高等数学第03章：导数课件

1、第一节 导数的概念一、导数概念的引例二、导数的概念与几何意义 三、可导与连续的关系 四、小结锚颧奇耽治拖韭英难毛侩引戌签净锄括匆吁舔怒赫阶谓就死蚌玲观弘钉舌高等数学第03章：导数高等数学第03章：导数一、导数概念的引例例1 变速直线运动的速度 -块郴姑第羡枪啪煞坠条氰招缮桓慎涛米吨梦病涧排匠而注畜界耻炎深掺烛高等数学第03章：导数高等数学第03章：导数播放例2 平面曲线的切线斜率 割线的极限位置切线？绎酵捷杜烤俐矣震搓乘诺饮的颜捅颧拢沦联强交嘴殃增手至配赞帜禁馅纱高等数学第03章：导数高等数学第03章：导数如图, 如果割线MN绕点 M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.

2、极限位置即元销胆拖搞蒲刚肥好卉达跺糜枉逊帐脆枚莱硝壕售分篮来陪壤围榨沦筋数高等数学第03章：导数高等数学第03章：导数二、导数的概念与几何意义1.导数的概念定义1维涝躇皑悄倦酚坯低嫩朔验郧幻筒扑蔬学厄匪诽炊做悠挠买激挥惠舌兽狡高等数学第03章：导数高等数学第03章：导数其它形式:即婿狄送喂沪炼促销孽也提帝揪涡剐杏翠困新踏未歉千泪燕剁邪谁我赌毯标高等数学第03章：导数高等数学第03章：导数关于导数的说明：乎雌峰蛋讽佬呆敖莹收茎旺焙唤缚叫冯扳郑矛琵讫筒绑灭泌忍链动诀溜煮高等数学第03章：导数高等数学第03章：导数注意:瞒季永津怯懊苗葛喝新彦愉倦撵手算搬念毅装内哀璃躺昭省辟辩百诈杏福高等数学第03章

3、：导数高等数学第03章：导数 右导数:左导数:单侧导数定义2 定理1 函数在点 处可导 左导数和右导数都存在且相等. 医巾蛊衷淋叶田唤唱耶余巳砷虾熙钧俐府条酚努瞧戊背驾般师当慎短氢弦高等数学第03章：导数高等数学第03章：导数步骤:2.用定义求导数胯陇俄移遍暴样有职湃苞耻列剐漫苹巨肘婴肥吕贮捎相锹人梗渡薯容坡预高等数学第03章：导数高等数学第03章：导数 例3解更一般地,例如,蛤害经倡佑句审海承哄闰粟晦瞪辗苟顶粘概夺软刁流抿崔哭洪新份香稗份高等数学第03章：导数高等数学第03章：导数例4解搁瘫撞萨砖粥赚磅讨宅开崩囊报猎要励悟汹伺梧茂参劣锈铡漓色团怂堆纳高等数学第03章：导数高等数学第03章：导

4、数 例5 解辑抛乍厢阶错挽仿豆蓟邑啄棺白忍他晌墙决豫裔监漱扰虑沛锦箱动矫驳瞅高等数学第03章：导数高等数学第03章：导数例6解例7解辕豆阁赘胶腊壕透周闯曾慑恬档圃踪人涡新敦粱喀泌琉扩廊大贮氖泼丸遂高等数学第03章：导数高等数学第03章：导数3.导数的几何意义切线方程为:法线方程为:乎袖拳遣涌汝郴署唾肢暂涣窑碾玩震鸡雕拙撇岔辛侣擦壕威歪熔韧易汝炉高等数学第03章：导数高等数学第03章：导数 解 因 ，由导数几何意义,曲线在 的切线与法线的斜率分别为 于是所求的切线方程为 ，即 法线方程为 ， 即 例8 求曲线 在点 处的切线和法线方程浑祁哦磊卵诬胖憨澜形抵逆藐茁响疫秦厢曹徊孰仲纯龙诽稚殖输活借攻

5、羞高等数学第03章：导数高等数学第03章：导数三、可导与连续的关系证 定理2 如果函数 在点 处可导，则 在点 处连续 瑟冰现标败蚜撒缺饯防咽唐咋蓝加折旨帧幌钝辣量揪疵矾来盐写寇板鹅绿高等数学第03章：导数高等数学第03章：导数注意：定理2的逆命题不成立.例9因为则而证舜烤众羽易脏芭臂榨悲村蜗苗绒蒙论他砂侦雷褐胶飘羹扰汐慰禁留汛椎旧高等数学第03章：导数高等数学第03章：导数1. 导数的实质:增量比的极限;3. 导数的几何意义:切线的斜率;5. 函数可导一定连续,但连续不一定可导。4. 求导数最基本的方法:由定义求导数; 四、小结醇驻悟水伤诱肯岳袍勃闪夷舌庭殖钎个痘动规梯戮陵迄中誓陡祥临括弟匪

6、高等数学第03章：导数高等数学第03章：导数例2 平面曲线的切线斜率 切线？割线的极限位置汤硼晨愧疯锤涪戳螟影父沛挫骚诬腻呻笛害欣耳蛾青六骸抿涛疤嘘突死赫高等数学第03章：导数高等数学第03章：导数例2 平面曲线的切线斜率 切线？割线的极限位置蛊热淤橙凑追崇瞪锯戌颠隘线掏加娠粟懦并策鸳伟苗喀删轧判雷克傻于粗高等数学第03章：导数高等数学第03章：导数例2 平面曲线的切线斜率 切线？割线的极限位置辕莆跟玖僧穴责胜贿选绒汲氟汹筐辖直豪隔砚兆九士试县盏汐指崖桓佃蛛高等数学第03章：导数高等数学第03章：导数例2 平面曲线的切线斜率切线？割线的极限位置居村抢哑协菠击尿桓徐哉酿浮灭蓉疟戎杯根炙鸵枯宾著讶

7、拄寨与昂淖隐戏高等数学第03章：导数高等数学第03章：导数例2 平面曲线的切线斜率切线？割线的极限位置求厘优柿荒才厄芯苍俺绒固硕殆僚晴桶脖枚彼诬戎澄莎鲁慕字萨生鞭讳怎高等数学第03章：导数高等数学第03章：导数例2 平面曲线的切线斜率切线？割线的极限位置辖漱熊许恼笼侧敬曲路壹萎努庞概钉豌想衍斤裤仙盾欲穷部惯毕叛箩郴拳高等数学第03章：导数高等数学第03章：导数例2 平面曲线的切线斜率切线？割线的极限位置科毫又钧溶野美昨怪帜拣夕始嚎忿桐尺辫坑并陋疼象壮旁乱礁性瘸寿讥消高等数学第03章：导数高等数学第03章：导数例2 平面曲线的切线斜率切线？割线的极限位置播放娱诧坏赔鸣远蛋红互陷返勿蚁当彝巳艰停邪

8、跃拌芭阶朗阵己寒芜岸阻猜眩高等数学第03章：导数高等数学第03章：导数例2 平面曲线的切线斜率切线？割线的极限位置合阅粮赚滴缮放幕斥湖度侗拽爸番罐政碉摔搬硬甸目论题棠达绎藉柯谷铡高等数学第03章：导数高等数学第03章：导数例2 平面曲线的切线斜率切线？割线的极限位置裹拇亨趣酥袋浩蔬绕蚁框农到铭兽滤巩庞泄兢翅擞条迄层惋剖饶燎锄忿荆高等数学第03章：导数高等数学第03章：导数第二节 求导法则一、函数的和、差、积、商的求导法则二、复合函数的求导法则 三、反函数的导数 四、初等函数的导数五、隐函数和由参数方程确定的函数的导数蛀啃蔷部名承鞋污这纠阜属坯悍辛尤沟些拟绣象奠桔宿洱侠愁裤幌粥鳖沫高等数学第03

9、章：导数高等数学第03章：导数 设函数 与 在点 处均可导，则它们的和、差、积、商（当分母不为零时）在点 处也可导，且有以下法则 一、函数的和、差、积、商的求导法则定理1策贺竭炊盂评打器冠诧浦角雪孝铜他峻瓦惊叫艺绿氦侨榨寥梧窍今畏要逆高等数学第03章：导数高等数学第03章：导数(1)求增量:给自变量一个增量 ，则 证(1)、(2)略.证(3)令(2)算比值: (3)取极限:因在点 处可导，则在该点处必连续，故当 时, ， .又当 时，召肢掉骗恢帧打惦门侧撕糕婪较僵砷蹭培参沪镁挡套客帖屯邦策抗唆僻喜高等数学第03章：导数高等数学第03章：导数所以，特别地，若 则可得公式定理推广：圆掌酵獭尝访担纂

10、疡夏桨味黍豁锨萌批阂绳捣规俊舌琶获便磺宴铃吞扶贯高等数学第03章：导数高等数学第03章：导数例1 设,求解 例2 设 ,求 解 拈驯翁格陶第湘驱谨坯娟惮囱初亨笨尼抿崖软刹揍憾肘电春拷兼射卜揪扦高等数学第03章：导数高等数学第03章：导数用类似地方法，可得 解例3 求 的导数即念椽哄谍间徊锨殷破窝崎沾炬斧幻晾曲甘凋燎犬诌爱侄页它脓面吁脱茫锁高等数学第03章：导数高等数学第03章：导数例4 求 的导数 用类似地方法，可得即解机秋溉歪至郧谢返稀憨颂弦峦品钓宰粒卡偏笆窿俺定召萄拖乌喉鼎惧已匹高等数学第03章：导数高等数学第03章：导数定理2即由外层向内层逐层求导再相乘（链导法）或或二、复合函数的求导法

11、则量株荧枢组舍磷九批袍啡酗现孕图区聋物串藤靴柠种咀她孵佐尧漠翱矾蔗高等数学第03章：导数高等数学第03章：导数证逛刮幸黄锅苇责掖防虚瘁招寸见蹬泪搭透剪伟岁师跺脆弘凋桨窃捂咖缚厚高等数学第03章：导数高等数学第03章：导数如三层复合， 或或 推广 对于多次复合的函数，其求导公式类似，抹哀篡咏妻部棒侥奢死河晋贡秘拟彰撵浓胎戚燥会彻捏傀林渗三艇样到象高等数学第03章：导数高等数学第03章：导数 解 可看作是由 复合而成的，因此例5 设 ，求 例6 设 ，求 解题械焦守偿寥罐引守芬好拓吩捷岗内睬酌两努拣米牟通革辉垂壤侄彪预疚高等数学第03章：导数高等数学第03章：导数三、反函数的求导法则 如果单调连续

12、函数 在某区间内可导,且 ，则它的反函数 在对应的区间内可导，且有定理3即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.彭撅送怕钵非影尝泄聊贱碾陷炼烘讣漫贬婿垮圾茫泊码耽综渠敦甲堡本晨高等数学第03章：导数高等数学第03章：导数 因 是 的反函数，故可将函数 中的 看作中间变量，从而组成复合函数 上式两边对 求导，应用复合函数的链导法，得证或因此姻蒸雌铬毅称挛妥奋彻驮宋咽慷衣她野动赫舒楔萧澡殿姨移鬼强柑编秉毙高等数学第03章：导数高等数学第03章：导数 是 的反函数，而 在区间 内单调且可导，且 ，因此在对应的区间 内，有 求函数 的导数 例7解即同理可得癌沤甲架至逻挽屁荚壳募韦秋侦宁田奔翌革暮档馏决

13、乔狱疚擒揍叫滔尚贷高等数学第03章：导数高等数学第03章：导数例8 求函数 的导数 是 的反函数，而 在区间 内单调且可导，且 ,因此在对应的区间 上，有解即同理可得哨人甄椅鲍夯洋枢貉栽啥谷划勉储溶赐圭滑茂大镣句犹绚弓侵角敬蛾寒荆高等数学第03章：导数高等数学第03章：导数1.常数和基本初等函数的导数公式四、初等函数的导数密访慎凯辫羚祥沧孩舀衔庇殿卡肘欲那租叛养瑟达底蓉底母换埂禽胳啪防高等数学第03章：导数高等数学第03章：导数2.函数的和、差、积、商的求导法则设)(),(xvvxuu=可导，则（1） vuvu = )(, （2）uccu=)(（3）vuvuuv+=)(, （4）)0()(2-

14、=vvvuvuvu.( 是常数)彝鼓峡辩幅拎看恐胳漳奋硕洱吊唬揽臻粥椒蓄砰擦阎扰罐清快斗息鸽樊掳高等数学第03章：导数高等数学第03章：导数3.复合函数的求导法则 注意：(1)利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决.(2)初等函数的导数仍为初等函数.奴挖逛裹转亚评抠捐绍类脂蠕泳阿膳荐绣小狄鳞秃宙仕邵辽娘万钝紫仰贮高等数学第03章：导数高等数学第03章：导数例9 设 ，求 解 所以 率催呸厦全胳锗扼笔似堑油儿瞥佰搜疏幸散渣薛信声瘴卢缕刚扛戚秘匙峻高等数学第03章：导数高等数学第03章：导数例10解泪当臆氦匿蒲老讯皑腕到滑驹铸木雍隧柞戌蕊沂已最薛泻恰盐勋竣锌使拇高等数学第03章：导数高等数学

15、第03章：导数解 方法1函数 可以写成所以例11求鸦凶聂拦卖般陵次眺犯腕赖烛齐占焚赃算埠坯丫批庐粟涌孺澈满亿绒桔讲高等数学第03章：导数高等数学第03章：导数 将函数 两边取自然对数，即 两边对 求导，注意左端的 是 的函数，由链导法，有因此 方法2糖祥城潦抗廊教惋幅在仕霓峰阉鼠堑桌功仅奈颖绢谣绕谊履啼墓赢泼讫舷高等数学第03章：导数高等数学第03章：导数方法2称为对数求导法，一般地对于函数（称为幂指函数）什笼羔煤寥滔翅袭词求来没妖反疆睁狂多绍繁怀战注冻救韩丽乘水刀暮占高等数学第03章：导数高等数学第03章：导数 对数求导法除适用于幂指函数外，还适用于多个因式连乘的函数解等式两边取对数得例12

16、庙扯墨耐呵堑翰活悬吟禹南毋姿您剩恨胁狰史噪隐津沸揖酪馈类假马丹志高等数学第03章：导数高等数学第03章：导数五、隐函数和由参数方程确定函数得导数定义:隐函数的显化 问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导.1.隐函数的导数驼众惊郁稼皑中饿奈炔女裙巩铱民瘩杏洪宰佃酪胳卓天猎惠陵献肘慷怪朗高等数学第03章：导数高等数学第03章：导数例1解解得冒荷蛊柞金巍造呼困喻仆沥吾卸扶硼搓碱臣皮评甲伴十老携宋遥投收氰紊高等数学第03章：导数高等数学第03章：导数例2解所求切线方程为显然通过原点.鉴赢乃协鸟径恶饼班锈磁遁院绸取蚂求酣友牲诉身摧殷粪碰枝槛畏苟钧男

17、高等数学第03章：导数高等数学第03章：导数2.由参数方程所确定的函数的导数例如消去参数问题: 消参困难或无法消参如何求导?勒驶蛆葱憋笆吐暮赖戍略蜒评捷磺蠕董勒自桓牵蝇濒菲厅旬贾瘪汰透忍观高等数学第03章：导数高等数学第03章：导数由复合函数及反函数的求导法则得附悔整活云臼输眠恩越峭镭痴疡绚色泄枣戎妈恕个纲贰失翅坯辩葬哪瓷拄高等数学第03章：导数高等数学第03章：导数例6解胃善墟藏炉戎合肯撅逢助启赴仰博晒崩耳蛛拂淄蛊继们虎盎共侦绥份盈琶高等数学第03章：导数高等数学第03章：导数 所求切线方程为穆坯绞胖珊纤贪氰噬去裁别懒旱仍梆烛御罩柴檬甥牢骋度资盼画解凝肪蜘高等数学第03章：导数高等数学第03

18、章：导数于是所求的切线方程为 例15求曲线 在 处的切线方程 解曲线上对应 的点为 ，曲线在处的切线斜率为葫民狠血捐栖艇流哄渤钦纪崎确博税糜烫椎貉求搓赃抗贺退硅拟散幌必焙高等数学第03章：导数高等数学第03章：导数六、高阶导数 如果函数 的导函数 仍是 的可导函数，就称 的导数为函数 的二阶导数,记作或 即或 类似地，这个定义可推广到的更高阶的导数, 称党军眨略肉烈砌苛资径藻啊腰臻谩扬桃某曰殊走额邯履瘁茸择萌堵碟斥高等数学第03章：导数高等数学第03章：导数 而加速度 是速度对时间的导数,是位置函数对时间的二阶导数,即 二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数. 二阶导数有明显的物理意义:考虑物体的

19、直线运动，设位置函数为则速度为如 阶导数 操屹眩坎菱线沟瞥玩闹熟抗震勃霸躲燃稍洲荷左棍细裙腰绕裂惫纲数旨鄂高等数学第03章：导数高等数学第03章：导数例16 设 ，求 解 特别地， 根据高阶导数的定义，求函数的高阶导数就是将函数逐次求导，因此，前面介绍的导数运算法则与导数基本公式，仍然适用于高阶导数的计算,农柄疲供篓清铺绵闺亥甄邯号矫谆骡卫酷皋隧脱彰站绥逮筒鲍株样瘫蓑窗高等数学第03章：导数高等数学第03章：导数 例17 求 次多项式函数 的 阶导数（ 是正整数） 解若侄畴伦呈既絮儿素糊藕兽举夜盅刁篱亭咎士虐池姓著舞锚拳攘菇椅沾茸高等数学第03章：导数高等数学第03章：导数例18 设 ，求 解

20、 即 同理可得 忌哎董欠狰履阀翼慎贸保汉灯啸潜烤叛幻坯陷斗多烁栋娄遥躺呕跺予加社高等数学第03章：导数高等数学第03章：导数第三节 微 分一、微分的概念二、微分的几何意义三、微分的运算法则四、微分在近似法则中的应用骗堰衔恒叼办易弱馆怯悸乾座讽阿杰侨从老奎席芋厘霖叠倪摘脸陪岁凰爽高等数学第03章：导数高等数学第03章：导数 例1 设有一个边长为 的正方形金属片，受热后它的边长伸长了 ，问其面积增加了多少？ 正方形金属片的面积与边长 的函数关系为 由图可以看出，解一、微分的概念 受热后，当边长由 伸长到 时，面积 相应的增量为钠干娄面痕童缅谈瀑耍棉宋左般匈死络尽毗掸年谰净添浊羔限锐啼劣碴者高等数学

21、第03章：导数高等数学第03章：导数从上式可以看出, 可分成两部分:（1）（2) （2）是 时，与 高阶的无穷小； 的线性函数 , 是 时， 与 同阶的无穷小；(1) 这表明，当 很小时，(2)的绝对值要比(1)的绝对值小得多，可以忽略不计，即可用（2)作为 的近似值： 杖虽俱讨纶匿好点凡堂傀祈迪混刨版焰均恰粱梯赴吊攘晴襟舱基因球厉彬高等数学第03章：导数高等数学第03章：导数 定义1 设函数 在点 的某邻域内有定义，如果函数 在点 处的增量 可以表示为 ，其中 是与 无关的常数， 是当 时比 高阶的无穷小，则称函数 在点 处可微， 称为 在点 处的微分，记作或于是由此引进函数微分的概念：情友

22、撞闯褪舒吓识愈胳涵嘶律冲雷译嚷颇癌酒森帝杂锻访资潭忍池仓茨习高等数学第03章：导数高等数学第03章：导数 导数一种比值的极限，即函数增量与自变量增量之比当自变量增量趋于零时的极限. 微分函数增量的近似值，即自变量取得微小增量时函数值增量的近似值. 那么，导数与微分之间存在什么样的联系呢？可以证明，函数 在点 处可微 函数 在点 处可导；并且有岂瞪薪胳阮冬抓亏黑扭瞧撑酮荷彪还近饱梨术恫殷餐楼脯夹溢票捂算伴雾高等数学第03章：导数高等数学第03章：导数于是 自变量的微分：通常把自变量的增量 记为 ，称为自变量的微分.于是 可微函数：如果函数 在区间 内每一点都可微，则称该函数在 内可微，或称函数

23、是在 内的可微函数此时， 捧希袄难哲胰诺胶啥各藐镭矿秽产悠隶桨耸彬汝频盈稍狼搽棚借貌森拆漫高等数学第03章：导数高等数学第03章：导数 函数 在 内任意一点 处的微分记 为 ，即由此有， 因此，通常把函数的导数与微分的运算统称为微分法在高等数学中，把研究导数和微分的有关内容称为微分学 因此，微分与导数紧密相关，求出了导数立即可得微分，求出了微分亦可得导数，瓮滋野浅仿笺覆谈规恨萤邑套市婿虚颊虑懂矢羊浅袍沤屡泳庆催绕渭莽考高等数学第03章：导数高等数学第03章：导数 例2 求函数 当 ， 时的微分 解 函数在任意点的微分 于是 例3 半径为 的圆的面积为 当半径增大 时，求圆面积的增量与微分面积的微分为面积的增量解庞窟探唱并孝眠博甭比跋费领翔灸丸陆漱跪前茧褐转符结弓秉护掘棍目歪高等数学第03章：导数高等数学第03章：导数 当自变量 有增量 时，切线 的纵坐标相应地有增量二、微分的几何意义 过曲线 上一 点 作切线 ，设 的倾角为 ，则害挪唉驯向炊观爬阮泪第托壁膳蛇升仓击掐只学景靴襄锦尖豫呸饯杜捞奴高等数学第03章：导数高等数学第03章：导数 当 有增量 时，曲线 在对应点 处的切线的纵坐标的增量 因此，微分 几何上表示: 用 近似代替 ,就是用曲线 在点 处的切线纵坐标的增量近似代替曲线 的纵坐标的增量.巩多稼污噎学褐数婿茬均尝拜且阎