选修4-5 不等式选讲 第一讲 不等关系与基本不等式

1、选修 不等式选讲第一讲 不等关系与基本不等式教材知识整合回归教材1.含有绝对值不等式(1)定理:对任意实数a和b,有|a+b|a|+|b|,其中等号成立的条件为ab0.说明:定理中的b以-b代替,则有|a-b|a|+|b|.其中等号成立的条件为ab0.对任意实数a和b,有|a|-|b|ab|a|+|b|. (2)绝对值不等式的解法解含有绝对值的不等式,关键在于利用绝对值的意义,设法去掉绝对值符号,把它转化为一个或几个普通不等式或不等式组,常用的方法有定义法平方法公式法等.2.平均值不等式定理1:对任意实数a,b,有a2+b22ab(当且仅当a=b时取“=”号).定理2:对任意两个正数a,b,有

2、 sqrtab(当且仅当a=b时取“=”号),即两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值.定理3:对任意三个正数a,b,c,有a3+b3+c33abc(当且仅当a=b=c时取“=”号).定理4:对任意三个正数a,b,c有 (当且仅当a=b=c时取“=”号),即三个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值. 基础自测1.(2010陕西)不等式|2x-1|3的解集为_.解析:|2x-1|3-32x-13-1x2.答案:x|-1x22.若关于x的不等式|x-a|1的解集为(1,3),则实数a的值为_.解析:原不等式可化为a-1xa+1,又知其解集为(1,3),所以通过对比可得a=2.答案:2答案:重

3、点难点突破题型一含绝对值不等式的解法【例1】已知关于x的不等式|x-3|+|x-4|a.(1)当a=2时,解上述不等式;(2)如果关于x的不等式|x-3|+|x-4|a的解集为空集,求实数a的取值范围;作出y=|x-3|+|x-4|与y=a的图象,若使不等式|x-3|+|x-4|k恒成立,则实数k的取值范围是_.解析:设f(x)=|x+2|+|x+1|,则如图,显然函数f(x)在(-,-2)上单调递减,在(-1,+)上单调递增,在-2,-1上为常数1,所以函数f(x)的最小值为1.因为不等式|x+2|+|x+1|k恒成立,所以k1.答案:(-,1)题型二绝对值不等式的应用【例2】(2010福建

4、)已知函数f(x)=|x-a|.(1)若不等式f(x)3的解集为x|-1x5,求实数a的值;(2)在(1)的条件下,若f(x)+f(x+5)m对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围.解解法一:(1)由f(x)3得|x-a|3,解得a-3xa+3.又已知不等式f(x)3的解集为x|-1x5,所以 解得a=2. (2)当a=2时,f(x)=|x-2|.设g(x)=f(x)+f(x+5),于是所以当x5;当-3x2时,g(x)=5;当x2时,g(x)5.综上可得,g(x)的最小值为5.从而,若f(x)+f(x+5)m即g(x)m对一切实数x恒成立,则m的取值范围为(-,5.解法二:(1)同解法一.(

5、2)当a=2时,f(x)=|x-2|.设g(x)=f(x)+f(x+5).由|x-2|+|x+3|(x-2)-(x+3)|=5(当且仅当-3x2时等号成立)得,g(x)的最小值为5.从而,若f(x)+f(x+5)m即g(x)m对一切实数x恒成立,则m的取值范围为(-,5.变式2:对于任意实数a(a0)和b,不等式|a+b|+|a-b|a|(|x-1|+|x-2|)恒成立,求实数x的取值范围.题型三 基本不等式的证明点评不等式的证明常用方法有:比较法分析法与综合法,在解决问题时注意结合平均值不等式来证明. 解题方法拾遗点评利用平均值不等式可以求最值问题,但要注意不同的重要不等式的变式形式,求得的

6、值域范围是不同的,我们在选择重要不等式时要恰当的放缩,并要注意判断“等号”是否成立.考向精测1.若不等式|x+1|+|x-3| 对任意的实数x恒成立,则实数a的取值范围是_.解析:因为|x+1|+|x-3|4,所以由题意可得 4恒成立,当a0时,由基本不等式可知 4,所以只有a=2时成立,所以实数a的取值范围为aR|a0或a=2.答案:aR|a0或a=22.解不等式|x+1|+|x-2|x2+1.分析:本小题主要考查绝对值不等式等基本知识,考查运算求解能力.解:当x-1时,原不等式可化为-(x+1)-(x-2)x2+1,解得x0.x-2.当-1x2时,原不等式可化为(x+1)-(x-2)x2+1,解得当x2时,原不等式可化为(x+1)+(x-2)x2+1,解得xR.x2.综上所述,原不等式的解集为(-,-2)( ,+).教师备课资源答案:B答案:B2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为_.解析:解法一:|x-1|+|x+2|代表点x到点-2与1的距离之和,当在点-2与点1之间时,其距离之和最小,最小值为3.解法二:由绝对值不等式的性质知|x-1|+|x+2|x-1-x-2|=3.当x-1与x+2异号时,即-2x1等号成立.函数f(x)的最小值是3.3.已知不等式|x+1|+|x-2|m的解集是R.(1)求实数m的取值范围;(2)在(1)的条件下,当