1bb1 =工(n )若数列 bn满足21cn = an（- -1）bn，数列 cn的前项和为Tn ,求证：当门之2时，2MTn4Snai(1 -q )i -q(I )分1 -1,_n _=(1)1一(1，)=(1 1(一)an2(右)n -1sn=(/-anf(,)bn J(n)分b

22、nbn j是首项为 0，公差为1的等差数列，12 (n -1) = n 1bn =，即(m)儿=1时,an ng)c =an1 1仁一 AM2Tn =1 2(；) 3(；)2 III ng)2111 21 31 n2Tn =2 2(2)3(2) W n(2)相减得“沙少出n 1,1、n1 n 1、n ng) =21 (-) -ng1 n _21 n _1Tn =4 -(-)-n(-)：二41222,1、n八cn = n(R 0 TT T - 2又因为2-1n单调递增，, Tn - T2 -2,故当n至 2 时，2ETn 0,b0a,b是常数）是否是m，nm 0，n 0，m、n是常数）上的有界函

23、数? TOC o 1-5 h z 一 c 248c 248 cf (x) = 3x - -2f o 3x - -2 =0【解析】：24. (I)解法1: x，由f (x)=0得 x ,x4 =16,. . xw(0,. . x = 2, 2 分.当 0 x2时，f(x)0，函数 f(X)在(2, +)上是增函数；48. x =2是函数的在区间（0, 十8）上的最小值点，2，对 VxW（0，y）,都有 f（x）岂32, 4 分cf(x)min = f(2) = 8 = 32即在区间（0, 十比）上存在常数A=32,使得对Vx-QZ）都有f（x）之A成立,f (x) = x3，函数48x在（0,

24、+ 00 ）上有下界.5 分解法2:f (x) = x3”;xx3上马咀44、3 16 16 16,32316x 二当且仅当 x即x = 2时2”成立，对 Vx J0,也），都有 f（x）“2,即在区间（0, + ）上存在常数A=32,使得对？x三（0，+.）都有f（x）至A成立,3 48f (x) = x，函数x在(0, + 00 )上有下界.（II）类比函数有下界的定义，函数有上界可以这样定义:定义在D上的函数f （x）,如果满足：对勺D ,三常数B,都有f（x）WB成立，则称函 数f（X）在D上有上界，其中B称为函数的上界.设 x 32. f (x) -32即存在常数B=-32,对V x

25、W(gQ),者b有f (x) 0, b 0b3am,n u (0, Fx 二 b3a10分3a 时,f(x)0 : x :bb0, .函数f(x)在(0,3a )上是减函数;b3a 时，f(x)A0,函数 f (x)在(、3a , + g ) 上是增函数;xb3a是函数的在区间(0, + g)上的最小值点,二4f (4 Jb ) =a(4b )33a3ab3：:3 43ab11分m 之 41当3a时，函数 f (x)在m，n上是增函数;f(m) f (x) f(n) m、n是常数，f(m)、 f(n)都是常数令 f (m)=A, f (n)= B.对 Vxum，n,三常数 a,b,都有 A -

26、 f (x) - Bf (x) =ax3 -12 分即函数x在m, n上既有上界又有下界b3a时函数f(x)在m，n上是减函数.对 Vxwm,n都有 f (n) f (x) f (m)3 b f(x)=ax13分函数x在m，n上有界.m； 4 b :二 n当 V 3a 时，函数f(x)在m，n上有最小值f(x)minf(43)a(423 2asab3a令人3标，令B=f(m)、f (n)中的最大者则对VxWm，n,三常数A,B,都有AEf(x)EB3 bf (x) =ax函数x在m，n上有界.f(x) =ax3 b14分综上可知函数x是m，n上的有界函数.【东北育才、天津耀华、大连育明、哈三中2 x(本小题满分12分)如图，已知双曲线2009年四校第一次高考模拟联考(理)22.】2y3 =1的两个焦点为F1, F2,两个顶点为A1 ,A2,点P(0,b)是y轴正半轴上一点，且 PF1pF2 0,PA FA2 A 0.(I)求实数b的取值范围；求以这四个交点为顶点的四边形的面积(II)直线PF1, PF2分别与双曲线各交于两点, S的取值范围。【解