船舶流体力学第6章

1、第六章势流理论（一）势流指的是理想流体的无旋流动。本章主要讨论：理想不可压缩平面势流的求解方法。流场中各点的流体微团的旋转角速度为零的流动称为无旋流动（有势流动）。一般来讲，具有粘性的实际流体都作有旋运动；在某些情况下，粘性对流动的影响很小，以致可以忽略时，则可按理想流体处理。理想流体的运动可以是有旋的，也可以是无旋的。当流体是理想的，且质量力有势时，从静止或无旋状态起动的非恒定流动（水库泄水、波浪运动）均匀来流绕物体的流动（除边界层外）都是无旋（有势）流动。势流理论，尤其是平面势流理论，具有很大的实用意义。实际流体运动，只有在切应力较小，可以忽略不计时，才可作为理想流体处理，有可能按有势流来

2、求得近似解。如绕流运动，将流场划分为两个区域：紧靠固体边界的粘性起作用的区域，用粘性流体边界层理论求解；不受固体边界阻力影响，粘性不起作用的区域，用理想流体势流理论求解。6.1无旋运动和速度势.速度势函数及势流:我们知道：每一流体微团的旋转角速度都等于零的流动，称为无旋流（无涡流）这时:VyVxy0,VyVxy由高等数学知：上式是对于无旋流，有:Vz yVxzVyzVzx使vxdxVydyVxdxVydyVzyVxzVyzVzxVzdz成为某一函数 的全微分的充分必要条 件。Vzdzd dx dy dz x y zvy,（x, y, z）称为速度势函数。一Vx,x由于无旋流有速度势函数存在，故

3、无旋流又称为有势流。将：Vx，Vy,Vzxyz代入不可压缩流体的连续性方程：工*0 xyz TOC o 1-5 h z 222得：0即，20 HYPERLINK l bookmark121 o Current Document xyz满足拉普拉斯方程的函数，称为调和函数。分析有势流动时，显然只要求解拉普拉斯方程，找出未知函数，就可求得各流速分量。这就简化了分析求解过程。Vx在圆柱坐标系（r,x）中，三个速度分量为：vr,v,vx。Vr一,Vr相应的速度势函数的拉普拉斯方程为：二.速度势函数的性质：.若流体不可压缩，流速势函数满足拉普拉斯方程，是调和函数。.流线与等势面相互垂直等势面上：（x,y

4、,z）C,d0在等势面上任取：dldxidyjdzk,与该点流速：vVxiVyjVzk的点积:fffc-vdlVxiVyjVzkdxidyjdzkVxdxVydyVzdzd0?可见，流速矢量与等势面垂直。而流速矢量与该点流线相切，故流线与等势面垂直。?若为平面流动，则流线与等势线垂直。.速度势对任一方向n的偏导数，等于流速矢量在该方向的投影。即，一Vnn.速度势的值沿流线s方向增大。d设昉向为流线方向。由于：Vsvdvdssds而沿流向v0。故ds0时,d0。三.不可压缩流体的平面势流:流场中各点流速都平行于某一平面，而且所有流动参数在此平面的垂直方向都不发生变化，这种流动称为平面流动。平面流

5、动（或称二元流动）应满足的条件：平面上任何一点的速度和加速度都平行于所在平面，无垂直于该平面的分量；与该平面相平行的所有其它平面上的流动情况完全相同。如图所示，机翼绕流为平面流动。比如，分析船舶在水面上的垂直振荡问题。因船长比宽度及吃水深度大得多，且船型纵向变化比较缓慢，可近似认为流体只在垂直于船长方向的平面内流动。如图所示，属于平面问题。又例如:平面流动采用平面直角坐标系，则不可压缩流体的平面势流应该满足:连续性方程：工乜0无旋条件：，y，x0 xyxy如果存在物体壁面,速度应该在物面上满足边界条件：物面法向流速为零:这里为物体壁面,n物面边界的外法向。无穷远处流速:求解不可压缩流体平面势流

6、问题的主要任务就是寻求满足以上方程组和边界条件的速度矢量。考虑到:Vxvy边界条件又可写成:物面法向流速为零:-ix无穷远处流速:-i x对于不可压缩流体的平面势流,连续性方程:0这里为物体壁面,1-V若采用平面极坐标系，则:Vrn是物面边界的外法向。rvr v- 0 r无旋条件:rrvVr0（复合势流）O复合势流的速度势为简单势流的速度势的代数和，且满足拉普拉斯方程。即:复合流动的速度等于被叠加势流的速度的矢量和。即:Vi拉普拉斯方程为：6.2不可压势流的基本方程和边界条件.拉普拉斯方程的解的可叠加性:势流的一个重要特性：可叠加性。势流叠加原理：几个简单势流叠加合成的流动仍为势流.欧拉方程的

7、积分:理想流体的运动微分方程又称为欧拉运动微分方程。即,DvDtV-(V)V式中：（v、Vx)VxVx一xVxVx一xVyVzVy-Vz一xxVxVy一VyVxVzzx2Vzyvyz同理，可得:(v)vy2Vxzvzx故:(v)v(v)Vz2vyxvx将上式代入欧拉运动微分方程，得:即,这个方程称为格罗米科兰姆方程。若流体是正压的，有:Pf若质量力有势，则：fUPfU将以上二式代入格罗米科兰姆方程。可得:.常常、沿流线积分一一伯努利积分:在流线上取微元长度dl,vdl0。方程（1）化简为:Pfdl上式沿流线积分，得:Pf这就是伯努利积分,它表明：对于正压的理想流体，在有势质量力作用下作定常流动

8、时，同一流线上:2PFUC2这个方程也称为伯努利方程，我们曾在4.1中得到，并详细讨论过这个方程。2.无旋流的积分一一柯西一拉格朗日积分:对于无旋流动，有:这时方程（1）化简为:上式在全流场积分，得:Pf2v一一PfU0t2C(t)若流体不可压缩，则：PFp若质量力仅是重力，有：Ugz2 TOC o 1-5 h z 将以上二式代入方程(2),可得：-pgzC(t)(3) HYPERLINK l bookmark75 o Current Document t(3)式将会在后面讨论波浪运动时用到。2若流动定常，则(3)式化简为：-pgzC(4)2(4)式就是重力作用下定常不可压缩流动的伯努利方程。

9、三.势流问题的求解方法：势流问题的求解实际上就是寻求满足边界条件和初始条件的Laplace方程的解(x,y,z,t)。解拉普拉斯方程一。一v一p一流体作用于固体的力和力矩。求解拉普拉斯方程的方法主要有：.解析法：对于简单边界问题的拉普拉斯方程可用解析法求解。而工程问题一般边界条件较复杂，不能求得解析解。.奇点法(基本解叠加法)：利用几种简单的基本解叠加，反过来检验是否满足所给的初始条件和边界条件。若满足则几个基本解叠加后的调和函数就是所需要的解。由于势流的基本解在数学上是奇性的，因而这种方法称为奇点法。.保角变换法：这种方法适用于平面不可压缩势流。它将复杂边界经过多次保角变换转换成简单边界，求

10、解之后再根据变换关系返回去以获得复杂边界问题的解。.数值解法：这种方法适用于复杂边界问题的求解，它将微分方程改写为有限差分方程，将求解流场划分成网格，要求每一网格节点上的函数值与其周围四个节点上的函数值之间符合拉普拉斯方程所规定的差分关系。.流网法：这种方法是一种手工图解法，它适用于平面不可压缩势流，利用等势线和流线正交的特性，设法绘制出正确的流线、等势线网格一一流网。获得了正确的流网，就可求出流速以及流量等参数。图示为流体绕圆柱体无旋流动的部分等势线和流线，图中两簇曲线正交。由速度势函数和流函数的性质不难判断，部分曲线与圆正交的那一簇是等势线，而其中一条与物面相重合的那一簇是流线。二维流动和

11、流函数二维流动（亦称二元流动）：流动参数是两个坐标和时间的函数，这种流动称为二维流动。二维流动包括平面流动和轴对称流动。.流函数的定义：对于不可压缩流体的平面流动，由数学分析知:vydxvxdy成为某一函数（x,y）的全微分的充分必要条件是:这恰好是不可压缩流体平面流动的连续性微分方程。这表明，对于不可压缩流体的平面流动，必有:vydxvxdyddxdyxy且：Vx ，Vyyx（x, y）称为不可压缩流体平面 流动的流函数。显然：只要是不可压缩流体的平面流动,就必有流函数存在。事实上只要是不可压缩流体的二维流动,不论是平面流动或是轴对称流动，都有流函数存在。.流函数的性质:.对于不可压缩流体的

12、平面势流，流函数也满足拉普拉斯方程，是调和函对于xoy平面上的平面势流，有: TOC o 1-5 h z 将：Vx，Vy HYPERLINK l bookmark252 o Current Document yx士士即，z0yx HYPERLINK l bookmark282 o Current Document 22代入上式，得：yx22即：一r一r0或，20 xy也就是说：对于不可压缩流体的平面势流，流函数w亦满足拉普拉斯方程。.等流函数线就是流线。若：(x,y) C, d 0Vydx Vxdy 0,即:dxVxdyVy这正是流线微分方程。.流过任意曲线的单宽流量等于曲线两端点流函数的值之

13、差，而与曲线形状无关证：如图，AB为任一曲线，在它上面任取微元长度dL。设垂直于平面的宽度为1,则流过dL的流量为：dQvndLvxdyvy(dx)vydxvxdydBBQdQdAA显然：Q值仅取决于A,B两点的流函数彳1,与曲线AB的形状无关。由于在物面边界上流函数的值是常数，所以物面边界也可以被当作是流场中的一条流线。反过来说,流场中任意一条流线也可以被看作是物面边界。222F20 xy这时，边界条件可写成:物面法向流速为零:无穷远处流速:ijVyx6.4复势和复速度对于不可压缩流体的平面势流,4和W同时存在，并有如下关系:Vx一一xyvy一y这个关系称为柯西黎曼(CauchyRieman

14、n)条件。引入复变函数W(z):(x,y)i(x,y)W(z)是复变量zxiy的解析函数。由复变函数的有关知识，我们知道:dWdzvxiVyvxivy称为复速度。复速度沿曲线L的积分为:dWdzidzdWllvxdxvydyvdllQi代入上式，可得:i iQidWdzdz即：lRedWQlImdW TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark483 o Current Document ll HYPERLINK l bookmark164 o Current Document 若L为封闭曲线，则：o5dzddiodl0ldzll即，绕封闭物面周线的复速度积分就等于绕物

15、面的速度环量。若采用极坐标，则:iz x iy r cos isin re这时：vxvrcosvsinvyvrsinvcos可得极坐标下的复速度公式：dWvxivvvriveidzxyr引入复势W之后，求解不可压缩流体平面势流问题就可以归结为求解复势W(z)。这时，边界条件可写成：物面法向流速为零：ImWC.无穷远处流速：-dWvxivydz|总之，不可压缩流体平面势流的求解途径是： TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark298 o Current Document 22途径一：200ijv HYPERLINK l bookmark212 o Current Do

16、cument xynxy这里：Vxvy一 HYPERLINK l bookmark2 o Current Document xy即，在第二类边界条件下求解拉普拉斯方程，可以采用基本解叠加法或者数值方法求解，通常只适用于求解规则边界的流动问题。 HYPERLINK l bookmark473 o Current Document 22vyC i j vy x途径二：20 xy这里:即，在第一类边界条件下求解拉普拉斯方程，可以采用基本解叠加法或者数值方法求解，通常只适用于求解规则边界的流动问题。途径三:求解析函数W(z)ImWdWdzv x iv问题。这里：vx ivy这属于复变函数理论中求解析函

17、数范畴的问题,dWdz可以采用保角变换。它适用于求解复杂边界的流动例1.已知不可压缩平面流动的流函数:3y_3x2y 2xy（1）求流速分量：（2）流动是否无旋？若无旋，确定其流速势函数。解：（1）其流速分量为:22Vx y x 2x, Vy (2xy 2y) 2xyyx2yVxVy2yyx故流动无旋，有势函数存在。vxdx vydy (y2 x2 2x)dx (2xy 2y)dyVxdx c(y)3, 222 x 2. .(y x 2x)dx c(y) y x T x c(y)而:2xy c (y) vy 2xy 2y yc(y) 2y2c(y)2ydyyc3故,xy2x-x2y2c(可令c

18、等于零)例2.设平面流动（a）vx=1,vy=2;流动（b）vx=4x,vy=-4y。（1）对于（a）是否存在流函数？若存在，求。（2）对于（b）是否存在速度势函数？若存在，求。解：（1）对于流动（a）有：*0上0 xy显然满足不可压缩流体流动的连续性方程，存在对应的流函数。ddxdyvydxvxdy2dxdyd（y2x）xy积分后得到：=y-2x（略去了积分常数）。对于流动有：工工0,以耳0 xxyy1vyvx2xy因此，满足无旋条件，存在相对应的速度势函数。22、vxdxvydy4xdx(4y)dyd(2x2y)积分后得到：4=2x2-2y2（已略去积分常数）6.5不可压平面势流的基本解.

19、均匀直线流:Vx用复势表示，为：W(z)(cosVcosVsin是解析函数。isin)(xiy)Ve把复势的实部和虚部分开，分别得到V(xcosysin),V(ycosxsin)对于=0:xcosysindWdzVx则:Vx,C.流线:ycosxsinC.ivyV(cosisin)W(z)Vz相应地：vxVy0.平面点源和点汇:在无限平面上，若流体从一点沿径向直线均匀的流出，这种流动称为点源。在无限平面上，若流体沿径向直线均匀地从各方流入一点，这种流动称为点汇。分析位于坐标原点的点源:Q 2 r VrCoQ 点源(汇)强度。注意到：vrdr(vrdrrv d )drIn r2 r 2W(z)

20、dr d r(v drrvrd )d2i In r i2QIn 2reQ ln 2若点源（汇）在z0点，则：W（z）Qln（zz0）2流线：=Ci,等势线：r=C2。平面点源流（Q 0 ）若点源（汇）在z0点，则:图片：平面点汇流(Q 0 ）,并且在坐标原点 的速度与压强。2ar (cos2 isin2 )之外（物体区域内）。所以：ar2 cos2ar2 sin 2k令=0,得到零流线：0,及：（k2它们是自原点出发的射线，把上半平面分成两个夹角为流速为：vr2arcos2v2arsin2是势流问题的解，则：,及：12nnnnl如果:并且：10,2n n0, 30,n在y=0(即=0及=)上，

21、vr2ar,v0.对坐标原点和y=0上的任意一点（r,0）或者（r,）列出伯努利方程。2(2ar)pP02于是得到y=0上的压强分布为：pp02a2r2五.平面势流叠加的例子:不可压缩流体势流问题的主要特点:.解是可以叠加的。.流动对时间的依赖关系由边界条件反映。.运动学问题与动力学问题可以被分开求解。下面简单证明，如果：1,2,3是势流问题的解。事实上：由于：2=21+22+23+则，必然有：20及:一0n如果又有：1i1j二ijxyxy则:就是满足所给边界条件的势流的解。1.直线流与点源流的叠加:水平均匀直线流的流速为：vconst.,1VxVrcosVrsin位于坐标原点，强度为Q的点源

22、:2&ln22现分析叠加后的流速，驻点位置及流线方程:VrcosQlnr2（1）.流速：Vrcos（2）.驻点坐标:Vr0,0时,.流线方程:rsin过驻点的流线方程:代入上式,确定VrsinQr2Vsinyrsin这就是过驻点的流线方程。当：X0。vysin-Q无意义2VC.C.Q2Vtan时,y如图，通过驻点的流线将流场分成两部分：由均匀直线流所引起的这部分流量皆在过驻点的流线之外流动，而由点源所引起的那部分流量皆在过驻点的流线之内流动。这样便可把通过驻点的流线视为固壁，仅分析其外部的绕流，这就是所谓的“二元半体绕流”。墩头部的流动。这种流动可完全模拟工程实际中的均匀流绕流桥2.螺旋流:现

23、研究点汇与点涡叠加所形成的流场:W(z)QInzInz22i等势线方程为:Qlnlnr2QlnrC.C1e等势线螺旋流流线方程为:ln r QC.rC2e又，由于:InVrrV22VrQ22 2r在流场任意两点2应用伯努利方程,有:PlP22 Q2 18 2ri2P2Pl。水轮机引水室中的旋转水流、旋风燃烧室中的旋转气流等都可以被近似地看成是此类流动。Q。若平行于x轴的直线若将点源与点涡叠加，则流体沿螺旋线由内向外流动，水泵压水室中的旋转水流就是这种流动。例4.设在（a,0）处有一平面点源，在（a,0）处有一平面点汇，他们的强度为流动和这一对强度相等的点源和点汇叠加。试问：此流动表示什么样的流

24、动并确定物面方程。解：叠加后的流函数为:tan叠加后的流场:VyyVyxatan1tan21tan1tan2tan1-孕xyyxayxaQytan2令3=0,得零流线即物面方程为:tan1x叠加后的势函数为:In,(xa)2驻点位置:图片VxVy2ay22xya2ay222xya2ay22ya畀nJIay2QV2Qxa(xa)2y2(xa)2,fQaW(xa)2y2y222(xa)y将流线替换成物面，该流动模拟流体绕卵形体的外部流动。点源推开流线，点汇收回流线。6.6绕圆柱体的流动.均匀流绕圆柱体的无环量流动:ra沿x轴正向的均匀直线流+位于原点偶极子:W(z)VV(xiy)Mxiy2xy流线

25、（=C）：即:令C=0,得零流线（即，通过驻点的流线）M2y0,或：x2V速度为V的均匀直线流+强度为C.的偶极子流=绕半径为的圆柱体的流动。2AAVa22arcosrvrVr2a-cosr令r=a,得到圆柱表面的速度:故，驻点为:速度环量:2vrd02a-2r2sind0无环量绕流2asinr2Vsin压力分布:沿圆柱表面（r=a）,vr=0。V2将：v2V定义压力系数:将：pPV2pFsinV2代入上式，得:CP24sin图片圆柱受力:FpndSS阻力为零:0；圆柱无环量绕流无升力,匕4商2代入上式,p(cosL0。得:一.2Cp14sinsinj)ad10圆柱体在理想流体中作等速直线运动

26、时,受到流体作用的阻力等于零。原因：没有考虑流体的粘性。绕圆柱的无环量流动理论分析的结果升力L=0压力分布对称于x轴；阻力R=0压力分布称于y轴。但这个结论与实测结果不一致：理论分析的结果称为达朗贝尔谬理，它在理论上很有意义。达朗贝尔谬理成立的条件可归纳为：.理想流体；物体周围的流场无界；物体周围流场中不存在源、汇、涡等奇点；.物体作等速直线运动；.物体表面流动没有分离。若其中的任一条件被破坏，则物体即将遭受到流体的作用力（阻力或升力）。CP=-3心理如悔体二.均匀流绕圆柱体的后环量流动：y1V8二glWFaa沿x轴正向的均匀直线流+位于原点偶极子+点涡：MiVW(z)VzlnzVz2z2z2

27、avrV12cosvrr令r=a,得到圆柱表面的速度：vr0驻点：v0得:sin4aV驻点位置取决于点涡强度r。仪宴范体r二,2ai.lnz:21-V1/sinrr2rv2Vsin2a若(3)若速度环量:柱表面压强分布:沿柱表面将：v2V定义压力系数:1,柱面上只有一个驻点：1,柱面上无驻点:2vrdoVr=0。sincpria,2sino2d2o（逆时针转向为正）有环量绕流V2rPV2代入上式,得:V2.PV12sin2aVV212sin2代入上式，得:Cp12sin222aV2aV*FpndSSpS12-V12sin2ndS0iVj22Va将：pp圆柱受力：阻力： R 0升力： L VI2

28、或由:v2 A八p p 12sin22 aV2阻力： R pa cos d 002升力： L pasin d V0圆柱有环量绕流有升力，无阻力升力的大小：流体的密度P、流速V.、环量r、和柱体长度的乘积。升力的方向：沿 V”方向逆速度环量旋转 90所对应的方向。升力产生的原因:图片圆柱：圆柱上下表面流动不对称、环量（旋转）、粘性。机翼：机翼周围流场不对称、环量（形状、攻角）、粘性。实验表明，圆柱在运动流体中旋转，当:1,且:一a 4V时，柱体表面上的流体在粘性作用下随柱体一起旋转，而且基本上不会发生分离现象。此时的流动也就相当于圆柱体的有环量绕流，其环量近似为2兀a2。所以，旋转圆柱体向前运动

29、时会受到垂直于运动方向的横向力。这种现象称为马格努斯（Magnus）效应。旋转的圆球形物体同样也会产生马格努斯效应。比如：旋转的排球、足球、乒乓球等都会在横向力的作用下改变其飞行方向。Buckan号上设置铅垂的旋转圆柱德国工程师弗来脱纳尔于1924年利用马格努斯效应在他的试验船以代替风帆，即旋筒推进器。推力：L在船前进方向的分力。L的分力旋转圆筒合速度V升力L V2009-1-31例5.圆柱体长10m,直径1m,在空气中绕自身轴旋转，并沿垂直于自身轴方向等速移动，自然风与V垂直。求圆柱体受力的流体作用力。V=40m/s=3.76r/su=30m/sHI解:23.62rad/s环量:2 aVs2

30、 a237.1m2/s, u2 V250m/ sV l 23188N。 6.7布拉修斯公式分析用复势表达的受力公式:已知物体边界线L和流场复势W(z)。dl物体受力：Fpndlp(dyidxj)ll上式中：dl dxi dyj ,nsinicosj,dzdxidyFx X pdylFy Y pdxl投影分别为：下面换一个角度分析。如图所示在物体周线上取微弧长dl,作用力为pdl在X和y方向的dX pdl sin pdy dY pdl cos pdx上式中，。为dl的切线方向与x方向的夹角。由于：dlsindy,dlcosdx得x和y方向的总力:FxX。pdyl作用力F和共轲作用力定义为：合力为

31、复数：FXiYFipdxidyl由伯努利方程可得物面上的压力：而在物体周线上：dzdlei TOC o 1-5 h z FyYpdxi共轲作用力：FXiYi:pdzi1212_12pp_V_vC_v222ii2,i2dleedze；v2ei2dzdW -v vedz TOC o 1-5 h z 而：iCei2dziCdzi白Cdxidy0又:iii2将二idW.故：F一dz2ldz此即为计算作用在物体上流体动力的布拉休斯（Blasius）公式。若绕任意形状柱体流动的复势W(z)=f(x+iy)已知，就可由Blasius公式求出作用在单位长度柱体上的共轲作用力，取实部即得X,取虚部加负号就是Y。

32、即:IRe2idWdz2dzdWdz2dzF|FJX2Y2如图，流体作用在任意形状柱体的力上对坐标原点的力矩为:dM 0 dY x dX y p xdx ydyM0 p xdxlydyzdzx Iy dx Idy xdx ydy I ydx xdyxdx ydy Re zd z-12一一将p C - v 代入M02口 p xdx ydy l由于C xdx ydyl2Cx2M 0 v xdx ydy2 l2-v Re zdz考虑到:dz dle i dlei e i2 dze而| V |之是实数，故上式可写成:22i2dWM0RevezdzRe0zdz2l2ldz上式即为计算作用在物体上的流体动

33、力矩的Blasius公式。若绕任意形状柱体流动的复势W(z)已知，利用上式，便可得单位长度柱体上作用力对原点的力矩。显然，要求任意形状物体剖面上的流体动力或动力矩，比如机翼、汽轮机叶片、水翼或螺旋桨剖面等，都可采用Blasius公式。实用中还经常用到升力系数、阻力系数和力矩系数:升力系数:ClL-V2S 2阻力系数： Cr一1 V2S力矩系数:Cm12-V2Sb2式中：S是指定的特征面积，b是某一指定的特征长度。 6.8库塔一儒柯夫斯基定理.库塔一儒柯夫斯基定理：在定常不可压平面势流中，作用在任意形状物体上的升力和阻力分别为：证明如下：如图，坐标原点位于物体剖面上，设物体周线L以外无奇点。作一

34、个任意半径的圆周L包围在内，则复速度在圆外处处解析（可展开为罗朗级数），在无限远处流体的流速为V0l将物体周线V 3,则有： HYPERLINK l bookmark152 o Current Document dW一一Vdz z即复速度在无限远点解析。函数在无限远点解析时其罗朗级数只有负整数哥的项, 为：dWAA2 HYPERLINK l bookmark504 o Current Document Ao2dzzzAo和A的确定：对照以上两式可得：A0V故复速度可展方因流体不可压缩，通过包围物体的任意周线l的体积流量为零。故有:dWdzdz根据留数定理:dz-A03与dz2iA1izzAi

35、TOC o 1-5 h z dW-1A2V2dz2izz将上式代入Blasius公式便可计算出共轲作用力：2dWdzdz2 izA22 z2dz根据留数定理其积分结果为:i V i i i V x iV y又：FXiY即阻力：R X V y l 0升力： L Y V这就是库塔儒柯夫斯基定理。二.决定环量的后缘条件:机翼剖面绕流如图所示，只有图（b）所示的流谱是符合实际的。也就是说，尖后缘的机翼剖面的后驻点必然在后缘上（或者说，在机翼剖面的后缘，上、下翼面的压力相等），这个条件称为库塔儒柯夫斯基条件。.机翼绕流环量形成的物理过程:0的过程中，环量产生的机理:,绕翼型 =0 。下面分析在静止流场中

36、的机翼从静止加速到V启动前流体周线上=0,且始终为零。突然启动，速度很快达V）,此时流动处处无旋流体绕过后缘尖点T流向翼背。B处速度为零，压力很高。流体从T流向B遇到很大逆压梯度，使边界层发生分离，形成反时针旋涡，即启动涡。起动涡流向下游，由汤姆逊定理知必产生一等值反向的涡（附作涡）。由于附着的作用，驻点B向后缘尖点T移动。在到达T点之前，不断有启动涡流向下游，r也不断增大，B不断向T点推移，直至到达T点为止。机翼以速度v。继续前进，后缘不再有涡脱落，r也不再变化。r只与翼面的几何形状及V。的大小与方向有关。最终，翼型上、下两股流体在后缘T处汇合，流向下游。翼剖面上、下两股流体将在翼剖面的后缘

37、处汇合，形成如下流动图案：翼型的上表面流线较密，速度大。翼型的下表面流线稀，压力大。机翼升力的一部分是由流过上表面的空气把机翼吸起来。并且上表面产生的负压对全部升力的贡献大于下表面的贡献。例6.用Blasius作用力公式求有环量圆柱绕流的作用力。a2i解：流场的受势及其导数：W(z)V(z)Inzz2dWdz2受力:dza2z由留数定理:i-V22iV22Va2z2iVa3zV2dzaf(z)dz2iresf(z)其中resf(z)=C1例7.求:解：iV2i由于：FXiYiV这个结果与前面6.6的结果完全相同。已知流函数:1）驻点位置;故:X0,YV100rsin12fr2）绕物体的环量;1

38、）驻点位置（先求速度场）：Vr100cos在物面上,令V9=0则零流线为r=5时,即驻点位置为:2）求环量:3）求速度:的圆柱即为物面。sins1rd在圆柱面上:4)求合力：若p=1000L=V”62823)无穷远处的速度；4）作用在物体上的力。100sin125r6282r25100sin1r628628s20005.74,s20.1174.26200sin丝85d10-2628(m/s)4r0Vsins4rsins100(m/s)kg/m3,则：6.28X107N/m,R=0O6.10这里研究奇点（点源（点汇）、偶极子、点涡等）周围存在固壁的流动。如图，Cl为固壁，在域内有一组奇点S,如果

39、在外放置一组镜像奇点S,这两组奇点构成的流场中有一条流线与Cl重合。,平壁面映像:例8.强度为Q的点源位于壁面右侧(2,0)点。求沿壁面速度分布。物理流动数学模型Qf ”Z 2)解：无界流点源复势：f(z)ln(z2)映像点源复势:2流场：W(z)ln(z2)ln(z2)2例9.y=0是一无限长固壁，在y=h处有一强度为的点涡。求固壁y=0上的速度。解:点涡在z0点：W(z)ln(z2 i TOC o 1-5 h z W(z)ln(zih)ln(z2i2iih)dW11hvxivy22dz2izihzihzh令y=0,得固壁面上的流速分布：hvx2-2xhvy 0W(z) 2-ln(z 2 l

40、n 2 i z2z0)2 zo -2 zo-ln(z zo) ln(z i2 iz0)ln(z zo)例如:zo=xo+iyXGG例如:R2W(z)VzzZo二.圆柱壁面的映像:R2zZ0例10.半径R的圆柱外zo处有一强度为Q的点源。求：流场的复势。解：zo点源无界流复势为：f(z)-Q-ln(zzo)2-R2R2QR2-QR2zozQzz0ffInz0In-Inzz2z2z2z即：fR2&ln-Qinz2z2&in2zoRQ*W(z)f(z)fln(zz0)inzz0inzz2也就是说W(z)由3个奇点的复势组成：位于z。的点源、位于点汇。zo*的等强度点源和位于圆心的.基本概念:6.13

41、附加质量物体在无界流体内的运动可分为两大类：.匀速直线运动：坐标系固结于物体上仍为惯性系，为均匀来流绕物体的定常流动。力分布、合力、力矩等。.非匀速直线运动：坐标系固结于物体上为非惯性系，为非定常流动问题。布、合力等。本节讨论无界流场中物体作非匀速直线运动的情形：无界流场中的非定常运动物体质量为可由前面介绍的方法求压不能采用前面介绍的方法求出压力分如图，取半径R非常大的球面2,2内流体以加速度a运动。物体运动使周围流体微团亦产生了大小和方向不同的加速度。因此，推动物体的作用力F不仅必须为增加物体的动能而作功，而且还要为增加周围流体的动能而作功。所以，外力F将大于设：F入称为附加质量（或称附连质

42、量）则：FFmaFi即为附加惯性力。附加惯性力:物体加速周围流体质点时受到周围流体质点的作用力。由上面知FI的方向与加速度方向相反。当a0时FiVO,即物体加速度运动时，FI为阻力；当aV0时，Fi0,即物体减速时，FI为推力。使物体既难加速也难减速O由于附加惯性力的作用，物体在理想流体中的变速运动相当于物体自身质量上增加了一个附加质量而在真空中运动。换句话说，理想流体增大了物体的惯性,.附加质量的计算:T内流体动能:v2dv2d上式中：v2对于在区域T及外边界2和内边界S上所定义的单值连续函数P, Q, R，由高斯定理:Pcos(n,x) Qcos(n,y) Rcos(n, z)dSPcos

43、(n, x) Qcos(n,y) Rcos(n, z)dSS将上式用于流体动能表达式可得:cos(n,x) xcos(n, y) cos(n, z) dS yzcos(n, x) xcos(n, y) ycos(n,z) dS z由方向导数定义知:cos(n, x) cos(n, y) xy-cos(n, z)zn-dS dSn 2 s n式中等号右边第一项可略去不计。对上式中的第一项可做简单分析如下:例如当圆柱体在静止流体中运动时，其绝对速度势为:vcos而，绕圆柱的相对速度势为:2ai 2 V cos r 比较速度势及其微分的量级：当2取足够大时，r 8,则:11 - 2rnr1-dS 2

44、0n rS 2 r 1 r动能计算式简化为:T dS2 s n令速度势为:V 0如是单位速度所对应的速度势，称为单位速度势。式中:(x, y,z,t) V V(t) 00(x,y,z)T V20 ds 1 V2T0 dS - V2 S n 2S-dS n相当于质量入称为附加质量（或称附连质量）三.绝对速度势、相对速度势和牵连速度势:.相对运动和绝对运动:物体在静止流体中以速度v (t)作非定常直线运动:大地坐标系 x, y, z :v(r,t)绝对（运动）速度. . . .一 * * : 平动坐标系x , y ,z* .v (r,t)* *v (r ,t)相对（运动）速度V(t)牵连速度:V(t)牵连（运动）速度绝对速度所对应的速度势称为绝对速度势，相对速度所对应的速度势称为相对速度势，牵连速度所对应的速度势称为牵连速度势。因为： 绝对速度=相对速