泰勒公式的应用87935

1、泰勒公式及其应用摘要文章简要介绍了泰勒公式的证明及其推导过程，详细讨论了泰勒公式在最优化理论 领域的应用，分别讨论了泰勒公式在理论证明和算法设计上面的应用，并用简单的算例 加以说明。关键词：泰勒公式，最优化理论，应用一、泰勒公式1.1 一元泰勒公式f (n )(x0)(x - x ) n + f (n g (x - x ) n+1n! o(n +1)!o若函数f (x)在含有的开区间(a,b)内有直到n +1阶的导数，则当函数在此区间内时， 可展开为一个关于(x-%)的多项式和一个余项的和：.f ( x )其中 R (x) = f (n+1)(&)(x - x ) n+1n (n +1)!0f

2、 (x) = f (x ) + f (x )(x - x ) +J o (x - x )2 + + 0 o o 2! o在和之间的一个数，该余项Rn(x)为拉格朗日余项。1.1.1泰勒公式的推导过程我们知道f (x) = f (x0) + f (x0)(x-x0) +a，其在近似计算中往往不够精确，于是我 们需要一个能够精确计算的而且能估计出误差的多项式：p(x) = a + a (x x ) + a (x x )2 + + a (x x )n TOC o 1-5 h z 01020n0来近似表达函数f (x)；设多项式 p (x)满足 p( x ) = f (x ), p (x ) = f

3、(x ) p (n)(x ) = f (n)(x )000000因此可以得出a ,a a .显然，p(x ) = a，所以a = f (x ) ； p(x ) = a，所以 0 1 n000001a = f(x ) ； p”(x ) = 2!a，所以a = (*0) p(n)(x ) = n!a，所以有a =()(尤0)100222!0 nnn!所以，p(x) = f (x ) + f(x )(x 一 x ) + f 3。)(x 一 x )2 + f x。)(x 一 x )n0002!0n!01.1.2泰勒公式余项的证明我们利用柯西中值定理来推出泰勒公式的余项(拉格朗日余项):设 Rn (x)

4、 = f (x) p( x)于是有R (x) = f (x)-p(x) = 0所以有R (x ) = R (x ) = R (x ) = = R(n)(x ) = 0 n 0 n 0 n 0n 0根据柯西中值定理可得：是在和之间的一个数;R (x)_ R (x) - R (x0) _R： ()(x x )(n+1)(x x )(n+1) -0(n +1)(& - x )n0010对上式再次使用柯西中值定理，可得:是在和之间的一个数;R(&)_ R(&)-R3 ) _R(& )n1 = n 1n0 = n2 (n +1)(& 一x )n(n + 1)(g 一 x )n 一0)n(n +1)(&

5、一x )(n-i)101020连续使用柯西中值定理n +1次后得到:R(x)= Rnn+1庶)这里是介于和之间的一个数。(X X )(n+1)(n +1)!由于 p(n)(x) = n!a，n!a 是一个常数，故p(n+1) (x) = 0，于是得到:R (n+1) (x) = f (n+1) (x)，综上可得，余项：R (x) = :；)(x-x0)n+1介于和之间此余项又称为拉格朗日余项。到此为止，我们知道了泰勒公式的一般形式可以表示为:f (x) = f (x ) + f (x )(x x ) + f (x x )2 + + f (n)?0)(x x )n + R (x) 0002!0n

6、!0 n其中Rn(x)为泰勒公式的余项，它可以有一下几种形式：(1)佩亚诺(Peano)余项R (x) =0 (x x0)n)施勒米尔希-罗什(Schlomilch-Roche)余项R (x) = f (+】)(&)(x g)n+1q (x x )q(0 q n +1),介于和之间nq - n!0拉格朗日(Lagrange)余项R (x) = fn1g)(x x )n+1介于和之间柯西(Cauchy)余项R (x) = f (n+)(g)(x g ) n (x x)介于和之间积分余项j x f (n+1)(t)(x t) ndtR (x) = !泰勒公式的特殊形式，当取x0 = 0的时候，此时

7、泰勒公式为：f 3) = f (0) + f (0)X + f 70)奇 + + f(n)(0) n + Rn (x)Rn(X)为相应的余项，该式叫做泰勒公式的麦克劳林展开，也叫做麦克劳林公式；麦克劳林公式主要应用在一些比较特殊的函数，如三角函数，对数函数等。如：对 y = sin x或y = cos x的麦克劳林展开进行求值计算；欧拉公式eix = cosx + isinx的证明 与应用等等。运用麦克劳林展开可以得到一些常用的泰勒展开式：.x 2xne Qe x = 1 + x + +xn+i.x 2 n+1(2n +1)!卜o(x2n+2).2! n!(n +1)!sin x = x -

8、x3 + x5 - + (一1)3!5!、x 2 x 4x 6cos x = 1 + +2! 4!6!+ (-1)n /c+ o(x2n).(2 n)!x 2x 3xn+1ln(1 + x) = x - +- + (-1)n+ o(xn+1).23n +1=1 + x + x2 + + xn + o( xn )1 x1.2多兀泰勒公式除了上面的一元泰勒公式外，多元泰勒公式的应用也非常的广泛，特别是在微分方 程数值解和最优化上面，有着很大的作用。1.2.1二元泰勒展开引人记号：h = x-x， t = y - y，则二元函数f (x, y)在(x ,y )处的泰勒展开为：0000f (x, y)

9、 = f (x , y ) + (h : +1 : ) f (x , y ) + (h ? +1 : )2 f (x , y ) + 0 0dx dy0 0dx dy0 0”合 a、+(噫+1 ay)mf(% *)+Rm18f-h + 8y(xo,yo) TOC o 1-5 h z 88df(h +1 ) f (x , y ) = 8f8x8y0 08xht+旦8y2(x0, y0)8882 f8 2 f(h + t )2 f (x , y ) = L h 2 +L8x8y0 08x 28x8y(x0, y0)( x0, y0) hktm-k(x0, y0)8,8寸八 8 mf(h 虱 t 瓦

10、)mf (x。,y。)= C 8k8ymk k=0是二元泰勒公式的余项。由于二元泰勒展开比较复杂，所以在一般的应用之中，只作二阶泰勒展开。1.2.2二元泰勒展开的余项与一元泰勒公式类似，二元泰勒公式的余项分别有：(1)佩亚诺(Peano)余项R =0 (X - X ) m + (y - y ) m拉格朗日(Lagrange)余项188R =(h + k一)m+if (&m)(&，门)是(X, y)和(X , y )线段上的一点m (m +1)! 8 X 8 y 1.2.3多元函数泰勒展开(1)多元函数一阶泰勒展开多元函数f (X) e R。X, X * e Rn，则f (X)在的一阶泰勒展开为

11、：1f (x)= f (X *)+ W(X *)T(X-X *)+ 2( X-X *) z2 f (X *+。(X-X *)( X X *)(0 9 0及任意的p e Rn，有1 f (X * +p) = f (X *) + XVf (X *) t p +(Xp) TV2 f (X *)(Xp) + o (| |Xp|2)A多元泰勒公式主要应用在微分方程数值解和最优化上面。二、泰勒公式在最优理论中的应用目标函数泰勒表达式的展开，往往将原目标函数在所讨论的点附近展开成泰勒多项 式，用来解答原函数。目标函数的方向导数和梯度，考察函数与自变量的关系，即函数 相对于自变量的变化率，包括沿某一指定方向的

12、变化率和最大变化率，所以就要用到方 向导数和梯度。无约束目标函数的极值条件，无约束优化问题一般归结为求目标函数的 极大值极小值问题，一般先求出若干极值点，再通过比较来确定全局最优点。目标函数 凸集与凸函数、凹函数，由函数极值条件所确定极小点，是指函数f(x)在点附近的一切 x均满足不等式f(x) f()，由函数极值条件所确定的极小值只是反映函数在附近的局部 性质。优化设计问题中目标函数的局部极小点并不一定就是全局极小点，只有在函数具 备某种性质时，二者才能等同。目标函数的约束极值优化问题，约束最优点不仅与目标 函数本身的性质有关，而且还与约束函数的性质有关。在存在约束的条件下，为了要满 足约束

13、条件的限制，其最优点不一定是目标函数的自然极值点。最优化设计的数值计算方法一一迭代法及其收敛性，在机械优化设计的实际问题 中，采用解析法求解很困难，在实际应用中，则广泛采用数值方法来直接求解。数值方 法中常用的是迭代法，这种方法具有简单的迭代格式，适用于计算机反复运算，通常得 到的最优解是一个可满足精度要求的近似解。2.1泰勒公式在数值最优化理论证明中的应用定理2.1(无约束问题解的一阶必要条件)设f : Rn t R连续可微，是无约束问题min f,3 e Rn)的一个局部最优解，则满足Vf (x *) = 0证明：任给p e Rn，由局部最优解的定义和多元泰勒展开，对任意充分小的数f 0，

14、 有f (x*) 0, Vp e Rn.特别令p = -Vf (x*)得-|Vf (x *)2 =-Vf (x*)TVf (x*) 0从而，W(X*) = 0定理2.2(无约束问题解的二阶必要条件)设f： Rn t R二次连续可微，是无约束 问题min f (x),(x e Rn)的一个局部最优解，则满足Vf (x*) = 0且V2 f (x*)半正定.证明：由定理4.1，只需证明V2 f (x*)半正定.任给p e Rn，由最优解的定义和二阶泰勒 展开，对任意充分小的数，有1f ( X *) 0即V 2 f ( X *)半正定.定理2.3(无约束问题解的二阶充分条件 )f： Rn t R二次连续可微.若满足Vf (X*) = 0且V2 f (x*)正定，则是无约束问题min f (x),(x e Rn)的一个严格局部最优解.证明：由于V2 f (x*)正定，故存在常数5 0，使得对所有的J e U5(X*)= e Rn | |y x f (x*)即是问题min f (x),(x e Rn)的一个严格局部最优解.2.2泰勒公式在数值最优化算法设计中的应用我们知道最优化算法中我们需要知道两