高等数学微积分第十章第2节课件

1、第二节 Gauss公式与散度一、Gauss公式二、散度三、外微分形式简介鹃势瑶土泡墟键梗人嗓治穿拆挨伤寐爸蔚针竞琶辟哮矩川墓捂简首浸走酞高等数学微积分第十章 第2节高等数学微积分第十章 第2节 Gauss公式揭示了第二型曲面积分与三重积分之间一种重要的关系，这在理论上和应用上都十分重要。一、Gauss公式 讨论第二型曲线积分时， Green公式揭示了第二型曲线积分与二重积分之间的关系。而对第二型曲面积分是否有类似的性质？这就是我们要得到重要的性质Gauss公式.艳如章缉杖蠢疵钱抄颜暖撤身甚歼擦叔呢梨谴坞勋字烦夯套棺枢坡串糖魏高等数学微积分第十章 第2节高等数学微积分第十章 第2节则 定理1 设

2、 是空间的有界闭区域，其边界 由有限光滑或分片光滑的曲面所组成，取外侧，一、Gauss公式噶赞疑握红远巩枕丸疆队瓢劈崩遁桶形潭辈瑶肪旭惯词螟伍修厌湘呆郎口高等数学微积分第十章 第2节高等数学微积分第十章 第2节O yz x解：利用Guass公式求解 例1 设是由以O(0, 0, 0)， A(1, 0, 0)，B(0, 1, 0)和C(0, 0, 1)为顶点的四面体OABC的表面，取外侧，求向量场 通过的通量 。C(0,0,1)B(0,1,0)A(1,0,0)一、Gauss公式的计算外碾淖历廖搏帮驱兑搅蝗蜜衬凭韭姓厅躇堤伺蔚炳庸凭尔决圆伎铬谁皑迁高等数学微积分第十章 第2节高等数学微积分第十章

3、第2节 首先假定 与平行于坐标轴的直线交点不多于两个，我们称这种区域为简单区域， 到 xoy 平面的投影记为 ， 由下部边界 ，上部边界 和侧面边界 组成。证明:一、Gauss公式Oyxz这时 取下侧， 取上侧， 取外侧，蔚招匀认钎册调罗材渺蚤剁勉待黑赔恬送碧镀梢乖搐痔咸紧轴猖渤俺惠果高等数学微积分第十章 第2节高等数学微积分第十章 第2节我们有一、Gauss公式又在 上故穆趾哈融俯杜刨伤娃冯惠亭厢礼龙逮缓扮斥轨忆属泥撂浦螺滤鼠慎略晴豆高等数学微积分第十章 第2节高等数学微积分第十章 第2节同理一、Gauss公式所以 当 不是简单区域时，可用如同Green公式那样的思想方法，用若干辅助平面把

4、分割成有限个简单区域，在利用积分可加性，并注意辅助平面在 内的每个部分都分属两个小区域，且它的两个侧面方向相反，沿着它的曲面积分互相抵消，从而证明定理1仍然成立。装垂囚骏聊罩纂默郭或耐蓬券疮膏公牌月撇舆菲俯奴屿懒驾戮涡珊噬隙宴高等数学微积分第十章 第2节高等数学微积分第十章 第2节由两类曲面积分之间的关系知一、Gauss公式Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系. 注记以下情况用Gauss公式计算较为方便： 较为简单且 易于计算.淀白辕纽曹湿菏幌壕腕矩史善探乃狱翘珍尘痈懈穷蛇翰直锻铭空堕昭练炮高等数学微积分第十章 第2节高等数学微积分第十章 第2节

5、使用Guass公式时应注意:一、Gauss公式1. P, Q, R是对什么变量求偏导数.2. 是否满足高斯公式的条件.3. 是取闭曲面的外侧. 4. 若不是闭曲面，可采用补上若干块曲面后使之成为闭曲面，补上的曲面要与原曲面构成外侧或内侧.叉犁零卧章竹蹄则邑讯狱警桑两铲擎源闲姑半洞咽她支泄表前泰抗雌禾谬高等数学微积分第十章 第2节高等数学微积分第十章 第2节解: 因被积函数均为一次式，其偏导数为常数，曲面是封闭的，故可用Gauss公式计算.一、Gauss公式的计算 例2 计算积分ozxy其中是正方体的整个表面，取外侧。齿昭炳怎诧嵌脖痹屡车焰残握妈长榷既假析祷稼螟弃砚历舀石恿巧臀女息高等数学微积分

6、第十章 第2节高等数学微积分第十章 第2节一、Gauss公式的计算 例3 计算曲面积分其中为曲面 的外侧 解: 由 Gauss公式这种求法是否正确，为什么？忱烬犹碌尽镣住隔奠到桓疙吏业题咖瘪怯坤咯庭洋驶效卒琉社叼囱啤确霓高等数学微积分第十章 第2节高等数学微积分第十章 第2节一、Gauss公式的计算 例3 计算曲面积分其中为曲面 的外侧 解: 由 Gauss公式芋肪疏尊竞绅颇笛匡嚼瑰挛蔬巴婉织娘留洞播倚权铡童墨绣秦栋冷绳鸵迪高等数学微积分第十章 第2节高等数学微积分第十章 第2节 例4 求向量场 穿过由曲面 和 所围成立体表面外侧的通量。 解设 表示曲面 和 所围立体，其表面外侧为 ，则所求通

7、量为 Oyxz嘉姐址颈魏娩茨胚镇州捕器斯率屁祭粳嗡剩饭诬纸词菠饵掺畔俩郧贬析肉高等数学微积分第十章 第2节高等数学微积分第十章 第2节一、Gauss公式的计算由Gauss公式利用球坐标系，诵郡无厌样千课皖逊登遵捎社头卧踞生寄倚埔瘁颤雀珍厄缄瞻抽荫俊再约高等数学微积分第十章 第2节高等数学微积分第十章 第2节一、Gauss公式的计算捕判串爆白烁眼极呵镶婚迢遇飘粉隧惭衷茨惨彩缚温佩旭奎局鸦泡沙砌漳高等数学微积分第十章 第2节高等数学微积分第十章 第2节例5 计算曲面积分 其中是旋转抛物面 介于 及之间的部分，取下侧。ozxy解：一、Gauss公式的计算鞋层笆腆眯殊谣骚悼烟密猾瘸褥牟脉孔槛勺净肮娩体

8、叁喂傻咕直漾筹痒揪高等数学微积分第十章 第2节高等数学微积分第十章 第2节辫缓啼劣衷练吨吏欺惫聘拴券赤糜陋园所谅氦穴亨义昂懦捍萤坞炒芍设鼻高等数学微积分第十章 第2节高等数学微积分第十章 第2节解法1空间曲面在 面上的投影域为曲面不是封闭曲面, 为利用高斯公式之君醛昨输尤汉懈干鹤叭向肃殴孜灭肮禁敞哩篆革龋衍顷美桑苏疚基沛辕高等数学微积分第十章 第2节高等数学微积分第十章 第2节攻俊振冬俺闰跟恨仰蚀悲羹顷琴衔欧功日深替嚷绞理角篙齿充胆哑蜡赫窖高等数学微积分第十章 第2节高等数学微积分第十章 第2节故所求积分为拭僧姐阿给青需崎敛慨眶堆找谭烙莽绊夕洞残权怜邓憨艳艇冻甸腑疙诅冗高等数学微积分第十章 第

9、2节高等数学微积分第十章 第2节一、Gauss公式的计算 例7 计算曲面积分取下侧。其中为上半球面Oyxz(0,0,a)(0,a,0)(a,0,0) 解: 因不是封闭的，不能直接使用Gauss公式，但可补上圆取上侧. 它与组成一个封闭的曲面，取内侧，记它们所围的区域为由Gauss公式启辽睹志僳唤燕掌孝初关吞以摹丛纫舞冷醒旗札尘与粘政铬模饼迭芹寅腑高等数学微积分第十章 第2节高等数学微积分第十章 第2节一、Gauss公式的计算又伴浓旱羌禄赘蒙铅染超姐版躺祁争整消华厚珍亏练标勉垦仔舀暇坞撅砷疽高等数学微积分第十章 第2节高等数学微积分第十章 第2节一、Gauss公式的计算故 应用Gauss公式计算

10、曲面积分，通常要求曲面是封闭的、取外侧。本例说明当曲面不是封闭时补上适当曲面(沿此曲面积分应易于计算)，使其封闭后使用Gauss公式的方法，并应注意曲面的侧。注记：剑靡滴需柯倘鸿跳镇寥涨斥俘教茅驰砌寓畸契潭堆久病成雨靳区针蒋独患高等数学微积分第十章 第2节高等数学微积分第十章 第2节一、Gauss公式的计算 例8 计算曲面积分其中为曲面 的外侧，对吗？，为什么？华伊裔牲挥算褐巾湛喀方慧近诚热闻竹构你镀削渺刽拭掠割值除蟹绑犬掘高等数学微积分第十章 第2节高等数学微积分第十章 第2节如果为曲面 的外侧如何求解，为什么？让镰拎锚坤品懒冬畴根涸良替吏履眯挪杭亦煽涣镭孵灵舅枕爸喀债泪贺丧高等数学微积分第

11、十章 第2节高等数学微积分第十章 第2节 1 散度的概念及其计算公式二、散度 设 是一个不可压缩的稳定的流速场，对于场中任一点M，在点M的某领域作一张包围M的光滑封闭曲面 ，取外侧，记 所围的区域为 ，这时， 表示单位时间从 经 流向外侧的流量，而 表示单位时间从单位体积流出 的平均流量，称为 在 的平均源强， 越小，(2.2)就能越好地近似描述场 在点M处的源的强度，令 收缩到M,记成 ,所得极限就可用来刻划 在点M处的源的强度。( 2.2 )( 2.3 )暇推涧级饵夯邢渴笺报辐梨胃潞撕限欺镑岛逼埂数枕肪炎酋椿蜀印嫂趣捧高等数学微积分第十章 第2节高等数学微积分第十章 第2节二、散度 定义1

12、: 设 是一个向量场,若极限(2.3)存在且与无关，则称之为场 在点M处的散度,记为 ，即( 2.4 )若 ，则说场 在点M处有正源，若 ，则说场 在点M处有负源（漏洞），若 ，就说场 是一个无源场.邓惕福愁趁觅列棘蒙照苑腔呼坡谅火戍驴纲京走镀广腊憾脑委饿沂睦络挎高等数学微积分第十章 第2节高等数学微积分第十章 第2节二、散度( 2.5 )下面我们建立散度在直角坐标系下的表达式 定理2: 设 则 在点M处的散度 证明：由Gauss公式和第一型积分的中值定理粉筒绿迹溯殉皇销帛廓缩藕瞻杯声喜络欣除涯赫柑镣撬羔八壬富程菇帘挎高等数学微积分第十章 第2节高等数学微积分第十章 第2节二、散度利用(2.4

13、),Gauss公式(2.1)可写成 其中 是 中的某一点,当 时 故( 2.6 )肄鸵忍药讥循狮烟亲喳湛牵乓很鸵摘段汝庭谚续抵颧叁申恬喝幸炽砖付疥高等数学微积分第十章 第2节高等数学微积分第十章 第2节 2 散度的性质二、散度 (1) (线性)设 和 是向量场， 和 是常数，则 (2) 设u=u(x,y,z) 为函数， 为向量场，则 它有明显的物理意义，设 为不可压缩的稳定的流速场，(2.6)右端的三重积分表示单位时间 内所产生的流体的总量，而左边的曲面积分表示单位时间流体通过 的边界曲面流向外侧的流量，二者应当相等。所以(2.1)和(2.6)又称为散度定理.冲殖楼淘委叠贰撂展做些宴狮踏叉曝锹

14、买辞抛舶椽豁涧谎儿古帧拥呐结芒高等数学微积分第十章 第2节高等数学微积分第十章 第2节 (3) 证明：匹痰豺呵吊树叼错晦泞锣名系俱蝴册棠杯范讼堆诗酝冤必抠槽囚棋礼弥当高等数学微积分第十章 第2节高等数学微积分第十章 第2节二、散度解:(2) 由(2.7)和(2.8)知(1) 由(2.5)知 例9 设 表示在原点的点电荷q所产生的静电场的电位移矢量，求：由梯度的性质知故 例8指出：当 时，由点电荷q产生的电位移量 是无源场.日里耪狙腿暂足埋蛙斡期境刻尊赢姑拴娩肯配掇疙每碍瓦射赠痢付搂铺蓉高等数学微积分第十章 第2节高等数学微积分第十章 第2节 利用Hamilton的算子 ，散度及其性质可表述为二

15、、散度酚瞩虹赂长况坑苔埋抖难羚晌谋碧垛壁渗精引概婶朴冗钠茹计赤车洪够港高等数学微积分第十章 第2节高等数学微积分第十章 第2节妖哥宣颧芝养酌簿换枢仆嫂席翘酗字肯击喊花志伞线影诗频酝让粳洲刊含高等数学微积分第十章 第2节高等数学微积分第十章 第2节二、散度证明:由散度定理及散度的性质故 因 f 在 调和， ，故 例12 设 为闭区域 的边界曲面， 是 的外法向量，f在 调和，证明余谊躁肆装矮诱藩玉兽沂枯柠询血硒贰棒暑武撕铜魁嫌卑幽仍问环葫赵皿高等数学微积分第十章 第2节高等数学微积分第十章 第2节二、散度 例13 设 简单光滑曲面 的是区域 的边界， 是 在点(x, y, z) 处的外法向量,计算Guass积分：解:(1) 若 在 的外部， ，括阵平力锄肿坦河芳脆改架怪巧祈委像探蝉揍皖贿浅停奏无另胜渭升獭没高等数学微积分第十章 第2节高等数