电磁场与波第五章

1、本章架构1.时变(sh bin)电磁场的方程与边界条件2.时变电磁场的唯一性定理3.时变电磁场的位函数4.正弦电磁场共三十九页2麦克斯韦(mi k s wi)方程本构关系(gun x)电流连续性原理边界条件理想导体共三十九页35.2 时变(sh bin)电磁场的唯一性定理 在V的包围边界面S上保持(boch)给定的 或 的边值不变，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V 内的解惟一。 静态场惟一性定理的表述时变场惟一性定理的表述时间的“边界条件”：t=0时，场域V中，每点的 和 有确定初始值。空间的“边界条件”： t=0时，边界S上， 或者 确定。麦克斯韦方程有唯一解共三十九页4反证法证明(zhng

2、mng) 假定有两组解满足(mnz)同一边界条件和麦克斯韦方程 在体积V中， t=0时： 在边界S上， t=0时:令共三十九页 在体积(tj)V中， t=0时： 在边界S上， t=0时:5 对于(duy) 有: 坡印廷定理：=0V中电磁能量总是不断减少或不变又t=0时：所以t=0时：共三十九页65.3 时变(sh bin)电磁场的位函数静态场的位函数(hnsh)及方程动态场的位函数及方程涉及场和位的波动方程分为齐次和非齐次时变电磁场为统一整体位函数同时包括标量位和矢量位共三十九页7波动方程(fngchng)推导同理，采用(ciyng)又非齐次波动方程很复杂，为了求解方便，引入位函数共三十九页8

3、矢量(shling)位和标量位的引入令： ，可得故：位函数(hnsh)方程共三十九页9和矢量(shling)恒等式规定了矢量磁位的旋度，没有规定其散度，矢量磁位具有多值性。磁矢位与电位(din wi)函数不能分离，计算复杂！简化上式，规定散度为：洛伦兹规范恒流磁场矢量磁位的库伦规范共三十九页10利用(lyng)洛伦兹规范将 代入 引入洛伦兹规范(gufn)条件，电位方程为达朗贝尔方程磁矢位与电位函数分离磁矢位只依赖于电流电位函数只依赖于电荷共三十九页11达朗贝尔方程和位函数(hnsh)的波动性电荷产生标量位波动电流产生矢量位波动离开源后，位函数以波动形式存在并传播，因此电磁场也以波动形式存在和

4、传播在无源区，齐次波动(bdng)方程：亥姆霍兹方程共三十九页12电磁场的波动(bdng)方程位函数(hnsh)方程结论：无源区两种方法一样简单有源区位函数方程更简单静态场方程同样适用场与位函数关系共三十九页135.4 正弦(zhngxin)电磁场正弦(zhngxin)场定义： 物理量（包括场源和电磁场）随时间按正弦规律变化的问题，叫正弦电磁场问题，也叫时谐场问题广播、电视和通信的载波，都是正弦电磁波电磁场若不是正弦场，可以通过傅里叶变换分解为不同频率时谐场的叠加来研究复数表示法可以简化正弦场问题共三十九页14时谐场量的实数(shsh)表示（瞬时表示）式中：A0为振幅、 为角频率， 为初始相位

5、(xingwi)，与坐标有关。由欧拉公式，知： ，则： 式中： 时谐场量的复数表示共三十九页15时谐电磁场场量的复数(fsh)表示 在直角坐标系下，时谐电场瞬时(shn sh)形式为： 表示为复数形式：复数振幅共三十九页16时谐电磁场场量的复数(fsh)表示复数振幅(zhnf)矢量 由于所有场量表达式都有取实部运算，并都含有 项，为简化，以上两项作为缺省项，均不写。故电场的复数表达式为：最简单情形：共三十九页17同理可以(ky)得到其他场量的表达式：共三十九页18场量复数表达形式(xngsh)和瞬时（实数）形式(xngsh)相互转换场量的复数(fsh)形式：场量的瞬时形式： 场量的复数形式转换

6、为实数形式的方法：共三十九页19例 已知电场(din chng)强度为其中Ex和 kz为实常数。写出电场强度的瞬时矢量。解：共三十九页20场量复数(fsh)表达的进一步说明：复数式用“”以示区别复数式只是数学表达方式，不代表(dibio)真实场真实场是复数式的实部，即瞬时表达式时间因子是默认的，有时候不用写出来复数对时间求导共三十九页21麦克斯韦方程(fngchng)的复数形式：同理，边界条件也可以写成复数(fsh)形式共三十九页22复数(fsh)介电常数和磁导率 在导电媒质中，当介质的电导率为不为零的有限值，此时(c sh)介质存在欧姆损耗，即导体引起的损耗。 式中：复介电常数表征欧姆损耗共

7、三十九页23 考虑介质损耗时候，此时介电常数也是一个(y )复数，即： 同时(tngsh)存在介质损耗和欧姆损耗的媒质中，则有： 其实部和虚部都是关于频率的函数，且 始终大于零，表示介质损耗共三十九页24 同样磁介质在高频(o pn)也有损耗如下： 工程中常用损耗角正切来表示(biosh)介质的损耗，是虚部和实部之比：虚部对应磁损耗导电介质电介质磁介质 弱导电媒质和良绝缘体 普通导电媒质 良导体导电媒质分类媒质导电性的强弱与频率有关共三十九页25例 海水电导率 , 相对介电常数(ji din chn sh) 。求海水在 和 时的等效复介电常数。解：当 时当 时共三十九页26波动方程(fngch

8、ng)的复数形式即为亥姆霍兹方程(fngchng)。亥姆霍兹方程 令： ，则亥姆霍兹方程(fngchng)变为瞬时形式复数形式有耗媒质中：亥姆霍兹方程共三十九页27时谐场的位函数(hnsh)洛伦兹规范(gufn)条件变为：达朗贝尔方程变为：损耗介质中共三十九页28复数(fsh)坡印廷矢量时谐场的二次式：包含场量平方的关系式，包括能量密度和能流密度二次式的表示方法(fngf)：本身不能用复数形式表示，其中场量必须是实数形式，不能直接将复数形式代入。能流密度如果用复数表示先取实，再代入共三十九页29二次式的时间平均值 能量密度和能流密度反映的是能量密度或能流密度在某一个瞬时的取值，是时间的函数 有

9、时要关心在一个时间周期中的平均(pngjn)值，即平均(pngjn)能量密度和平均(pngjn)能流密度。这就是二次式的时间平均(pngjn)值问题坡印廷矢量瞬时(shn sh)表示：共三十九页30在一个(y )周期的平均值：坡印廷矢量复数(fsh)表示实部为功率流密度的时间平均值，虚部为无功功率流密度平均坡印廷矢量共三十九页31利用 ，可由 计算 ，但不能直 接由 计算 ，也就是说 关于 和 的几点说明 具有普遍意义，不仅适用于正弦电磁场，也适用于其他时变电磁场；而 只适用于时谐电磁场。 在 中， 和 都是实数形式且是时间的函数，所以 也是时间的函数，反映的是能流密度 在某一个瞬时的取值；

10、在 中， 和 都是复矢量，与 时间无关，所以 也与时间无关，反映的是能流密度在一个时间周期内的平均取值。共三十九页32由坡印廷矢量(shling)类似地可以(ky)得到以下表达式能量密度损耗功率第一项为时间平均值共三十九页33坡印亭定理(dngl)（一般情况 瞬时情况）复数(fsh)坡印亭定理（时变情况 时谐情况）共三十九页34共三十九页35复数(fsh)坡印亭定理共三十九页36复数(fsh)坡印亭定理共三十九页37共三十九页38作业(zuy) 5.3， 5.6 ，5.7共三十九页内容摘要本章架构。分为齐次和非齐次。位函数同时包括标量位和矢量位。非齐次波动方程很复杂，为了求解方便，引入位函数。引入洛伦兹规范条件，电位方程为达朗贝尔方程。在无源区，齐次波动方程：亥姆霍兹方程。电磁场若不是正弦场，可以通过傅里叶变换分解为不同频率时谐场的叠加来研究。时谐场量的实数(shsh)表示（瞬