高中数学导数与不等式

1、一曲3导数及其应用I第21练利用导数研究不等式问题训练目标(1)利用导数处理与不等式有关的题型；(2)解题步骤的规范训练.训练题型(1)利用导数证明不等式；(2)利用导数解决不等式恒成立问题及存在性问题；(3)利用导数证明与数列有关的不等式.解题策略(1)构造与所证不等式相关的函数；(2)利用导数求出函数的单调性或者最值再证明不等式；(3)处理恒成立问题注意参变量分离.1.已知函数 f (x) =x2-ax-ain x(a R).若函数f (x)在x= 1处取得极值，求a的值； x3 5x211(2)在(1)的条件下，求证：f (x)-4x+.326(2016 烟台模拟)已知函数 f (x)

2、=x2- ax, g(x) = lnx, h(x) = f (x) + g(x).4一, 1 右函数y= h(x)的单倜减区间是 2, 1 ,求头数a的值;(2)若f (x) g( x)对于定义域内的任意 x恒成立，求实数 a的取值范围.(2016 山西四校联考)已知f (x) =ln xx + a+1.(1)若存在xC(0, +8),使得f (x) 0成立，求a的取值范围;(2)求证：在(1)的条件下，当 x1时，/2+ax axln x+2成立1已知函数 f (x) = (2 - a)ln x+- + 2ax. x(1)当a1,3，恒有(m In 3)a-2ln 3| f (x)一f (x

3、?)| 成立，求实数m的取值范围.(2017 福州质检)设函数 f(x) = ex-ax-1. 当a0时，设函数f(x)的最小值为g( a),求证：g( a) 0；(2)求证：对任意的正整数n,都有1n+1+2n+1 + 3n+1+ nn+10),可知 g(x)在(0,1)上是减函数, x xx, ,x3 5x211在(1 , +8)上回函数,所以g(x)9=0,所以f(x)一3十三一4x +五成立.解 (1)由题意可知，h(x) =x2ax + ln x(x0),2x2ax+1由 h (x) =(x0),x若h(x)的单调减区间是由 h (1) = h1 一2 - 0，解得a=3,而当a=3

4、时,一 2 一2x -3x+ 1 (2x 1)( x- 1)(x0).由 h，(x)ln x(x0),a0). x令 6 (x) =x-ln-(x0), xw ，x2+ln x-1贝 U j( x) =-2,x. y=x2+ ln x- 1 在(0 , 十0)上是增函数，且 x=1 时，y = 0.当 xC (0,1)时，巾(x)0 ,即6(x)在(0,1)上是减函数，在(1 , +8)上是增函数,1 ( (x) min= () (1) = 1 ,故 aW 1.即实数a的取值范围为(8, 1.3. (1)解原题即为存在x0,使得 lnx x+a+10, .a lnx+x 1,令 g(x) =

5、- ln x + x- 1,贝U g，(x) = -1+1=x-1. x x令 g (x) = 0,解得 x= 1.丁当 0 x1 时，g (x)1时，g (x)0, g(x)为增函数,g( x) min= g(1) =0, ag(1) = 0.故a的取值范围是0 , +8).一_ .1 21(2)证明 原不等式可化为x+axxln xa20(x1, a0).令 G(x) =；x2 + 2 a= x x+ ax-xln x- a；,则 G(1) = 0.由(1)可知 xln x-10,则 G (x) = x+a lnx1x lnx10,.G(x)在(1 , +8)上单调递增, .G(x)G(1

6、) =0 成立,+ ax axln x +%2+ ax-xln x a-20 成立,2x4.解 (1)求导可得f (x) =(2x 1)( ax+1)2- a 1 TOC o 1-5 h z 11令 f (x) = 0,得 x1 = 5, x2=- 2a当a=2时，f (x)w0,函数f(x)在定义域(0, +8)内单调递减；当一2a0 时，在区间(0 , 1), ( -1, +) f (x)0, f(x)单调递增;当a 2时，在区间(0 , ), (, +0)上f，( x)0 , f(x)单调递增.(2)由(1)知当aC( 3, 2)时，函数f(x)在区间1,3上单调递减，1所以当 x 1,

7、3时，f (x)max= f(1) =1 + 2a, f(x)min=f (3) =(2 a)ln 3 +- + 6a.31问题等价于：对任意的aC( 3, 2),恒有(mln 3) a-2ln 31 +2a-(2-a)ln 3 -326a 成乂，即 an-4a,32因为a0,所以n0及f (x) = ex a可得，函数f (x)在(一8, ln a)上单调递减，在(ln a, +)上单调递增，故函数 f(x)的最小值为 g(a) = f (ln a) = elna aln a- 1 = a -aln a- 1,则 g (a)= lna,故当 aC (0,1)时，g (a)0;当 aC (1 , +8)时，g，( a)0,当且仅当x=0时等号成立，即当x0 时，总有 exx+1.是? 可得(x+1)n+1(x, n + 1(n+ 1)xx一舟，可得令 x+1=n27，即 x=M1，可得3n- 2令x+1=-,即x=千，可得 n+1n+12n+ 13n+ 1n+ 1e(n-1)n+ 1e-(n-2)令x+1二号,即nn+ 1n+ 1e- 1对以上各式求和可得:1n+ 1n+1+2n+ 1n +1+3n+ 1n+ 1+nn+ 1n+ 1- n I