2022年12函数的极值教案

1、1.2 函数的极值一、教学目标懂得并把握函数极值的概念；能利用导数求函数的极值；把握求函数极值的方法和步骤；二、教学重、难点函数在某点取得极值的条件,利用导数求函数的极值的方法和步骤；三、学问链接导函数的符号与函数单调性的关系：假如在某个区间内, 函数yfx的导数fx0,就在这个区间上, 函数yfx是 增加的是假如在某个区间内, 函数yfx的导数fx0,就在这个区间上, 函数yfx削减的四、学习过程学问点一：极值的定义问题 1 观看函数fx2x36x27的图像,并摸索以下问题：yfx yf 0y 642 Q 2O x O a 1x x 2 b x f 2图 1 图 2 （1）观看函数 y f

2、x 在点 x 0 处的函数值 f 0,比较 f 0 与邻近点的函数值的大小？x 0 点是函数的最大值点吗？f 0 的函数值大于其邻近点的函数值,x 0 点不肯定是最大值点；（ 2）观看函数 y f x 在点 x 2 点处的函数值 f 2,比较 f 2 与邻近点的函数值的大小？x 2 点是函数的最大值点吗？f 2 的函数值小于其邻近点的函数值,x 2 点不肯定是最小值点；像这样的,反映函数在某一个点邻近的大小情形,刻画的是函数的局部性质的值称为极值；问题 2 极值的定义类比图 1 中详细函数的极值,写出函数极值的一般性定义：等于如图2,在包含类1x 的一个区间a,b内,函数f x 在任何一点的函

3、数值都小于或1x 点的函数值,称点1x 为函数f x 的 极大值点,其函数值f1x为函数的极大值等于如图 2,在包含类x 的一个区间a,b内,函数f x 在任何一点的函数值都小于或x 点的函数值, 称点x 为函数f x 的 微小值点, 其函数值f2x为函数的微小值极大值与微小值统称为极值；例 1 极大值点与微小值点统称为极值点；找出图中的极值点极大值点是： d ,f ,h 微小值点是： c,e,g 反思 1：（1）函数的极值是唯独的吗？函数的极值不是唯独的,即一个函数在某区间上或定义域内可能有多个极大值或微小值2 极大值与微小值之间有无确定的大小关系 .请举例说明 . 极大值与微小值之间无确定

4、的大小关系；即一个函数的极大值未必大于微小值,如上图所示, f 是极大值点, c 是微小值点,而 f c f f 3 极值肯定是最大值或最小值吗？极值不肯定是最大值或最小值 . 极值是就某一点邻近的小区间而言,是函数的局部性质,由极值的定义知,极值只是某个点的函数值与它邻近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小函数的极值点肯定显现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点问题探究二：连续函数图像特点与导数关系：观看图像并类比于函数的单调性与导数关系的讨论方法 关系 .（完成表格）极大值与导数的关系：,

5、总结极值与导数之间有什么o y a fx 0f0 xb 0 x fxx 左侧0 xx 右侧f xx（符号）0=0 0X0 fx（单调性）递增极大值递减微小值与导数的关系：y f x 0fx 0fx0 x fx0 x 左侧0 x0 x 右侧x（符号）0=0 0o a x0b fx（单调性）递减微小值递增反思 2：如何判定极值f x 0是极大值仍是微小值？31 假如在 x 0邻近的左边fx 0,右边fx 0,那么 fx 0是极大值 . 2 假如在 x 0邻近的左边fx 0,右边fx 0,那么 fx 0是微小值例 2 求函数fx2x33x236x5的极值解：由于fx 6 x2 x3 ,令f x 0,

6、解得1x2,x2当 x 变化时,f x ,f x 的变化情形表：x,2 22 3, 3 ,3y+ 0 0 + yfx 极极大小所以,当x2时,函数有极大值,且极大值为f249,当x3 时,函数有微小值,且微小值为f376反思 3 求函数极值的步骤是什么？（1）求导数f x0,顺次将函数的定义域分成如干个开区间,并列（2）解方程f x =0,利用方程的根成表格（3）由f x 在方程f x =0 的根左右的符号,来判定fx在这个根处取极值的情形: 如 f x在 x0 两侧的符号 “左正右负 ”,就 x0 为极大值点 ; 如 f x在 x0 两侧的符号 “左负右正 ”,就 x0 为微小值点 ; 如

7、f x在 x0 两侧的符号相同,就 x0 不是极值点 变式 1 判定以下函数是否有极值,如有极值,恳求出；如没有极值,请说明理由；（1）y1x3x24xx1230所以函数fx在 R 上为增函数,无极值；3fxx22x4（2）y8x312x26x1y24x224x6,令y0,即24x224x60,解得x12当x1时,y0；当x1时,y022即在x1的邻近 y 不变号,所以此函数无极值；2反思 4 （1）对于可导函数在某点 x 处取得极值的条件是什么？可导函数在某点 x 0取得极值的充要条件 fx 0=0 且点 x 0的左右邻近的导数值符号要相反（2）“ 点 x 是可导函数 f x 的极值点” 是

8、“f x 0 0” 的什么条件？可导函数的极值点肯定是它导数为零的点 ,反之函数的导数为零的点 ,不肯定是该函3数的极值点 .例如 ,函数 y x ,在点 x=0 处的导数为零 ,但它不是极值点 ,缘由是函数在点x=0 处左右两侧的导数都大于零 . 因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件号.即“ 点 x0 是可导函数 fx 的极值点” 是“f,其充分条件是在这点两侧的导数异 x0 0” 的充分但不必要条件 ; 变式 2 函数fxx3ax2bxa2在x1时有极值 10,就a,b的值为（C ）A.a3 b3或a4 b11B.a,3 b3C.a4 b11D.以上都不正确f110即1-abba2010解：由题设条件得：32a11符合题意f10解之得a3或a4通过验证,只有a4 bb3b11（为什么要检验？）归纳总结：1懂得极值的定义需留意哪些 2. 判别 fx0是极大、微小值的方法 : 3. 求可导函数 fx的极值的步骤 :课堂练习 1：以下说法正确选项（D ）为fxx的微小值A.如fxfx0,就称f0 x,就称f0 x为fx的极大值B.如fxfx0的极大值,就ffx0C.如f0 x为fxD.极值点肯定显现在定义区间的内部分析：反例 y x,由极值的定义知极大值不肯定比定义域内的全部函数值都大；如函数在某点处存在极值,就应在该点邻近的左右两侧的导数存在,并且 f x 的符号相