高中数学典型例题分析

1、学习必备欢迎下载高中数学典型例题分析第八章平面向量与空间向量 8.1平面向量及其运算、知识导学.模（长度）：向量AB的大小，记作| AB |。长度为0的向量称为零向量，长度等于1 个单位长度的向量，叫做单位向量。.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，又叫做共线向量。.相等向量：长度相等且方向相同的向量。.相反向量：我们把与向量a长度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量。记作-a。.向量的加法：求两个向量和的运算。已知a, b。在平面内任取一点，作 Ab =a, BC=b ,则向量AC叫做a与b的和。 记作a + b。.向量的减法：求两个向量差的运算。已知a, b。在平面内任取一点

2、O, O 5A = a, OB =b ,则向量BA叫做a与b的差。 记作a - b。.实数与向量的积：（1）定义： 实数入与向量a的积是一个向量，记作 入a ,并规定：入a的长度|入a |二|入| I a | ;当入0时，入a的方向与a的方向相同；当入0时，入a的方向与a的方向相反；当入=0时，入a = 0（2）实数与向量的积的运算律：设 入、医为实数，则入（科a）=（入科）a（入 + 科）a = x a + a入（a + b）=入a +入b.向量共线的充分条件：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数入，使得b =入a。另外，设 a=（X1 ,y 1）, b = （x 2,y 2）

3、,则 a b u x/2 x2y1=0.平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数 入1、入2使 2=入1B+入2金,其中不共线向量 e1、e2叫做表示这一学习必备欢迎下载平面内所有向量的一组基底。.定比分点设Pl,P2是直线l上的两点，点 P是不同于Pl,P2的任意一点则存在一个实数入，使P1P = X P1P2 ,入叫做分有向线段所成的比。若点P1、P、P2的坐标分别为(x 1, y1) , (x,y),(x2,y 2),则有X1 +X2x 二 TOC o 1-5 h z 特别当入=1,即当点P是线段P1P2的中点时，有

4、2y十 V2y =/211.平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a和b,它们的夹角为9,则数量 aii b icos 9叫做a与b的数量积(或内积),记作a - b ,即2b=|a| b |cos 9规定：零向量与任一向量的数量积是0。(2)几何意义：数量积a - b等于a的长度| a |与b在a的方向上的投影| b |cos 9的乘积。(3)性质：设a, b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，9是a与e的夹角，则e - a = a , e = | a|cos 0, a_Lbu a , b = 0当a与b同向时，a - b = | a| b |当a与b反向时，a - b =- |

5、 a| b |特别地，a - a = | a |2或| a| = a aa bcos 9 =| a - b | (x2,y2),由题意得AC = ( xi +1 yi 2), AB = (3, 6) , DA = ( 1 -X2,2 - y2 ) , BA = (-3 , -6 )又 AC = 1 AB , DA = - 1 BA3311 一 一、, (x1+1,y1-2 )=-(3,6),( -1 - x2,2 - y2 )=-一(-3,-6)33即(x + 1, y 2 )=(1,2), ( 1 x2,2 y2 )=(1,2)x1 +1 =1且 y1 2 =2, 1 x2 =1 且2 y2

6、 =2 x = 且 y1 = 4，且 x2 = -2 y2 = 0点C D和向量CD的坐标分别为(0, 4)、( -2 , 0)和(-2 , -4)小结：本题涉及到方程思想，对学生运算能力要求较高.四、典型习题导练.，则有()A. B.C. D. 一口 .一,3I T J 2. (20XX年局考浙江卷)设向重 a,b,c满足 a+b+ c = 0 ,a _L b,| a |=1,| b|= 2，则 | c| = TOC o 1-5 h z (A)1(B)2(C)4(D)5II44.将函数y= 4x 8的图象L按向量a平移到L1 1的函数表达式为 y= 4x ,则向量a =fffT.从点沿向量a

7、 = 3 i 6 j方向取线段AB,使| AB |=5 ,则B点坐标为.、是单位向量，的夹角为，以、为邻边作平行四边形。求平行四边形对角线的长。. ( 20XX年高考辽宁卷)已知MBC的三内角 A, B, C所对边的长分别为a,b,c设向量p =(a + c,b),q =(b -a,c-a)，若 pq,则角 C 的大小为ji(A)-6兀(B)-32 二 (D)T学习必备欢迎下载面向量与代数、几何的综合应用一、知识导学.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和，减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即 TOC o 1-5 h z 2, 22a = b c - 2bccos A HYPE

8、RLINK l bookmark97 o Current Document 222b = ac - 2accosB HYPERLINK l bookmark74 o Current Document 222c =ab -2abcosC2.正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直 径，即上=2Rsin A sin B sinCC =时，cosC =0,此时2、疑难知识导析.初中学过的勾股定理只是余弦定理的一种特殊情况。如当22,2有 c = a +b ；.由于本节内容与代数、几何联系比较紧，故读者需对解斜三角形、解析几何中的圆锥 曲线等知识非常熟悉方可。经典例题

9、导讲例1在ABC中,冗 A.一3错解：选A 错因：公式记不牢,已知a2=b2+bc+c2,则角 人为（）B. -C.二,2 二D. 一或33误将余弦定理中的“减”正解：a 2= b2+ bc+ c2= b2+ c2 2bc(记作“加”。1) =b2+c2-2bc -2cos/ A=选 C.例2在 ABC中，已知acosA =bcosB，试判别其形状。错解：等腰三角形。错因：忽视了两角互补，正弦值也相等的情形。直接由a cosA = b cosB得，sinAc osA =sinBc oB ,即sn 2A = sin 2B,则2A = 2B。接着下结论，所求三角形为等腰三角形正解：由 acosA

10、= bcosB得，sin AcosA = sin BcosB ,即 sin2A = sin2B则2A = 2B或2A+2B =180 ,故三角形为直角三角形或等腰三角形。例3在中，试求周长的最大值。并判断此时三角形的形状。学习必备欢迎下载错解：由于题目中出现了角和对边，故使用余弦定理，进一步想使用不等式或二次函数求最 值错因：其实这种思路从表面上看是可行的，实际上处理过程中回遇到无法进行下去的困难。正解：由正弦定理，得a=2( J6 + 42 )sinA, b=2( 庭+弋2)sinB.a+b=2(62 )(sinA+sinB)=4( .,6+.2 )sin ? cos TOC o 1-5 h

11、 z sin 3 二sin75o= 62 HYPERLINK l bookmark14 o Current Document 24 HYPERLINK l bookmark88 o Current Document 2 A - B2a+b=(.16 + %； 2 ) cos ( 0)顶点O作两条互相垂直的弦OA OB仰图),求证：直线AB过一定点，并求出这一定点.分析：对于向量a=(x1, y1), b=(x2,y2),有a/ bu x1y2-x2y-0.可以用来处理解析几何中的三点共线与两直线平行问题.t：. t2证明：由题意知可设A点坐标为(,t 1),B点坐标为(上，t 2)2p2p学习

12、必备欢迎下载 t12OA =(,t i), OB =(2p.OAa OB,.1.+ tl?t 2=0= t1?t2=-4p2 设直线AB过点M(a,b),则BM =(a-生,b-t 2),2pBA=(幺 2p1-t 2),由于向量BM.与BA是共线向量a - ) (t i-t 2)= (b-t2ptl2p化简得 2P(a-2p)=b(t i+t 2)显然当a=2p,b=0时等式对任意的成立，直线AB过定点，且定点坐标为 M(2p,0)四典型习题导练.已知锐角三角形的边长分别为2, 3, x,则第三边x的取值范围是()A. 1x5B.守5 Vx vT3 C . 713 Vx 5 D. 1x V5

13、.三顶点，则的面积为 。 ABC中，若边 a： b: c= 由e2 =油2，%=*b3(九匚 R) , a_L bu a1b1 +a2b2 +%与=0 -u 若 A(x1,y1,z1), B(x2,y2, z2),则 AB = (x? x，y? y1，z? z1).一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点 的坐标.aA a2b2a3b34 模长公式:若 3 =(a1,a2,a3), 则 | a |= jl 1 = Ja：+a22 +a32 .222222a2 a3 , b1b2b35.夹角公式： cos： a b 二 M % = 一 |a| |b|16.两点间

14、的距离公式:若 a(。ya, B(x2,y2,z),则舄地=xmrwm二、疑难知识导学1、对于这部分的一些知识点，读者可以对照平面向量的知识，看哪些知识可以直接推广， 哪些需要作修改，哪些不能用的，稍作整理，以便于记忆；2、空间向量作为新加入的内容，在处理空间问题中具有相当的优越性，比原来处理空间问题的方法更有灵活性，所以本节的学习难点在于掌握应用空间向量的常用技巧与方法，特别是体会其中的转化的思想方法.如把立体几何中的线面关系问题及求角求距离问题转化为用向量解决，如何取向量或建立空间坐标系，找到所论证的平行垂直等关系，所求的角和距离用向量怎样来表达是问题的关键.3、向量运算的主要应用在于如下

15、几个方面：（1）判断空间两条直线平行（共线）或垂直；（2）求空间两点间的距离；（3）求两条异面直线所成的角.4、本节内容对于立体几何的应用，读者需自行复习，这里不再赘述。三、经典例题导讲例1下列所表木的空间直角坐标系的直观图中，不正确的是（）学习必备欢迎下载错解： C D中任选一个错因：对于空间直角坐标系的表示不清楚。要符合右手系的规定，就可以作为空间直角坐标系.正解：易知(C)不符合右手系的规定，应选有共同的原点，且两两垂直的三条数轴，只(C).例2已知点A(-3, 1, 1),点B(-2, 2, 3),在Ox Oy、Oz轴上分别取点 L、M N, 使它们与A B两点等距离.错因：对于坐标轴

16、上点的坐标特征不明；使用方程解题的思想意识不够。分析：设Ox轴上的点L的坐标为(x, 0, 0),由题意可得关于 x的一元方程，从而解得x的值.类似可求得点 M N的坐标.解：设 L、M N 的坐标分别为(x , 0, 0)、(0 , y, 0)、(0, 0, z).由题意，得(x +3)2+1 +1 = (x +2)2+ 4+ 9,9+(y + 1)2+1 = 4+ (y 2)2+ 9, 一2一 29+1 + (z -1) =4+4+(z -3).3分别解得x=3.y=1,z=e,、故 L(3,0,0),M(0,1,0),N(0,0,3)评注：空间两点的距离公式是平面内两点的距离公式的推广：

17、若点P、Q的坐标分别为(xi,y1, zi)、(x 2, y2, z2),则 P、Q的距离为PQ = . (x2 - Xi)2 (y2 - 必)2 (z2 - Zi)2必须熟练掌握这个公式.一J ,、+ L*.4 一产 4例 3设 a = (a1, a2 ,a3) , b = (b),b2,b3),且 a#b,记 |a-b|=m,求 ab 与 x 轴正万 向的夹角的余弦值.错解：取x轴上的任一向量c=(x,0,0),设所求夹角为a , (a -b) c = (a -n,a2 -4田3 -b3) (x,0,0) = (a -b1)x (a1 b1)x _ ”吗|a-b| |c|mx学习必备欢迎下

18、载即余弦值为 a1 b1 m错因：审题不清。没有看清“ x轴正方向，并不是x轴正解：取x轴正方向的任一向量 c = (x,0,0),设所求夹角为a ,.,7 4 (a -b) c =(a1-匕0-b2,a3 -h) (x,0,0) = (a1 -h)x3*cosa =.,)c = -h)x- a1二4 即为所求. TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark118 o Current Document |a -b| |c|mx m例 4在 A ABC中，已知 AB = (2,4,0), BC =(-1,3,0),则 / ABC=解：BA =(-2, -4,0), BC

19、=(-1,3,0),BA*BC 2-122cos :二 BA, BC =：=-| BA|BC | 2、5，. 102 ./ ABC= 135 .例 5已知空间三点 A(0,2,3),B( 2,1,6),C(1,1,5),求以向量 AB, AC为一组邻边的平行四边形的面积S；若向量a分别与向量 AB,AC垂直，且|a|= J3,求向量a的坐标.AB AC分析：-AB =(-2-1,3), AC =(1,3,2)，二 cos/BAC 二 一 一 | AB|AC |./BAC= 60 ,二 S =| AB |AC |sin60，= 7V3设 a = (x,y,z),则 a _L AB = -2x 一

20、 y + 3z = 0, a _ AC= x-3y 2z = 0,|a|= 3= x2 y2 z2 = 3解得 x= y= z= 1 或 x = y = z= 1, a = (1,1,1) 或 a = ( - 1, 1, - 1).例6已知正方体 AC1的棱长为a, E是CCaq中点，。是对角线BDaq中点,求异面直线 CCi和BDi的距离*解：以D为原点，DA, DC,DDi所在的直线分别为x轴，y轴、z轴建立空间直角坐标系,CiEC则 A(a,0,0), B(a,a,0),C(0, a,0)B(a,a,a),A1(a,0,a),D(0,0,0),学习必备欢迎下载设 E(x, y,z),E在平面ADB上， AE =%AD + -AB,即(xa, y,z a) =Ma,0, a)+邑(0,a,a),x = a -.a! TOC o 1-5 h z y = Na,J z = a - i a - a-1 ( ( -1(x, y-2,z)(-a,0,-a) =0 CE _L A1D,CE 1 BD , /. T,(x,y-2,z)(-a,-a,0) =0, 一 .2111.3斛得：九=N = CE = (a, - - a, - a) , /. CE = a . 33333另外，此题也可直接求 B1c与BD间的距离.设B1c与BD的公垂