高中数学学业水平考试合格考知识点总结最新最全

1、高中数学学业水平考试(合格考)知识点总结2020.12.1第一章集合与常用逻辑.常用数集N:自然数集或非负整数集；N*或N + :正整数集；Z:整数集；Q:有理数集；R:实数集；C:复数集.集合间的运算并集：aUb x x A,或 x B ;交集：aAb x x A,且 x B ;补集：Cu A x x U,且 x A .包含关系aAb A AB; AUB ABA.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.集合骨02,，的子集个数共有2n个;真子集有(2n-1)个;非空子集有(2n T)个；非空的真子集有(2n W)个.充分、必要条件若p q,则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(1)若

2、 p q , q(2)若 p q , q (3)若 p q , q (4)若 p q , q若p q , q p,则p是q的充分必要条件，简称充要条件;p ,则p是q的充分不必要条件；p ,则p是q的必要不充分条件；p ,则p是q的充要条件；p ,则p是q的既不充分又不必要条件;.含有一个量词的命题的否定全称命题 p：xM ,q x; p :x0 M , qx0;特称命题 p：XoM,qx; p： x M, qx.第二章一元二次函数、方程和不等式.不等式的基本性质性质 1 ： abba；性质 3: a ba c b c;性质 5：ab,cd acbd；性质 7: a b 0an bn n *

3、;性质 2: a b,b c a c ；ac bc;性质 4: a bc 0 ac bqa b,c 0性质 6: a b 0,c d0 ac bd ；性质 8：ab0Va %/b n 2 .基本不等式：设a 0,b 0 ,则(1) a b 2而；(2) ab 52;当且仅当a b时，等号成立.2注：应用基本不等式的条件：一正，二定，三相等3.二次函数y ax2 bx c a 0的性质(1)开口方向：a0,开口向上；a0时，在，上递减，在,上递增；2a2a当a0时，在，上递增，在,上递减.2a2a4.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系(a 0)000二次函数y ax2 bx c(a 0

4、)的图象二，兀一次方程2.八ax bx c 0a 0的根启两相异实根xi,x2(xi x2)启两相等实根xi x2 A2a无实根2,cax bx c 0(a 0)的解集xx x1 或 x x2xx担 2aRax2 bx c 0 (a 0)的解集xxix x2第三章函数概念与性质.求函数定义域函数表达式y f x ：含分式：要求分母不为0；偶次方根：要求被开方数含对数式：要求真数0.函数y f x的单调性增函数：当x %时，f K f & ；反映在图像上，从左往右图像上升；减函数：当x 时，f K f 为 ；反映在图像上，从左往右图像下降.证明函数f(x)在区间D上单调递增或单调递减，基本步骤如

5、下：设值：设x1,x2 D ,且为 x2; 作差：f(x1) f(x2);变形：对f(x。f(x2)变形，一般是通分，分解因式，配方等，要注意变形到底;判断符号，得出函数的单调性.函数y f x的奇偶性奇函数：f x f x ,图像关于原点对称；偶函数：f x f x ,图像关于y轴对称；.奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反；(2)若奇函数y f x在原点有定义，则f 00;(3)奇、偶函数的运算奇函数 垃函数=奇函数；偶函数土禺函数=偶函数；奇函数 0, aw M0, N0,则：(1)loga(MN) loga M

6、 loga N ; loga M logaM log a N ; (3) log a M n nloga M (n R). N7.指数函数y ax a 0,a 1的图像与性质8.对数函数y loga x a 0,a 1的图像与性质指数函数y ax a 0,a 1与对数函数y loga x a 0,a 1互为反函数，它们 的图像关于y=x对称10.函数零点定义：把使f x 0成立的实数x叫做函数v= f(x)的零点.(2)函数零点与方程根的关系：方程f(x)=0有实根？函数y= f(x)的图象与x轴有交点？函数y = f(x)有零点.(3)零点存在定理：如果函数y=f(x)在区间a, b上的图象

7、是连续不断的一条曲线, 并且有f a f b 0 ,那么函数y= f(x)在区间(a, b)内有零点.第五章三角函数1.角度制与弧度制的互化：360 =2冗180 =冗1 rad=1800 = 57.30 =57 18- rad =0.0174rad1802.特殊角的弧度与角度互化如下:(T304560901200135150180a270fl360a0式6尸4T汽竺5尸 6n2 IT3.弧长及扇形面积公式弧长：l | |r,扇形面积：S 11r = 1 r2 (是圆心角弧度数，r是扇形半径).任意角的三角函数设 是一个任意角，它的终边上一点P(x,y),r 尸了.(1)正弦 sin y y-

8、, 余弦cos , 正切tan a. rrx各象限的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦 .同角三角函数的基本关系：平方关系：sin2cos2sin , tancos6.诱导公式sin(2k：t +o)=sin a ,sin(九目=-sina,sin(-o)=-sin a,sin(=sin “sin(c)=cosa, 2cos(2k 九 桢=cos “ cos( Tt=-cosa, cos(-a )=cosa, cos( -a)=-cosa,cos(- o)=sin atan(2k兀+c)=tana (k Z) tan(九 d)=tan a tan ( - a ) =-tan atan(皿o)

9、=-tan a(6) sin( +4=cosa2cos(+ o)=-sin a口诀：奇变偶不变，符号看象限7.特殊角的三角函数值O-30045。6(r9(Fi2(r135ISOsina01J呈 TT1T五2 一1ocosa1历202-12tana0县i6无意义-13058.正弦函数、余弦函数和正切函数的图像与性质三角函数y siny cosy tan图像i yF/ jt T 2 界/ XTyk2 / 2inJiV1 hyjoPn仆J1 )T定义域(-,+ )(-,+ )(k ,k 九 +)值域-1,1-1,1(-,+ )最大(小)值(k Z)当 x=2k 九 +时，ymax = 1 ；当 x=

10、2kT时，ymm = -1 2当 x=2k：t 时，ymax = 1；当x=2k 九 + 时，ymin = -1无奇偶性奇函数偶函数奇函数周期性T=2兀T=2兀T=7t单调性(kC z)在2k -,2k 一上增22在2k -,2k3-上减22在2k汇42k句上增在2kw2kTt可上减在 k 一, k 22内增对称性(k e z)对称中心：(k ,0)对称轴：x k 2对称中心：(k 一,0),2对称轴：x k对称中心：(k ,0)2汪：y Asin x 或y Acos x的取小正周期为T 口；y Atan x的最小正周期为T p9.两角和与差的正弦、余弦、正切S():sin()sincosco

11、ssin；&):sin( )sincoscossinC():cos(a)coscossinsin；C():cosa )coscossinsinT()：tan(tantanT,):tan()tantan1tantan(1 tantan b10.辅助角公式：a sinx b cos xa2b2 sinx ,其中:tan6a11.二倍角公式：S2 : sin2 2sincos2C2 : cos2 cos2_2sin 1 2sin_22 cos 1 ; T2:tan2.降幕公式：sin.函数 y Asin x. ccos - sin 2 ,2的图象变换sin21 cos22 cos2 tan1 tan

12、21 cos22由函数y sinx的图象通过变换得到y 法一：先平移后伸缩Asin(）的图象，有两种途径:y sin x向左（0）或向右（0）平移| |个单位sin(x )横坐标变为原来的纵坐标不变1倍y sin (纵坐标变为原来的横坐标不变y Asin( x )法二：先伸缩后平移横坐标变为原来的1倍y sin x纵坐标不变sin向左（0）或向右（0)y sin( x )平移|I个单位纵坐标变为原来的A倍横坐标不变y Asin(14.函数 y Asin x 当函数y Asin x的物理意义A 0,0,x0,个振动量时,振幅A:表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离;周期T往复振动一次所需要的时

13、间;频率f 1 红：单位时间内往复振动的次数; T相位：x ;初相：（即当x= 0时的相位）.第六章 平面向量及其应用.平面向量的相关概念：（1）平面向量：在平面内，具有大小和方向的量称为平面向量.向量可用一条 有向线段来表示.有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的 方向.向量a的大小称为向量的模（或长度），记作a（2）模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量.（3）与向量a长度相等且方向相反的向量称为a的相反向量，记作a.（4）方向相同且模相等的向量称为 相等向量.(5)平行向量(或共线向量)：方向相同或相反的两个向量，规定：零向量与任 意向量平行.向量的加

14、法运算：(1)三角形法则：首尾相连，连首尾，如 AB BC AC ;(2)平行四边形法则：公共起点，对角线.向量的减法运算：三角形法则，要求共起点，指向被减向量，如MB MC CB.数乘向量：实数 与空间向量a的乘积a是一个向量，称为向量的数乘向量.当0时，a与a方向相同；当 0时，a与a方向相反；当0时，a为零向量，记为0. a的长度是a的长度的| |倍.实数与向量的积的运算律： 设八以为实数，那么(1)入(a)=(入 a；) (2) ( X + a) = Xa +(ia ; (3)入 a b )= 2a + Xb .共线向量定理：向量5, b b 0 , a / b存在实数，使a b .两

15、向量的夹角：已知两个非零向量a和b ,在平面任取一点，作一a,b ,则 称为向量a, b的夹角，记作a,b , a,b 0,.向量垂直：对于两个非零向量a和b,若a,b -,则a, b垂直，记作a b.数量积：已知两个非零向量a和b,则lalbcosaB称为a, b的数量积，记作a b .即a b_ lallbcos a,b .规定：零向量与任何向量的数量积为 0 .投影向量：在b上的投影向量等于|可cos oe (其中二为与b同向的单位向量).数量积的性质：a2 a a .a,2同 Va-a ; (2) a b.向量的数量积的运算律：(1) a b =b a) ( a) b=(ab) = a

16、 b = a ( b );a b |a； 2a b+|b| , a+b a ba b 0 ; (3) cost a,b(交换律)；) ( a b ) c = a c + b c ;a2厂13.平面向量基本定理:如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数为、忆 使得a =%e1 +?2e2.不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 基底.14.坐标运算：（1）设 a Xi, yi , b X2, y2 ，则:a bXiX2, yiy2, 拈X, yx，y； a b“x2yy2 TOC o 1-5 h z (2)设A、B两点的坐标分别为

17、(xi,yi),(x2,y2),则ABX2KMyi.(终点减起点)，|aB| JaB AB 7(X2 Xi)2 (y2 yi)2(3)向量 a 的模ia 1： 1 a |2 a a x2 y2 a JXy2(4)向量 axi,yi,bX2,y2 的夹角，则 cos XiX2_ 磐2-.22.22.Xiyi X2y2.向量平行与垂直的坐标表示：(i)两个向量平行：a/ b a b ( R) , a/ bxm x21 0(2)两个非零向量垂直：a b xix2 y1y2 0.向量中一些常用的结论：(i)在 ABC 中，若 AXi,yi,BX2,y2,C 、则其重心坐标为 gXiX2X3yiy2y3

18、；33PG |(PA PB PC) G 为 ABC 重心； 3特别地，PA PB PC 0 P为 ABC的重心；PA PB PB PC PC PA P 为 ABC 的垂心；向量(星 Ji-)( 0)所在直线过 ABC的内心(是BAC的角平分线所在 |AB| |AC|直线)；(2) A、B、C共线 存在实数八 仙使得易=4港十疝C目乂 十句.三角形的四心垂心一一三角形的三边上的高相交于一点重心一一三角形三条中线的相交于一点外心三角形三边垂直平分线相交于一点内心一一三角形三内角的平分线相交于一点.三角形中的重要结论(i)在三角形中，大边对大角，小边对小角a b A B sin A sin B(2)

19、三角形内角的正弦值一定大于0,锐角的余弦值大于0,直角的余弦值等于 0,钝角的余弦值小于0.三角形中的诱导公式sin BCsinAcosBCcosAtan BCtan Asin ACsinBcos ABcosCtan ABtanCsin ABsinCcos ACcosBtan ACtanB920.正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容二 = =2R siig sinF siiiC（R是 ABC外接圆半径）a2 = b2+c2 - 2bccosA, b2 = a2+c2 - 2accosB, c2 = a2+b2 - 2abcosC义形形式a=2RsinA, b=2RsinB, c= 2Rs

20、inC;sinA= , sinB= , sinC= 2R2R2RasinB=bsinA, bsinC = csinB, asinC = csinAa： b: c=sinA： sinB： sinCcos,-於+-炉 coSB=,2acc产- cosC=2ab21.三角形常用面积公式11abc 1S = -ab sin C=- ac sin B= - bc sin A = - (a+b+c) r ( R, r 分别为 AABC 外224R 2接圆，内切圆半径)第七章复数.复数的概念形如a bi (a, bCR)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，a叫做实部，b叫做虚 部。全体复数所成的集合C叫做复数

21、集。复数通常用字母z表示.复数的分类z a bi a,b Ra+bi为实数？ b = 0a+ bi为虚数？ bw0a+ bi为纯虚数？ a=0且bw0.复数相等：a bi c di a c,b d(a,b,c, d R)也就是说，两个复数相等，充要条件是他们的实部和虚部分别相等.复数的几何意义：z a bi a,b R 对应Z a,b 对应 OZ a,b.复数的模向量OZ的模叫复数z a bi的模，记作z或a bi , z a bi 4ab2.共腕复数实部相等，虚部互为相反数，z a bi的共腕复数记作z a bi10.复数的运算法则设 zi = a+bi, z2=c+ di, a, b, c

22、, dC R4z2abi cdi(ac) (b d)iz14(a bi) (cdi)(acbd) (bc ad)iz1(a bi) (abi )(c di)(ac bd) (bc ad)iz2(c di) (c di) (c di)d28.实系数次方程的复数根对于实系数次方程 ax2 bx(1)当0时，方程有实数根:Xib2 4ac,X2(2)当0时，方程有两个虚数根:X12ab . 4ac bi4ac2a -b4acb2i2a(3)若 4其共腕虚数a bi是实系数次方程2ax bx c 0 a 02a的一个虚数根，则zi a bi也是它的一个虚数根，即方程的虚数根一定成对出现第八章立体几何初

23、步.空间几何体的结构特征(1)棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公 共边都互相平行.(2)棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形.(3)棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分， 棱台侧棱延长线必交于一点.(4)圆柱：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的 几何体(5)圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转U，其余两边旋转一周形 成的面所围成的旋转体(6)圆台：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分；圆台也可以看作是以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的

24、曲面所围成的几何体(7)球：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体.直观图(1)斜二测画法规则在己知图形中取互相重直的x轴或y轴，两轴相交于点O,画直观图时，把它们画成对应的x轴与y轴，两轴相交于点O ,且xOy =45 (或135);11已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴与y轴的线段；已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线 段，在直观图中长度为原来的一半.2(2)原平面图形与直观图面积之间关系：团=Sm，S原=2T2s直.43.棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积(1)表面积：棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的

25、面积的和.(2)体积棱柱：柱体的底面面积为S,高为h,则V=Sh棱锥：锥体的底面面积为S,高为h,则V=1Sh3棱台：台体的上、下底面面积分别为 S , S,高为h,则V 1s VsS S h3.圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积(1)表面积侧面积底回枳表面积圆柱(底面半径r,母线长1)2 rl2 r2 r r 1圆锥(底面半径r,母线长1)rl2 rr r 1圆台(上、下底面半径分别为r , r ,母线长1)r r 1S= r2,S = r222r r r 1 r1(2)体积圆柱体积：V圆柱=r2h (r是底面半径，h是高)1圆锥体积：V圆锥=- r h (r是底面半径，h是局)3圆台体积：V圆

26、台=1 h r2 r r r2 ( r ,r分别是上、下底面半径，h是高).球的表面积与体积球的表面积：S求4 R2,球的体积：V球=r3.3.平面的三个基本事实(1)过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 .(2)如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.12(3)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公 共直线.(4)推论经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面经过两条相交直线，有且只有一个平面经过两条平行直线，有且只有一个平面.空间点、直线、平面之间的位置关系(1)空间中直线与直线的位置关系相交：在同一平面内，有且只有一个公共点平行：在同一平

27、面内，没有公共点异面：不同在任何一个平面内，没有公共点，既不相交又不平行(2)空间中直线与平面的位置关系直线在平面内有无数个公共点直线与平面相交一一有且只有一个公共点直线与平面平行一一没有公共点(3)空间中平面与平面的位置关系两个平面平行没有公共点；两个平面相交有一条公共直线.空间角(1)异面直线所成的角定义：经过空间任一点O作直线a/ a, b/ b,我们把a与b所成的锐角(或直 角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).特殊情况：异面直线a与b所成的角为90时， 称直线a与b垂直，记作a b.范围：0,90(2)直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角 , 叫做这条

28、直线和这个平面所成的角，如图 ABO 即 为直线AB与平面所成的角.范围：0,90(3)二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.二面角的平面角：以二面角的公共直线上任意一点为端点， 在两个面内分别作垂 直于公共直线的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.二面角的 大小可用平面角表示.范围：0,180.空间直线、平面的平行(1)线面平行的判定定理和性质定理13文字语百图形谛言不语百判定 定理平向外一条直线与此平向内的一条 直线平行，则该直线与此平面平行（简记为 线线平行？线间平行”）lal /l / /a性质 定

29、理一条直线与一个平向平行，则过这 条直线的任一平闻与此平闻的交 线与该直线平行（简记为 线向平行？线线平行”）l /ll/bb（2）面面平行的判定定理和性质定理符号语百判定定理一个平面内的两条相交直线与另一 个平面平行，则这两个平面平行 （简记为 线面平行？面面平行”）性质定理如果两个平行平面同时和第三个 平面相交，那么它们的交线平行 （简记为 面面平行？线线平行”）a b a b A / a / / b/a a / /b b10、空间直线、平面的垂直（1）线面垂直判定定理和性质定理文字语百图形谛言不语百判定 定理一条直线与一个半向内日勺两条相交 直线都垂直，则该直线匕此平闻垂直 （简记为 线

30、线垂直？线面垂直”）11/l a1bla b Oa ,b岛1/ r/性质 定理垂直于同一平面的两条直线平行 （简记为 线面垂直？线线平行”）o h 出7a a/bb（2）面面垂直的判定定理与性质定理文字语百图形谛言句语百判定一个半闯过另一个平闻的垂线，则这两个平间垂直（简记为 线面垂直？面面垂直”）/il定理力yl两个平闻垂直，则一个平闻内垂直于交线的直线与另一个平 面垂直（简记为 而向垂直？线面垂直”）性质 定理力Va lll a14第九章统计.普查与抽样调查普查：对每一个调查对象都进行调查的方法，又称普查 .抽样调查：从总体中抽取一部分个体进行调查， 并以此为依据对总体的情况作出 估计和推

31、断的调查方法.在一个抽样调查中，我们把调查对象的全体称为总体， 组成总体的每一个调查对象成为个体.简单随机抽样(1)抽签法：给总体中的N个个体编号；把所有编号写在外观、质地等无 差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签；将这些小纸片放在一个 不透明的盒里，充分搅拌；从盒中不放回地逐个抽取号签， 直到抽足样本所需 要的个数.(2)随机数法：对总体中的N个个体编号；用随机数工具产生编号范围内 的整体随机数；把产生的随机数作为抽中的编号， 使与编号对应的个体进入样 本；重复上述过程，直到抽足样本所需要的个数 .如果生成的随机数有重复， 即同一编号被多次抽到，可以剔除重复的编号并产生随机数， 直

32、到产生的不同编 号个数等于样本所需要的个数.(3)两种方法的优缺点优点缺点抽签法简单易行.当总体较小时，号签搅拌均 匀很容易，个体有均等的机会被抽取当总体较大时，费时、费力， 且号签很难被搅拌均匀随机数法很好的解决了抽签法中遇到的当总体 个数较多时制签难的问题当总体较大时，需要的样本 容量较大时，不太方便3.分层随机抽样一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体， 每个个体属于且仅属于 一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取 的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样， 每一个子总体 称为层.在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例

33、，那么称这种样本容量样本量的分配方式为比例分配，抽样比 二 .总体谷事.频率分布表与频率分布直方图的制作(1)求极差：极差是一组数据中最大值与最小值的差； 、 “人一, 极差，一， 工(2)决定组距与组数：确定一个合适的组距，按照组数 =焉!大致分组，一般 组距数据的个数越多，所分组数也越多；(3)将数据分组；(4)列频率分布表：15(5)画频率分布直方图：小长方形的面积 二组距xJJ 频率. 组距.总体百分位数的估计一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值.可以通过下面的步骤计算一组 n个数据

34、的第p百分位数：第1步，按从小到大排列原始数据.第2步，计算i=n%.第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j,则第p百分位数为第j项数据； 若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.6.总体集中趋势的估计一一 1n(1)平均数：一组数x1, x2，,xn的平均数为x - x1 x2 3xn，即x - xi . nn i 1(2)中位数：一组数据按从小到大的顺序排列后，最中间的那一个数或两个数的平均数称为这组数据的中位数.(3)众数：一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的频数，出现次数最多的数据称为这组数据的众数.xn，用x表示这组数据的平均数，则这组x2 ;标准差 s JS2 J1xi x .n i 17.总体离散趋势的估计方差与标准差：假设一组数据是x1,x2, n n数据的方差s2 1 (xi x)2 - x2 n i 1n i 1平均数反映了一组数据的平均水平，方差或标准差反映了一组数据的稳定程度， 方差或标准差越小，越稳定.第十章概率.随机事件与概率(1)随机试验：我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试 验，常用字母E表示.(2)样本点和样本空间定义：我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集 合称为试验E的样本空间.表示：一般地，我们用 表示样本空间，用 表示样本点16 有限样本空间：如果一