高中物理临界问题的求解

1、临界问题的求解赵斌（湖南省长沙市第六中学4100000）（注:本文载于 高中物理知识探究与思维方法 ） 临界问题是物理现象中的常见现象。所谓临界状态就是物理现象从一种状态变化成另一种状态的中间过程，临界状态通常具有以下特点：瞬时性、 突变性、关联性、极值性等。临界状态往往隐藏着关键性的隐含条件，是解题的切入口，在物理解题中起举足轻重的作用。求解临界问题通常有如下方法：极限法、假设法、数学分析法（包括解析法、几何分析法等）、图象法等。极限法：在题目中如出现“最大”、“最小”、“刚好”、“要使”等词语时， 一般隐含着临界问题。处理问题时，一般把物理问题（或过程） 设想为临界状态，从而使隐藏着的条件

2、暴露出来，达到求解的目的。假设法：有些物理过程中没有明显出现临界问题的线索，但在变化过程中可能出现临界问题， 解决办法是采用假设法，把物理过程按变化的方向作进一步的外推，从而判断可能出现的情况。数学分析法；是一种很理性的分析方式，把物理现象转 化成数学语言，用数学工具加以推导， 从而求出临界问题， 用这种分析方法 一定要注意理论分析与物理实际紧密联系起来，切忌纯数学理论分析。图象法：将物理过程的变化规律反映到物理图象中，通过图象分析求出临界问题。下面列举的是高中物理各知识系统中典型的临界问题。一、运动学中的临界问题例1、一列客车以速度Vi前进，司机发现前方在同一轨道上有一列货车 正在以速度V2

3、匀速前进，且ViAV2,货车车尾与客车车头相距 S0,客车立 即刹车做匀减速运动， 而货车仍保持匀速运动。 求客车的加速度a符合什么 条件两车才不会撞上？分析：这一类问题一般用数学方法（解析法）来求解。若要客车不撞上 货车，则要求客车尽可能快地减速，当客车的速度减小到与货车速度相等时两车相对静止，若以后客车继续减速，则两车的距离又会增大；若以后客车 速度不变，则两车将一直保持相对静止。可见，两车恰好相碰时速度相等是临界状态，即两车不相碰的条件是：两车速度相等时两车的位移之差SWSo。下面用两种方法求解。解法一：以客车开始刹车时两车所在位置分别为两车各自位移的起点，12则，客车：Si=Vitat

4、 ,货车：S2=V2t, 2两车不相撞的条件：v2 =V1 at, S| -s2 Ms0 。联立以上各式有：a - （Vl -v2）2 。2s0V V,?解法二：客车减速到 V2的过程中客车的位移为：3=12t,2经历的时间为：t = v1二v2 ；货车的位移为： s2 =v2t ,两车不相撞则：S1 -s2 2）。2so归纳：正确分析物体的运动过程，找出临界状态是解题的关键。例2、甲乙两地相距s=1.6km,摩托车的加速度为 ai=1.6m/s2,减速时的加速度为ai =6.4m/s2摩托车从甲地往乙地所用最短时间为多少？运动过程中的最大速度为多少？分析：题目中并没有说明摩托车由甲地往乙地是

5、如何运动的，从甲地往 乙地所用时间最短这一临界状态是解决问题的突破口。学推导法，也可以用图象分析法等。t2,减速运动时间为t3,总时间为t,则:Vm = a1t1 = a2t3s2 = vmt21、二二 ai21s3 - - a2t32分析的方法可以用数ti,匀速运动时间为解法一：用数学推导法。设摩托车加速运动时间为t2联立以上六式并代入数据得：t； -1.6tti -1600 = 0要使以上方程有解，须判别式A0,即：2 =（1.6t） -4xi6000,所以t之50s,即最短时间为50s。故有：ti280ti+1600 = 0,解得：ti =40s,t2 =0,t3=10s。可见摩托车从甲

6、地到乙地先加速40 s后紧接着减速10s达到乙地所用时间最短，匀速时间为零。最大速度为：Vm =a1ti =1.6M40m/s = 64m/s。解法二：用图象分析法。建立如图1所示的图象，图象中梯形的“面积”Vmtit2即为甲乙两地的距离，在保证“面积”不变的情 况下要使运动时间变小，只有把梯形变成三角形。a2t2t = ti t2联立以上三式得：最短时间为 速度为v m =64m/s。归纳：比较以上两种分析方法, 法。t=50s,最大图象法比解析法简单，是一种可取的方二、平衡状态的临界问题例1、倾角为3 =30度的斜面上放置一个重 200N的物体，物体与斜面间的动摩擦因数为 =通/3,要使物

7、体恰好能沿斜面向上匀速运动，所加的力至少为多大？方向如何？分析；由于施力的方向没定，先假定一个方向：与斜面成ot角向上，物体的受力分析如图 2所示。解：x 方向：F cosct = f +mgsin 6y 方向：F sin 口 + N = mg cosH其中 F=NN联立以上三式求解得：F =mg/（cosu +-sina） =-0mg一 ,其3 2sin（： i）中6 =60。当口 =30时F有极值：Fmin =100j3N。例2、如图3所示，用光滑的粗铁丝做成一个直角三角形ABC, BC边水平，/ABC =汽，AB及AC上分别套有用细绳 连着的小环P、Q。当它们相对静止时，细线与 AB边所

8、成的夹角 日的变化 范围是多少？分析：题设中没有说明 P、Q质量的大小，可用假设法来判断这个问题 中可能出现的临界状态。若Q的重力大于P的重力，则可不计 P的重力，P的平衡转化为二力 平衡，此时细绳的拉力与 AB对环P的支持力几乎在同一直线上垂直于 AB的方向，即日接近n /2。若P的重力远大于 Q的重力，则可不计Q的重力，Q的平衡转化为二力 平衡，此时绳的拉力与 AC对环Q支持力几乎在同一直线上垂直于AC的方向，即日接近a。综上分析，日的变化范围是：6k日冗/2。归纳：对于平衡状态问题，正确进行受力分析是找到临界条件、寻找问 题突破口的关键。若题设中某些力是末知的， 可根据题设条件进行恰当而

9、又合理的假设。三、动力学中的临界问题例1、如图4所示，斜面体的质量为M = 2kg ,质量为m =1kg的物体放在倾角为 3 =370的斜面上，斜面与物体间的动摩擦因数为0 =0.2 ,地面光滑。现对斜面体施加一水平推力 F ,要使物体相 滑动摩擦力)对斜面静止不动，力 F应为多大?（取g =10m/s2,设最大静摩擦力等于分析：采用极限分析方法，把 F推向两个极端来分析，当 F很小时，物 体将相对斜面下滑；当 F很大时，物体将相对斜面上滑，因此 F不能太小 也不能太大，F的取值是一个范围。解：设物体处于相对斜面下滑的临界状态。推力为 F ,此时物体的受力 情况如图5所示，则 N sin 二-

10、J N cosr - ma对m ： iN cosu N sin - mg = 0对(m +M ) ： F =(M +m)a联立以上三式代入数据得：a=4.78m/s2, F=14.3N。归纳：求解此类问题的关键点是正确进行受力分析，找出临临界条件,列出动学方程和平衡方程。建立坐标系时，要注意以加速度方向为 x正方向。设物体处于相对斜面向上滑的临界状态,推力为F ,此时物体的受力如图6所示，则 N sin 二 N cos = ma对m ： iN cosi - 1N sin - mg = 0对(m +M ) ： F = (M +m)a联立三式并代入数据得：a = 11.2m/s2,F=33.6N。

11、所以推力的范围是：14.3N F arctan N时，物体加速下滑，(4)当9 =90时，f =0,a = g ,物体做自由落体运动。综合以上几种假设易知D正确。B点,归纳：进行合理假设是找出问题的临介条件的重要手段。例3、一物体由静止开始沿不同长度的光滑斜面滑到水平面上的这些斜面的起点都在竖直墙壁处，如图8所示，已知B点距墙角的距离为 b ,要使小物体从斜面的起点滑到B点所用的时间最短，求斜面的起点距地面的高度是多少？最短时间是多少？分析：用数学分析方法。设小物体从A点沿倾角为则 AB 长为：s = b/cos ,加速度为：agsin 6 ,则有上t2gscos 二 2.r4b解得：t =

12、J。 g sin 2由以上结果分析可知：当 日=45即h =b时，下滑的时间最短，最时间为：tmin = 2 b/ g。归纳：数学法是解题的重要工具。例4、如图9所示，在竖直平面内有一固定点 O, O点系一长为l的轻 绳绳的另一端系一质量为 m的小球，把小球拉离平衡位置使绳与竖直方向的夹角为 伏日Y兀/ 2),然后让小球绕 O点在竖直平面内摆动， 现在O点的正下方A点钉一铁钉，要使小球能摆到原来的高度， 则铁 钉A与O点的距离l x必须满足什么条件？分析：小球若能摆到最高位置，意味着小球达到最高 点时的速度为零。小球的运动轨迹是圆周的一部分，那么 圆周上哪些位置小球的速度可能为零？先来分析这个

13、问 题。找圆周上三个特殊位置和二个一般位置来分析，这五 个位置的受力情况如图 1所示，对应的动力学方程为：2位置 1： F1 mg = m；2位置 2： F2 -mgcosB = m v2-2位置3： F3 = m ；2位置 4： f4 +mgcos8 = m l置 5： F5 mg = m2要使小球在竖直平面内做圆周运动，则绳对小球的拉力必须大于或等于零，即F之0,在1、2、3三个位置小球的速度可以为零，而在4、5位置小球的速度不能为零，否则小球将会离开圆周，若小球保持做圆周运动，由 两式可知，当 F=0时，有v0。由上面的分析可知；要使小球在圆 周上运动，且在某点的速度等于零，则这些位置只

14、能在圆周水平直径以下的 这部分圆周上（包括水平直径的两个端点），在这个问题中，水平直径的两个端点就是临界点。所以，该题中要求小球能摆到原来的高度，则钉子的位置与小球释放时 的位置在同一等高线上是临界位置，钉子的位置只能在这一等高线以上，即l X l cos日。归纳：在竖直圆周上运动的问题较复杂，分析这类问题的关键是分析物 体在不同位置时的受力情况，然后建立动力学方程进行讨论分析。实际上， 要使小球在绳子的拉力作用下能在竖直平面内做完整的圆周运动，必须具备的条件就是绳子的拉力大于或恰好等于零，由此可以得出小球达到最高点时v之jgr这一速度临界条件。四、振动和波中的临界问题例1、把一根长度为10c

15、m的轻弹簧下端固定，上端连一个质量为m的物块P ,在P的上面再放一个质量也是 m的物块Q,系统静止后，弹簧的 长度为6cm，如图11所示。如果迅速撤去 Q,物块P将在竖直方向做简谐 运动，此后弹簧的最大长度是多少？分析：由题意可知在撤去 Q后物块P将在竖直方向做简谐运动，即以 平衡位置为中心做往复运动，找到平衡位置和确定振动的振幅是求解问题的Q-P图11要使物块 B关键：平衡位置在重力和弹力平衡的位置， 由题设条件可知， 平衡位置在弹簧长度为 8cm的位置；P刚开始运动时，弹 簧的长度是6cm ,可知振幅是2cm。根据对称性可知弹簧 的最大长度为10cm。例2、质量分别为 mA =2kg和mB

16、 =3kg的两物块A、B用轻弹簧相连后竖直放在水平面上，现用力 F把物块向 下压而使之处于静止状态，如图 12所示，然后突然撤去外力, 能离开地面，则压力 F至少要为多大（设该过程在弹性限度内进行）？分析：先假设 B是不动的，则撤去压力 F后，A将在竖直平面内做简谐运动，平衡位置在弹簧压缩量为x0 =口收 的位置；若要物k体B能被拉离地面，则弹簧至少要被拉长x = mg ,可见Ak物体的振幅为：A=x+x0 = （mB+mA）g ,所以压力F至少为： kF =kA = (mB +mA)g = 5R。归纳：由以上两例分析可知：求解这一类问题一要正确进行受力分析，二要灵活运用简谐运动对称性的特点。

17、例3、一列横波沿x轴传播，a、b是x轴上的两点，相距s = 6m , t = 0时b点恰好振动达到最高点，而a点正好经过平衡位置向上振动，已知这列波的频率为25Hz。试求该波的最大波速。分析：该题没有说明 a、b在x轴上的距离与波长的关系以及波的传播方向，也就是存在一个波的传播方向及波速不确定的问题，波可能是沿x轴正方向传播，也可能是沿 x轴负方向传播；若a、b在x轴上的距离小于一 个波长则波速最大。 TOC o 1-5 h z 34s解：右波沿a t b方向传播：s = n九十一九，二九=,44n 34sf 600 波速为： v =九 f =m/ s , （ n =30）4n 3 4n 3当

18、n =0时波速最大， m max = 200m/s。14s右波沿b t a方向传播： s = n九+九，九=,44n 1波速为： v =九 f = 4sf = 600 m/s , （ n TP ） 4n 1 4n 1当n =0时波速最大， m max = 600m/s。归纳：对于波动问题，由于其运动规律有周期性的变化，在一般求解中 往往含有多个解，若题中有了其他条件的限制， 就有了符合条件的特定解（最 大或最小），在本题中就是求波的上限值（也可以说是临界值）。若题目给出的是波传播方向上两点的传播时间，求波的传播速度则其波速有下限值，即有最小值。求解波动问题一定要注意以下两点，一是两大特性：波动

19、的周期性（空间和时间的周期），波传播方向的不确定性；二是三大关系：质点间 距离与波长的关系，传播时间与周期的关系，质点振动方向与波传播方向的关系。五、电磁学中的临界问题例1： A、B表示真空中相距为 d的平行金属板，极板长为 L ,加上电 压后，其间的电场可视为匀强电场，在 t = 0时，将图13所示的方形波加在 A、B上，且U a=U , U b = 0,此时恰有一带电微粒沿两板中央飞入电场。微粒质量为m （不计 重力），带电量为q ,速度 大小为v ,离开电场时恰 能平行于金属板飞出，求（1）所加交变电压U 0的 取值范围，（2）所加电压 的频率应满足什么条件？分析：若要粒子恰能 平行于金

20、属板方向飞出，就要粒子在离开电场时只有平行于金属板的速度， 而垂直于金属板方向的速度为零。带电粒子在进入电场以后只受电场力作用，但电场力是周期性地变化的，在这种周期性电场力的作用下，带电粒子的运动可以分为这样两个分运动：垂直于电场方向的匀速直线运动；平行于电场方向的匀变速直线运动（加速度大小不变）。平行于电场方向的运动是比较复杂的：第一个半周内，粒子做初速度为零的匀加速运动，第二个半周内，做匀减速直线运动，末速度变为零；第三、四个半周期内的运动依次重复第一、二两个半周期内的运动。由粒子的运动情况分析可知，要使粒子能平行于金属板飞出，必须满足二个条件：一是粒子在电场中运动的时间只能 是电压周期的

21、整数倍，即 t=nT ,这样才能证证粒子离开电场时只具有平行于金属板方向的速度；二是粒子不能落到极板B上，在电场中平行于电场方向运动的距离要小于极板间距离的一半，即y d /2。这两个条件就是问题的临界条件。解：由上面的分析有临界条件：t = nT ,j dsY 一,2qE a =mqUomd1 Ts =-a(-)22naT22n :4结合垂直于电场方向的运动规律和平行于电场方向的运动规律:Lt =一, v2 22nmd vrnv联乂以上各式倚：U0Y2、f =，(n = 1,2,3)。qL2L归纳；处理这类问题的关键是正确进行受力分析，确定物体的运动规律,特别注意速度的变化和加速度的变化，

22、界条件。例2、金属板M、N平行放置, 板间加有平行于板面的匀强磁场，如图 电子束从M、 N两板正中再结合题目所给的约束找出问题的临两板间距为14所示, 间以速度d = 4cm ,板长 d = 4cm , 两板之间用导线相连。当v = 8 M107 m / s沿平行于板的方向射入板间， 结果在板的周围末发现电子飞出板间，由此可知板间的磁感应强度 B必须符合什么条件？ 分析：由题意可知，电子没有飞出板间，则 一定是打在了极板上。两板间无电场，只有磁场， 电子在磁场中只受到向左的洛仑兹力作用。根据代入数据得：Bimv =4.6 104T eR电子的受力情况，电子只能在匀强磁场中做匀速圆周运动。由于极

23、板的制约， TOC o 1-5 h z 电子打在极板上的位置只能是 M上，当电子打在 M的上端时对应最小的半 径，当电子打在 M板的下端时对应最大的半径，这两种情况就是问题的临 界状态，求出这两种临界状态对应的圆半径就可求出磁感应强度的大小，可见磁感应强度的大小是一个范围。解：如图15所示，当半径最小时：,1_ d mvR1 =一 二一，2 eB1当半径最大时:R2 = (R2 -d)2 + d2得 R2 = d , 24,并去掉B板。求速度 t的表达式。mv mv3R2 =，代入数据得：B2 = = 9.1m10T ,eB2eR2所以磁感应强度 B符合的条件是：9.1x10T B d07m/

24、s范围的电子。若两平行板之间不加磁场， 电子将打在B板的P;现两平行板间加一垂直于纸面向里、磁感应弓虽度为B = 9.1m10，T的匀强磁场。已知电子质量为m = 9.1 =101 kg ,电子电量e = 1.6父10-19C ,不计电子的重力和电子间的相互作用力，且电子打到板上均被吸收， 并转移到大地。(1)问是否有电子打到 B板？如有则电子击中 B板的范围如何？并求 出其长度。(2)令v=3.2x107m/s,若B板的右侧加一与B板成60角斜向下 方的匀强电场，电场强度为 E (图16中没有画出) 最大的电子从P点出发至打到 A板上所经历的时间分析：题设中给定了电子的速度范围，这些垂直于磁

25、场方向进入的电子只有速度达到一定值才可以打到B板上，打到B板上的电子的最小轨道半径为 d ,这是该题的一个临界状态。解：(1)设能打到B板上的电子的最小速度为v,由牛顿第二定律及向心力公式得：mv2edBrevB =，即： v =1.6父10 m/s。Rm可见有电子打在 B板上。对应速度为 v的电子 恰能打在M 点，M点距P点的距离为 P M = d。当电子的速度为最大时，设它能打在B板上的N点，对应的半径为R,这是该题的另一个临界 状态，如图16所示。由牛顿第二定律及向心力公 式得：2evB=7，即： R=2.0 MlO,m。 ReB又由图16中的几何关系有：图17R = 2d , /PON

26、 =30PN =R1cos30) =0.268x10、。所以电子打在 B板上的长度为：N M = P M P N0. 7 3 120 m(2)由(1)可知R = 2d ,即粒子运动轨迹 PN所对的圆心角为 30, 则电子沿平行于电场的方向进入电场，所以电子在电场中先作减速运动，然后反向作匀加速运动，再次进入磁场，最后打在A板上。由于电子返回磁场时速度大小没变，所以圆周运动的轨道半径不会变，在图 17中由几何关 系不难发现：电子最后打在 A板上时其轨迹恰好与 A板相切，这是该题的 又一个关键性的临界状态。T 二 m由P t N的时间：t1 =,12 6eB在电场中运动的时间：t2 = 2 -=迎

27、，a eET 二 m . m二 2mv由Nt A的时间：t3 = =，总时间为：t= 十 。6 3eB2eB eE归纳：该题涉及的知识点虽不多，但是一道难度较大的题，如何确定电 子的运动过程和可能的轨迹是难点，解决办法就是找出关键性的临界状态， 从而确定电子在相应的临界状态时的运动轨迹，再恰当地利用物理知识和几何知识来求解。六、光学中的临界问题例1、如图18所示，M是一直立的平面镜，P1P2是竖直放置的米尺，AB是一遮光板，在米尺上开一小孔s,某人眼睛紧贴小孔 s可从M中看到米尺的某部分的像。(1)试画图标明人眼睛通过平面镜能看到米尺在AB下面的部位。(2)为使人眼不能通过 S在M中看到米尺在

28、 AB的下部位，可在M上贴一遮光纸，试在图中确定出所贴纸的最小尺寸及位置。分析：(1)标明人眼睛通过平面镜能看到米尺 在AB下面的部位，必须找出其边界光线。根据光 路可逆原理，若将人眼看成是点光源，则从 s射出 的光线经M反射后能照射到的区域就是能被人看 得到的区域。为确定这个区域，在图18中先根据平面镜成像的对称性画出人眼的像s,其中一条边界线就是s A连线所对应的入射光线，s A连线与M相交于a点，与P1 P2相交于c点，连接as；另一条边界线是sA的连线所对应的反射光线，sA的连线与M相交于b点, 连接sb延长交P1 P2于d点，则cd段即为人眼能观察到的范围。最后在 as,bs , c

29、a, db上并标上表示光的传播方向的箭头。(2)由于米尺上的cd段只能通过M的ab部分反射才能达到 s处，故 只要在ab部分贴上遮光纸，S处的眼睛就不能从 M中看到AB以下米尺的 任何部位。归纳：利用光路可逆原理进行逆向思维是解决光学问题的一个重要手段，将眼睛做为发光体把问题转化为求点光源发出的光经平面镜反射后所能 照射到的范围问题，从而使问题得以简化。 确定边界线即临界条件是求解观 察范围的关键。例2、(05北京)如图19所示，用折射率为 n的透明介质做成内、外半 径分别为a、b的的空心球，当一束平行光射向此球壳，经球壳外、内表面 两次折射，而能进入空心球壳的入射平行光束的横截面积是多大?分

30、析：根据对称性可知所求光束的横 截面是一个圆面。所以关键是求出这个圆 的半径R ,即找出边界光线。图19界角，在AOEB中由正弦定理得:bs i nr(C是临界角)，sinCsin i n= .， sin r解：设入射光线AB为所求光束的临界 光线，入射角为i ,经球壳外表面折射后 折射角为r ,因为AB是临界光线，所以 射向内表面的光线的入射角恰好等于临所以，bnsin r sin i由几何关系有：R = bsini = a ,进入空心球壳的入射平行光束的横截22面积ZE： S = nR =na 。F 图20归纳：在折射问题中边界光线与临界角有不可分割的密切关系，充分利 用几何关系是求解问题的关键。体验：1、一跳伞运动员从350m高空离开飞机落下，为了以最 短时间落到地面，开始末张开降落伞而自由下落一段距离后 才张开伞，张开伞后跳伞运动员以2m/s2的加速度匀减速下降，到达地面时速度为 4m/s ,求：(1)跳伞运动员自由下落的时间；(2)跳伞运动员在距地面多高处开始张伞?(3)跳伞运动员在空中运动多长时间？2、如图20所示，已知物体 A的重力为G ,重物与竖直墙面的动摩擦 因数为科，外力F与竖直方向夹角为9 ,要使物体 A不掉下来而处于静止 状态