电动力学第五章

1、第五章 电磁波的辐射(fsh)Electromagnetic Wave Radiation 引言1 电磁场的矢势和标势2 推迟势3 电偶极辐射7 电磁场的动量共五十一页引言(ynyn)1 电磁辐射 随时间变化的电荷、电流激发的电磁场随时间变化。有一部分电磁场以波的形式脱离场源向外运动，这被称为电磁波的辐射。 本章主要研究给定高频交变电流产生的电磁辐射，并简要讨论电磁场的动量。2 引入矢势和标势求解电磁辐射问题 与静电场引入电势、静磁场引入磁标势相似，为了便于求解普适的场方程，在变化情况下仍然(rngrn)可以引入势的概念。但是，由于电场的旋度不为零，这里引入的矢势、标势与静电场、静磁场情况有很

2、大的不同。共五十一页3 辐射问题的本质也是边值问题 电磁波常常是由运动电荷(dinh)辐射出来的，变化电荷、电流分布激发电磁场，电磁场又反过来影响电荷、电流分布。空间电磁场的分布就是在这一对矛盾相互制约下形成的。 变化的电荷电流分布一般具有边界，因此在求解时要考虑它们的边界条件和边值关系。所以辐射解本质上也是个边值解，即是在一定的边界条件下求解麦克斯韦方程组的解。但是，一般情况下这种问题的边界很复杂，使得电荷、电流分布无法确定，因此使得求解问题无法进行。 本章我们仅讨论电荷、电流分布为已知的辐射问题。为此先从麦克斯韦方程组引入电磁势，建立电磁势的微分方程组，再求解。共五十一页1、电磁场的矢势和

3、标势的引入、规范不变性； 2、达朗伯方程及推迟势的物理意义；3、矢势的展开和偶极辐射；4、电磁场的动量。 本章(bn zhn)重点 本章难点(ndin)：1、矢势的展开和偶极辐射公式的导出；2、电磁场动量密度张量的引入和意义。共五十一页1 电磁场的矢势和标势1 用势 描述(mio sh)电磁场 矢势 的引入与静磁场(cchng)相同，可以引入矢量势函数矢势 ，使得注意： 与静磁场不同，引入的矢势与时间相关； 意义与静磁场情况相同，即：在任一时刻，矢量 沿任一闭合回路L的线积分等于该时刻通过以L为边线的曲面 S 的磁通量。共五十一页 标势 的引入在变化电磁场情况， ，不能象静电场那样直接引入标量

4、势函数来描述电场 。 一般情况下，电场 既可由电荷激发，也可由变化磁场的激发。因此(ync)， 既是有源的也是有旋的场， 的等式中必然包含矢量 ，由Faraday电磁感应定律可得：矢量 的旋度为零，意味着它可表示为某个标量函数的梯度，因此引入标量势函数共五十一页由此，我们既可以直接用场量 、 来描述电磁场，也可以用矢势 和标势 一起来描述电磁场，而两种描述方式的等价性的桥梁（bridge）就是说明：a)当 与时间无关，即 时， ， 就是静电势b)区别 中的标势 与静电势 非稳恒情况下， 不再是保守力场，不存在势能的概念标势 在数值上不等于把单位(dnwi)正电荷从空间一点移到无穷远处电场力所做

5、的功。为了区别于静电场的电势，把这里的 称为标势（Scalar potential)。c) 在时变场中，磁场和电场是相互作用着的整体，必须把矢势 和标势 作为一个整体来描述电磁场。共五十一页 矢势和标势的不唯一性同静电场和静磁场一样,这里引入的矢势和标势也不唯一,且矢势和标势在变化电磁场情况下相互间有一定的关系.虽然 和 ，以及 和 是描述电磁场的两种等价的方式，但由于 、 和 、 之间是微分方程的关系，所以(suy)它们之间的关系不是一一对应的，这是因为矢势 加上一个任意标量函数的梯度，结果不影响 ，而这个任意标量函数的梯度在 中对 要发生影响.若将 中的 也作相应的规换，则 可保持不变电磁

6、势 能唯一确定电磁场 但电磁场 并不对应唯一的电磁势 2 规范(gufn)变换和规范(gufn)不变性共五十一页 规范变换设 为任意的标量函数(hnsh)，即 ，作下述变换: 得到了一组新的规范：每一组 称为一种规范；规范变换：不同规范之间满足的变换关系称为规范变换证明： 和 描述同一电磁场.共五十一页也就是说，对于同一电磁场 和 ，其势的选择并不是唯一的，通过变换式可以找到无穷组 对应同一个电磁场。 规范不变性：电磁势通过规范变换可以得到许多描述同一电磁场的电磁势，对应着同一的 和 规范不变性。推广: 物理量和物理规律在势的规范变换下保持不变的性质称为规范不变性。从近代物理观点来看，物理上可

7、测量的量一定是规范不变的，因此描述涉及电磁现象的物理规律方程形式都应当(yngdng)在规范变换下保持不变，是在电磁场中体现物理学的一个普遍规律。规范场：具有规范不变性的场称为规范场。P155;185共五十一页 规范条件(Gauge condition) 根据势的定义，仅仅给出了矢势 的旋度和标势 梯度。因为势 和 缺乏唯一性，我们(w men)可以按照一定的附加条件去挑选我们(w men)所需要的一组势，这些附加条件通常是势之间的关系，称为规范条件(Gauge condition)，不同的场可以选择不同的规范条件。 也就是说, 要使势函数减少任意性，需要给出矢势 的散度 。它的值被称为规范条

8、件。 值选择是任意的，但若选择的好，可使电磁场的解简单，基本方程对称或物理意义明显。 电磁势的规范不变性，提供了选择 的方便，即可以根据具体需要选择电磁势 ，实际上就是选择 来实现。共五十一页（1）库仑规范(Coulomb gauge)规范条件(辅助(fzh)条件) 为无源场-横场 为无旋场-纵场在库仑规范下， 电场的横场部分完全由 决定，纵场部分完全由 决定。 ：对应于库仑场； ：对应于感应场 满足的方程:共五十一页方程高度对称，满足相对论的协变性，意义(yy)重大（2）洛仑兹规范(Lorentz gauge) 规范条件(辅助条件) 是有旋有源场-包含横场和纵场 洛仑兹规范的特点(tdin)

9、是把势的基本方程化为特别简单的对称形式。 满足的方程：共五十一页3 达朗贝尔方程(fngchng)真空中的达朗贝尔方程利用Maxwells equations推导上式:共五十一页共五十一页 满足泊松方程，与静电情况类似，即空间(kngjin)某处的 在时刻 的值由电荷在时刻 的分布给出(3) 洛仑兹规范下 的达朗贝尔方程(2) 库仑规范下的达朗贝尔方程(fngchng)共五十一页洛仑兹规范下的达朗贝尔方程是两个波动方程，因此由它们求出的 及 均为波动形式，反映了电磁场的波动性。讨论：洛仑兹规范(gufn)下的达朗贝尔方程l 反映了电磁场的波动性l 两个方程具有高度的对称性且相互(xingh)独

10、立求出一个解，另一个解也就迎仞而解。在下一节我们将看到，洛仑兹条件下达朗贝尔方程的解直接反映出电磁相互作用需要时间。基于这些考虑，在研究辐射问题时，一般都是采用洛仑兹条件下的达朗贝尔方程。作业：4、5P 157，187共五十一页 本节讨论空间存在电荷和电流分布(fnb)情况下达朗贝尔方程的解。1 达朗贝尔方程的解不管是矢势 还是标势 ，在Lorentz规范条件下都满足相同形式的达朗贝尔方程。而达朗贝尔方程式是线性的，它反映了电磁场的叠加性，故交变电磁场中的矢势 和标势 均满足叠加原理。因此，对于场源分布在有限体积内的势，可先求出场源中某一体积元所激发的势，然后对场源区域积分，即得出总的势。又因

11、矢势 的方程与标势 的方程在形式上相同，故只需求出 的方程的解即可。 2推迟势共五十一页 点电荷在空间激发的标势标势 所满足(mnz)的方程：设点电荷处于坐标原点， ，电荷辐射的势的达朗贝尔方程:除原点以外的空间 得到:因为点电荷的场分布是球对称的，若以 r 表示源点到场点的距离，则 不依赖于角变量，只依赖于 r 和 t。 也就是说， 与 及 无关，仅是 r 和 t 的函数，即 此式的解 是球面波共五十一页代表向外传播的球面波代表向内收敛的球面波类似于一维波动方程(fngchng)，其解可以表示为： 与点电荷电势(dinsh) 类比,得到：辐射问题：若点电荷不在原点而在空间 点：令可以证明该解

12、的形式满足达朗贝尔方程式P159；190共五十一页 由电势(dinsh)叠加原理得连续电荷分布在空间产生的电势(dinsh) 矢势 的解因矢势 的微分方程与标势 的微分方程形式相同，故其解也相似(xin s)，所以由变化电流分布 所激发的矢势为：共五十一页2 推迟势（Retarded Potential)给出了分布在有限体积内的变化电荷与变化电流在空间任意点所激发的标势 和矢势 。 表示场点坐标， 表示源点坐标。 和 分别表示t时刻在 点处的标势 和矢势 和 分别表示 时刻在 处的 也就是说, 时刻在 处电荷或电流产生(chnshng)的场并不能在同一时刻 就到达 点，而是要推迟一个传输时间t

13、，而且共五十一页由于t ，故 t 时刻的势 和 晚于场源辐射的时刻 ，即空间势的建立与场源相比推迟了 。因此将此时的 和 称为推迟势。推迟势的意义: 推迟势的重要性在于说明了电磁(dinc)作用是以有限速度 向外传播的，它不是瞬时超距作用。换句话说：电荷、电流辐射电磁波，而电磁波以速度 脱离电荷、电流向外传播。这就是推迟势所描写的物理过程。场的建立需要时间，而相互作用的传播速度在真空中为c。 共五十一页证明推迟势 、 满足(mnz)洛仑兹条件微分只对x进行：共五十一页对r 而言，有:共五十一页0共五十一页电荷(dinh)守恒定律: 和 的解满足Lorentz条件:共五十一页3 电偶极辐射(fs

14、h) Electric Dipole Radiationl本节仅讨论电荷分布以一定(ydng)频率做周期运动，且电荷体系线度远远小于电荷到观测点的距离的情况。l电磁波是从变化的电荷、电流系统辐射出来的。宏观上，主要是利用载有高频交变电流的天线产生辐射；微观上，一个做变速运动的带电粒子即可产生辐射。共五十一页计算辐射场的一般公式设电荷电流(dinli)分布：令: 时谐波因子 是推迟作用因子，表示电磁波传到场点时有的相位滞后。随时间正弦或余弦变化共五十一页同理：根据洛仑兹条件可以(ky)得到矢势与标势的关系：矢势 完全确定了电磁场。此情况下电磁场也是时谐电磁场：（在 的区域成立）共五十一页2 矢势

15、 的展开(zhn ki) 相关物理量的线度(1) 电荷分布区域的线度l，它决定积分区域内 的大小(2) 波长 的线度；(3) 电荷到场点的距离r。本节研究分布于一个小区域内的电荷(电流)产生的辐射对于r 和的关系，可分为三种情况：(1) 近区（似稳区）kr l。介于似稳区和辐射区的过渡区域中。(3) 远区（辐射区）r ，而且也保证rl。主要讨论电流分布于小区域而激发的远区场。共五十一页选坐标(zubio)原点在电流分布区域内则 与l 同数量级， 的小电荷、电流(dinli)区域的级数展开oxyzP将 在 点展开：设场点到小区域电荷、电流中某点 的距离（小区域的线度）远区（辐射区）为 方向单位矢

16、量共五十一页其中 为 方向单位矢量。因为 ，所以仅取前两项而舍去高次项得到(d do)(略去 等高次项)相因子(ynz)中的不能略去共五十一页 ,舍去分母中的 ,而相因子中的 相对 不一定是小量(xioling)利用 将相因子对 展开，得: 求解 的公式条件下辐射场的近似(jn s)公式：共五十一页当时偶极辐射(fsh)公式3 偶极辐射(fsh) 电偶极子天线的形成的演示开放的LC 电路就是大家熟悉的天线!当有电荷（或电流）在天线中振荡时，就激发出变化的电磁场在空中传播。共五十一页 用 表示偶极辐射矢势 偶极辐射(fsh)的电场强度和磁感应强度 在计算辐射场时，需要对 作用算符由于(yuy)讨

17、论远区场时，只保留 的项，而算符 作用到分母上产生的高次项忽略不计，故仅需考虑作用到相因子 上，作用结果相当于代换： 共五十一页考虑(kol)远区条件 ， ，即 ， 则有：共五十一页在 条件下偶极辐射的磁感应强度(qingd)和电场强度(qingd)：若选取球坐标(zubio)，原点在电荷电流分布区域内，并以 方向为极轴，则得到：共五十一页只有在略去 高次项后, 才近似(jn s)为横向的磁感应线是围绕极轴的圆周, 沿纬线上振荡， 总是横向的;电场线是经面上的闭合(b h)曲线, 沿经线上振荡;共五十一页讨论：（1）电场沿经线振荡，磁场沿纬线振荡，传播方向、电场方向、磁场方向相互正交构成右手螺

18、旋关系；（2）电场、磁场正比(zhngb)于 ，因此它是空间传播的球面波，且为横电磁波（TEM波），在时可以近似为平面波； （3）注意如果 （ ）不能被满足，可以证明电场不再与传播方向垂直，即电力线不再闭合，但是磁力线仍闭合。这时传播的是横磁波（TM波）。共五十一页4 辐射能流、角分布和辐射功率 P165a) 辐射场的能流密度、角分布 b) 平均功率：单位时间内通过半径为 R 的球面向外辐射的平均能量(nngling)，称为辐射功率（Radiation power） 角分布z与电磁波的频率(pnl)4次方成正比 5 短天线的辐射 辐射电阻 p166；199共五十一页7 电磁场的动量(dngli

19、ng) Momentum of Electromagnetic Field 电磁场和带电体之间有相互作用力。场对带电粒子施以(sh y)作用力，粒子受力后，它的动量发生变化，同时电磁场本身的状态亦发生相应的改变。因此，电磁场也和其它物体一样具有动量。辐射压力是电磁场具有动量的实验证据。 本节从电磁场与带电物质的相互作用规律出发导出电磁场动量密度表达式。共五十一页1 电磁场的动量(dngling)密度和动量(dngling)流密度 考虑空间某一区域，其内有一定电荷分布，区域内的场和电荷之间由于相互作用而发生动量转移；另一方面，区域内的场和区域外的场也通过界面发生动量转移。 由于动量守恒，单位时间

20、从区域外通过界面 S 传入区域V 内的动量应等于V 内电荷的动量变化率加上V 内电磁场的动量变化率。利用Maxwells equations和Lorentz力公式导出电磁场和电荷体系的动量守恒定律。 带电物体受到的电磁力洛仑兹力密度(md):带电物体受力:用 代表带电物体的动量，根据牛顿第二定律有共五十一页 电磁场的动量(dngling)守恒定律对有限区域V: 考虑电磁场通过界面发生动量(dngling)转移，则单位时间流入界面的动量(dngling)等于区域内总动量(dngling)的变化率, 即单位时间流入V 内的动量：全空间动量守恒：电磁场动量 用场量表示洛仑兹力公式加上一个为零的恒等式

21、：共五十一页各向同性介质:共五十一页动量(dngling)密度与动量(dngling)流密度张量令：动量(dngling)守恒的微分形式电磁场的动量密度电磁场的动量流密度共五十一页动量密度单位时间流进V 的动量流电磁场的动量流密度张量即单位时间通过V 的界面上单位面积的动量。动量(dngling)守恒的积分形式V内电荷(dinh)系统和电磁场的总动量变化率通过界面 S 流进 V 的动量流共五十一页讨论：若积分区域V 为全空间，面积分项为零,则有:带电体的机械动量的增加等于电磁场动量的减少 电磁场动量 电磁场动量密度( electromagnetic field momentum density)若把带电体和电磁场看作一个(y )封闭的力学体系，则体系的机械动量和电磁动量之和是守恒的。共五十一页b) 若积分区域V 为有限空间，则面积分项不为零，即等式左边项表示机械动量，右边第二项代表了电磁动量,则右边第一项也必然具有动量的意义，该项是面积分，将其解释为穿过区域V 的边界面 S 流入V 内的动量流。故称 为电磁场动量流密度(md)(