高二数学期末备考专题线性回归新人教A版选修3

1、2011届高二数学期末备考专题线性回归【重点难点讲解】.回归分析：就是对具有相关关系的两个变量之间的关系形式进行测定，确定一个相关的数学表达式，以便进行估计预测的统计分析方法。根据回归分析方法得出的数学表达式称为回归方程，它可能是直线，也可能是曲线。.线性回归方程设x与y是具有相关关系的两个变量，且相应于n组观测值的n个点（Xi, y）（i=1,n）A大致分布在一条直线的附近，则回归直线的方程为以。.线性相关性检验线性相关性检验是一种假设检验，它给出了一个具体检验 y与x之间线性相关与否的办法。在课本附表3中查出与显著性水平 0.05与自由度n-2 （n为观测值组数）相应的相关 系数临界值 r

2、 0.05。& S w 一不r - 由公式 伯! 白 ，计算r的值。检验所得结果如果|r| Wr 0.05,可以认为y与x之间的线性相关关系不显著，接受统计假设。如果|r|r 0.05,可以认为y与x之间不具有线性相关关系的假设是不成立的，即 y与x之间 具有线性相关关系。【典型例题讲解】例1.从某班50名学生中随机抽取10名，测得其数学考试成绩与物理考试成绩资料如表:序号12345678910数学成绩54666876788285879094物理成绩61806286847685828896试建立该10名学生的物理成绩对数学成绩的线性回归模型。AA解：设数学成绩为x,物理成绩为y,则可设所求线性

3、回归模型为y=010101010Yx =780 Yv. =800yr2 =62210,7 = 63413,计算E国汽i=l，代入公式得国日=0.7394 * 0.74, a = -0.14 = 22.28.137001010所求线性回归模型为=0.74x+22.28 。A说明：将自变量x的值分别代入上述回归模型中，即可得到相应的因变量的估计值y,由回归模型知：数学成绩每增加1分，物理成绩平均增加 0.74分。大家可以在老师的帮助下对自己班的数学、化学成绩进行分析。例2.假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用 y （万元），有如下的统计资料：x23456y2.23.85.56.57.0若由

4、资料可知y对x成线性相关关系。试求:（1）线性回归方程；（2）估计使用年限为10年时，维修费用是多少?分析：本题为了降低难度，告诉了 y与x间成线性相关关系，目的是训练公式的使用。 解：（1）列表如下：i12345xi23456yi2.23.85.56.57.0 xiyi4.411.422.032.542.049162536112.3-5x4x590-5x42= 1.23文演乃-5个i-l1 5 -7 5 口 M糕-15尸）于是 b=a= 5-123x4 = 0.08，线性回归方程为:A=bx+a=1.23x+0.08。（2）当x=10时，=1.23X10+0.0 8=12.38（万元）即估计

5、使用10年时维修费用是12.38万元。说明：本题若没有告诉我们 y与x间是线性相关的，应首先进行相关性检验。如果本身两个变量不具备线性相关关系，或者说它们之间相关关系不显著时，即使求出回归方程也是没有意义的，而且其估计与预测也是不可信的。例3.某省七年的国民生产总值及社会商品零售总额如下表所示：已知国民生产总值与 社会商品的零售总额之间存在线性关系，请建立回归模型。年份国民生产总值（亿元）社会商品零售总额（亿元）1985396.26205.821986442.04227.951987517.77268.661988625.10337.521989700.83366.001990792.5437

6、5.111991858.47413.18合计4333.012194.24解：设国民生产总值为X,社会商品零售总额为 y,设线性回归模型为y 山十九依上表计算有关数据后代入的表达式得：=0 4459577乂1440905854 433 01x2194,24 = 57g6724326 7x286751214-(433.01 - 1297595.838a = 2194 24 - 0.445957 ,= 37 4148.所求线性回归模型为 y=0.445957x+37.4148,表明国民生产总值每增加1亿元，社会商品零售总额将平均增加4459.57万元。例4.已知某地每单位面积菜地年平均使用氮肥量xk

7、g与每单位面积蔬菜每年平均产量yt之间的关系有如下数据：年份19851986198719881989199019911992x(kg)7074807885929095y(t)5.16.06.87.89.010.210.012.0年份 119931994199519961997199871999x(kg)92108115123130138145y(t)11.511.011.812.212.512.813.0（1）求x与y之间的相关系数，并检验是否线性相关；（2）若线性相关，求蔬菜产量 y与使用氮肥量之间的回归直线方程，并估计每单位面积施肥150kg时，每单位面积蔬菜的年平均产量。分析：（1）使用

8、样本相关系数计算公式来完成；（2）查表得出显著水平 0.05与自由度152相应的相关系数临界值0.05比较，若rr0.05,则线性相关，否则不线性相关。解：（1）列出下表，并用科学计算器进行有关计算：i123 456789101112131415xi707480788592909592108115123130138145yi5.1 6.06.87.89.0 10.210.012.011.511.0 11.812.2 12.5 1216258 13.0 xi yi357 44-4544608.4765938.4900 11401058118813571500.61766.41885 = 10；连

9、史2 = 101115152 = 161125,号丁； =n2&55,号彳必=16076.8 i-lt-1故蔬菜产量与施用氮肥量的相关系数：16076.8-15x101x10 110.8643.由于n=15,故自由度15-2=13。由相关系数检验的临界值表查出与显著水平0.05及自由度13相关系数临界值0.05=0.514,则rr0.05,从而说明蔬菜产量与氮肥量之间存在着线 性相关关系。A(2)设所求的回归直线方程为 =bx+a,则15一_ 卒M 75生 _ 16076.8-15x101x10 1175r:-L161125-15x101电 0 093La =-ix= 10,11- 0.093

10、1x101 0,7102,A回归直线方程为=0.0931x+0.7102 。当 x=150 时，y 的估值=0.0931 X 150+0.7102=14.675（t）。说明：求解两个变量的相关系数及它们的回归直线方程的计算量较大，需要细心谨慎计算，如果会使用含统计的科学计算器，能简单得到 尸1谆1 *1*】，谆1这些量，也就无需有制表这一步，直接算出结果就行了。另外，利用计算机中有关应用程序也 可以对这些数据进行处理。x-9-6.99-5.01-2.98-554.9994y-9-7-5-3-5.024.9953.998【练习精选】一、选择题1.观测两相关变量得如下数据:则下列选项中最佳的回归方

11、程为（）1,A. y x 12B.y1C. y = 2x + D.y= 2x+13解析：对表格中的数据进行适当的近似处理，分别代入选项中进行检验，每组数据都相差不多的直线模型为最佳回归方程 .仔细观察可以发现，表格的每组数据的x和y都近似相等,所以回归方程为y = x.答案：B2.下列两个变量之间是相关关系的是（）A.圆的面积与半径B.球的体积与半径C.角度与它的正弦值D.一个考生的数学成绩与物理成绩解析：相关关系不是确定的函数关系，这里A、B C都是确定的函数关系.答案：D3.想要检验是否喜欢参加体育活动是不是与性别有关，应该检验（）A.H0：男性喜欢参加体育活动B.H0：女性不喜欢参加体育

12、活动C.H。：喜欢参加体育活动与性别有关D.H。：喜欢参加体育活动与性别无关解析：独立性检验假设有反证法的意味，应假设两类变量（而非变量的属性）无关，这时的K2应该很小，如果 K2很大，则可以否定假设，如果K2很小，则不能够肯定或者否定假设.答案：D.已知一组观测值具有线性相关关系，若对于 ？= &+J?,求得9=0.51 , x = 61.75, y= 38.14 ,则线性回归方程为（）A. ? = 0.51x+6.65B.y?= 6.65x+0.51C. ? = 0.51x+42.30D.y?= 42.30X+0.51解析：a = y -ibx = 38.14 0.51 X 61.75 =

13、42.30.答案：C.下面关于卡方说法正确的是（）A.K2在任何相互独立的问题中都可以用于检验有关还是无关.K2的值越大，两个事件的相关性就越大C.K2是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量，当K2的值很小时可以推定两类变量不相关D.K2的观测值的计算公式是K2 =n(ad -bC)(a b)(c d )(a c)(b d)-.22解析：K只适用于2X2型列联表问题，且K只能推定两个分类变量相关，但不能推定两个变量不相关.选项D中K2公式错误，分子上少了平方 .答案：B二、填空题n(ad - bc).根据下表，K2-.（保留两位小数）-一 一 - _又发病启未移植手术Q40r未移植手术43P

14、2(a b)(c d)(a c)(b d)解析：把列联表的行和列的合计补充完整，可利用公式k2 =接计算.答案:1.39.下列命题：用相关系数r来刻画回归的效果时，r的值越大，说明模型拟合的效果越好；对分类变量X与丫的随机变量的K2观测值来说，K2越小，“X与丫有关系”可信程度越大;两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近1;其中正确命题的序号是 .(写出所有正确命题的序号)解析：正确的是，是由于 r可能是负值，中K2越大，“X与Y有关系”可信程度越大答案：三、解答题.在7块并排、形状大小相同的试验田上进行施化肥量对水稻产量影响的试验，得到如下表所示的一组数据(单位：kg).施化肥量X

15、15202530354045水稻厂量y330345365405445450455(1)画出散点图；(2)求y关于x的线性回归方程；(3)若施化肥量为38 kg ,其他情况不变，请预测水稻的产量解：(1)根据题表中数据可得散点图如下：,统计数据如下不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生有(2)根据回归直线方程系数的公式计算可得回归直线方程是? = 4.75X+257.把x = 38代入回归直线方程得 y = 438,所以，可以预测，施化肥量为38 kg ,其他情况不变 时，水稻的产量是 438 kg.积极参加班级工作不太主动参加班级工 作合计学习积极性高18725学习积极性一般61925合计

16、2426509.某班主任对全班 50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查 表所示：(1)如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽19人，概率为19 .50 TOC o 1-5 h z 一，一一 _、 2.一250(1819 -67)15011 5(2) K 二二11.5,24 25 24 26132.- K 6.635,有99%勺把握说学习积极性与对待班级工作的态度有关系10.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.x3456y2.5344.5(1)请画出上表数据的散点图；(2

17、)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y= t?(+c?；(3)已知该厂技改前 100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？(参考数值：3X 2.5+4 X3+5X 4+6X 4.5 = 66.5)解：(1)由题设所给数据，可得散点图如图.能艳:晚标准煤)54 35 屯2.(2)由对照数据，计算得4一 2Z Xj =86 ,i 12.5 3 4 4.544已知 xi yi = 66.5 , i 1所以，由最小二乘法确定的回归方程的系数为4_ _: xi yi - 4x y12 T66.

18、5 -4 4.5 3.5 幻 一 ,b? = -4=2- =0.7 ,3=y 取=3.5 0.7 X 4.5 =0.35,x42286 -4 4.52xi - 4x i 1因此，所求的回归方程为y=0.7x+0.35. 由(2)的回归方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗，得降低的生产能耗为90(0.7 X 100+0.35)= 19.65(吨标准煤).11.对某校学生进行心理障碍测试得到如下列联表：焦虑说谎懒惰合计女生5101530男生20105080合计252065110试说明在这三种心理障碍中哪一种与性别关系最大?解：由题设表格可得三个新的表格如下：关于是否得到焦虑的结论：焦虑不焦虑合计女生52530男生206080合计2585110关于是否说谎的结论:说谎不说谎合计女生102030男生10708