高中数学非线性回归方程专练

1、非线性回归方程专练三、解答题(本题共 4道小题，第1题0分，第2题0分，第3题0分，第4题0分，共0 分)1.某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了 一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数x与烧开一壶水所用时间y的一组数据，且作了一定的数据处理(如下表)，得到了散点图(如下图).xyW10 _ 2(x x)i 110(Wi W)2i 110(xi x)(yi y)i 110(w W)(yi y)i 11.4720.60.782.350.81-19.316.210+ 1 - 1Wi .i 1表中Wi f，W 一x210 id(1)根据散点图判断，y a bx与y c f哪一个更适宜

2、作烧水时间 y关于开关旋钮x旋转的弧度数x的回归方程类型？(不必说明理由)(2)根据判断结果和表中数据，建立 y关于x的回归方程；(3)若单位时间内煤气输出量t与旋转的弧度数x成正比，那么，利用第(2)问求得的回归方程知x为多少时，烧开一壶水最省煤气 ？附：对于一组数据(Ui,Vi),(U2,V2),(U3,V3), ,(Un,Vn),其回归直线。? ?U的斜率和截 距的 n(Vi v)(Ui U)最小二乘法估计值分别为？ J, ? V 名(Ui U)2x （单位：千元）对2.大连市某企业为确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费年销售量y （单位：t）和年利润z （单位：千元）的影响，

3、对近8年的年宣传费xj和年8 i i销售量yi i 1,2，,8数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值I根据散点图判断,y a bx与y c dVx哪一个适宜作为年销售量 y关于年宣传费x的回归方程类型?（给出判断即可，不必说明理由）n根据I的判断结果及表中数据，建立 y关于x的回归方程;m 已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z 0.2y x.根据n的结果回答下列问题:i年宣传费x 64时，年销售量及年利润的预报值是多少?ii年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大?附：对于一组数据 u11Vl,U2, V2 ,Un,Vn ,其回归直线 Vu的斜率和截距的最小二乘估计分别为: T

4、OC o 1-5 h z n_ HYPERLINK l bookmark22 o Current Document Ui UViV,n_2，Uiui 13.7组观测数据列于下（12分）为了研究一种昆虫的产卵数y和温度x是否有关，现收集了表中，并作出了散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，两个变量并不呈线性相关关系，现分别用模型：y=Cix2+C2与模型：y eCixC4作为产卵数y和温度x的回归方程来建立两个变量之间的关系.温度x/ 20222426283032产卵数y/个610212464113322t=x24004845766767849001024z=lny1.792.303.0

5、43.184.164.735.77x267_(Xi x)(yiy)i 17(Xi X)2i 1t6927_(tit)(yiy)i 17(ti t)2i 1y807_(Ziz)(XiX)i 17(XiX)2i 1Z3.577_(Zi Z)(tit)i 17(tit)2i 11157.540.430.320.00012_7_其中 ti=xi2, t ti , zi=lny i, ui 1附：对于一组数据(ui, vi),(U2, V2),(Un, Vn),其回归直线v= 3 u+由勺斜率和截距的最小二乘估计分别为：n_ HYPERLINK l bookmark18 o Current Docume

6、nt (Ui u)(Viv)、i 1- J3 =n， a = v e u .(Ui U)2 i 1vr- o o o 5 o 5 o 3 3 2 220 22 24 2630 32 1(1)分别画出y关于t的散点图、z关于x的散点图，根据散点图判断哪一个模型更适宜作为回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)7JM）J:，(2)根据表中数据，分别建立两个模型下建立y关于x的回归方程；并在两个模型下分别估计温度为30c时的产卵数.(Ci, C2, 03, C4与估计值均精确到小数点后两位)(参考 数据：e4.65 104.58 e4.85 127.74 e5.05= 156.02(3)若模型、

7、的相关指数计算分别为Ri2=0.82, R22=0.96,请根据相关指数判断哪个模型的拟合效果更好.4.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销 售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响，对近 8年的宣传费Xi和年销售量yi(i=1 , 2,，8)数据作了初步处理，得到一些统计量的值.46.656.36.8sE（ i=lx） 2289.8Xi8（ 1=1-2辑）1.61469Xi（yi8（ i=i-y）108.8w一闪)(yi(I )根据表中数据，求回归方程y=c+d 石;(II )已知这种产品的年利润 z与x, y的关系为z=0.2y x,

8、根据（II)的结果回答下列问题:(i)当年宣传费x=90时，年销售量及年利润的预报值时多少?(ii )当年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大?附：对于一组数据(U1, V1),(U2, V2)，(Un, Vn),其回归线=a + 3 u的斜率和截距的最小二乘估计分别为:（% -心-中） 一 c 一y n _，d 7- 3 U.E皿-三）2i=l试卷答案1.d:(1) y c -2更适宜作烧水时间 y关于开关旋钮旋转的弧度数x的回归方程类型.x10_16.2 200.81(w w)(y y)(2)由公式可得:110 2(w, w)i 1(? y d?v 20.6200.78 5 ,所以所求回归

9、方程为5学.x(3)设t kx,则煤气用量S ytkx(5 当 5kx 垩 2(5kx 型 20k ,xx ； x20k当且仅当5kx 时取=:即xx2时，煤气用量最小.122.由散点图可以判断yc d,x适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型y关于w的线性回归方程8yi 18-y wiwwi y wy yw wyi 18wi yii 18 _wyi 1一2w8w y 8wyi 1i 131280 6.8 573 81.6y dw 573 686.8 110.6,所以y关于w的线性回归方程为 y 110.6所以y关于x的线性回归方程为 y 110.668 x .m i由II知，当x 6

10、4时，年销售量y的预报值为y110.668,64654.6 ,年利润z的预报值为Z 654.6 0,2 64 66.92 .ii根据n的结果知，年利润z的预报值Z 0.2 (110.6 68/x) x x 13.64 22.12& 6.8 2 68.36,当JX 6.8,即x 46,24时，年利润的预报值最大，故年宣传费为46.24千元时，年利润预报值最大.3.【考点】变量间的相关关系；用样本的频率分布估计总体分布.【分析】(1)画出y关于t的散点图和z关于x的散点图，结合图形判断模型 更适宜作 为回归方程类型;(2)计算模型 的回归系数，写出回归方程，求出 x=30时的值;计算模型 的回归系

11、数，写出回归方程，求出x=30时1的值即可;(3)根据R? *判断模型的拟合效果更好.【解答】解:1)画出y关于t的散点图如图1,根据散点图可以判断模型更适宜作为回归方程类型;(2)对于模型 ，设 t=x2,则 y=C1x2+C2=C1t+C2,=0.43C2= y Ci =80 - 0.43 692= - 217.56,，所求回归方程为 A=0.43x2- 217.56,y当 x=30 时，估计温度为 “=0.43 M02 - 217.56=169.44;y对于模型，设y=对就工，贝U z=lny=C 3x+C4, TOC o 1-5 h z 7_)(瞿1 7)、一八-1计算 C3=0.32

12、i=lC4=G- C3G=3.57 0.32 26= 4.75,所求回归方程为 O=0.32x - 4.75, LiA即=e0.32x 4.75；V当 x=30 时，估计温度为=e0.32 30一4.7% 127.74(3) R12=0.82, R22=0.96,Ki R/，模型的拟合效果更好.【点评】本题考查了散点图以及回归方程和相关指数的应用问题，也考查了分析与判断能 力的应用问题，是综合性题目.4.【考点】线性回归方程.w,问【分析】(I)先建立中间量w嗯,建立y关于w的线性回归方程，根据公式求出题得以解决；(n) ( i)年宣传费x=90时，代入到回归方程，计算即可，(ii )求出预报值得方程，根据函数的性质，即可求出.68 X【解答】解：(I)令 w,先建立y关于w的线性回归方程，由于 d=68, c=5636.8=100.6 ,所以y关于w的线性回归方程为 y=100.6+68w