DSP-用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器

1、6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器1 利用模拟滤波器来设计数字滤波器，就是从已知的模拟滤波器传输函数Ha(s)设计数字滤波器的系统函数H(z)。说明 :2注意1) 关键在于找到这种转换关系;转换 2) 因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。即S平面的左半平面 必须映射到Z平面单位圆的内部。 3 3) 数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响，s平面的虚轴映射z平面的单位圆，相应的频率之间成线性关系。4传输函数从 转换到 的方法脉冲响应不变法 2)双线性变换法 5核心原理： 通过对连续函数 等间隔采样得到离散序列 其中 T为采样间隔 它是一种时域上的转换方法。一 脉

2、冲响应不变法6转换步骤71 .模拟滤波器的传输函数与相应的数字滤波器的系统函数之间的关系模拟滤波器的传输函数相应的数字滤波器的系统函数8关系9 2 与 的关系设ha(t)的采样信号用 表示，10结论即,模拟信号 的拉氏变换Ha(s)在s平面上沿虚轴按照周期 延拓后得到一条条宽度为 的水平带，再映射到z平面上,就得到 ,如图6.3.1所示。11图6.3.1 z=esT,s平面与z平面之间的映射关系12标准映射关系上式可称为标准映射关系。13映射情况左半平面单位圆内s平面z平面右半平面单位圆外虚轴单位圆上14对标准映射关系的分析结论： 若 因果稳定，转换后得到的 仍是因果稳定的。15注意z=esT

3、是一个周期函数；模拟低通的最高截止频率会超过折叠频率 ，因此标准映射关系的周期性会造成混叠失真。16 图6.3.2 脉冲响应不变法的频率混叠现象17说明 1）脉冲响应不变法设计的数字滤波器可以很好地重现原模拟滤波器的频响；2）数字滤波器频率响应幅度还与采样间隔T成反比，如果采样频率很高，即T很小，数字滤波器可能具有太高的增益，这是不希望的。 3）一般Ha(s)的极点si是一个复数，且以共轭成对的形式出现，这一点可用来简化设计。18优缺点分析优点1）频率坐标变换是线性的，即，=T 故这种方法会很好地重现原模拟滤波器的频 率特性；2) 脉冲响应不变法使得数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的

4、单位冲激响应，也就是时域逼近良好.19缺点： 有频率响应的混叠效应。 所以， 脉冲 响应不变法只适用于带限的模拟滤波器(例如， 衰减特性很好的低通或带通滤波器)，不适合高通和带阻滤波器的设计。206.4 双线性变换法21引言脉冲响应不变法缺点：容易产生频域混叠原因：模拟低通的最高截止频率超过了折叠 频率 .改进措施: 采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到 之间，再用 转换到 平面上。22正切变换实现频率压缩：一双线性变换式中T是采样间隔；23T是采样间隔。当 从 经过0变化到时， 则由 经过0变化到 ，实现了s平面上 整个虚轴完全压缩到s1平面上虚轴的之间的转换，因此有：24

5、(1)(2)或(1)或(2)称为双线性变换。通过标准映射关系转换到z平面上可得：25图6.3.3 双线性变换法的映射关系26模拟频率和数字频率之间的关系(3)(4)27缺点： 除了零频率附近， 与 之间严重非线性2）要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型，不然会产生畸变；分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器，但临界频率点产生畸变. 1）线性相位模拟滤波器 非线性相位数字滤波器避免了频率响应的混叠现象优点：双线性变换法优缺点28 在实际设计中，如果设计指标中边界频率以数字频率的形式给出，则需要按照式(3)和(4)求出相应的模拟滤波器的边界频率，这种计算方法就称为“预畸变校正”。经过

6、这样的校正处理后，才能保证设计出来的Ha(s)转换成H(z)后仍满足给定的数字滤波器的技术指标。预畸变校正296.5 数字高通、带通和带阻滤波器的设计注意:可以借助于模拟滤波器的频率变换设 计一个所需类型的模拟滤波器,再通过 双线形变换将其转换为所需类型的数 字滤波器30设计步骤(数字高通) (1) 确定所需类型数字滤波器的技术指标。(2) 将所需类型数字滤波器的技术指标转换成所需类型模拟滤波器的技术指标，转换公式为31 (3)将所需类型模拟滤波器技术指标转换成模拟低通滤波器技术指标。 (4)设计模拟低通滤波器。(5)将模拟低通滤波器通过频率变换，转换成 所需类型的过渡模拟滤波器。(6)采用双

7、线性变换法，将所需类型的过渡 模拟滤波器转换成所需类型的数字滤波器。326.6 IIR 数字滤波器的直接设计法特点:适合设计任意幅度特性的滤波器33 1. 零,极点对系统特性的影响 一. 零极点累试法极点:影响幅度特性中峰值位置及其尖锐 程度 . 零点:影响幅度特性中谷值位置及其凹陷 程度 . 342.设计方法按照零,极点写成系统函数，画出其幅度特性并与希望进行比较.如不满足要求,可通过移动零,极点位置或增加(减少)零,极点进行修正.35注意(1) 极点必须位于z平面单位圆内，保证 数字滤波器因果稳定；(2)复数零极点必须共轭成对，保证系统函数有理式的系数是实的。362.在频域利用幅度平方误差最小法设IIR滤波器由K个二阶网络级联而成，系统函数用H(z)表示，式中，A是常数； 是待求的系数；37方法设 是希望设计的滤波器频响。在(0，)区间取 点数字频率在这 点频率上，比较 和38写出两者的幅度平方误差E为E是有(4K+1)个未知数的函数. 求出这些未知数的原则: 是使函数E的取值最小。39方法 利用偏导数求极值确定E的(4K+1)个未知数,从而确定的系统函数.403. 在时域直接设计IIR数字滤波器 设我们希望设计的IIR数字滤波器的单位脉冲响应为hd(n)，要求设计一个单位