高数同济全微分课件

1、全微分的定义可微的条件小结 作业total differentiation第三节 全 微 分第八章 多元函数微分法及其应用1第1页，共30页。函数的变化情况.偏导数讨论的只是某一自变量变化时函数的变化率.现在来讨论当各个自变量同时变化时全 微 分2第2页，共30页。先来介绍全增量的概念为了引进全微分的定义,全增量.域内有定义,函数取得的增量全增量.全 微 分一、全微分的定义3第3页，共30页。全微分的定义处的全微分.全 微 分可表示为可微分,在点则称函数称为函数记作即函数若在某平面区域D内处处可微时,则称可微函数.这函数在D内的而不依赖于4第4页，共30页。 可微与偏导数存在有何关系呢？微分系

2、数注全微分有类似一元函数微分的A=? B=?两个性质:全 微 分全微分的定义可推广到三元及三元以上函数.的线性函数;高阶无穷小.5第5页，共30页。1. 可微分的必要条件( 可微必可导).定理1(可微必要条件)如果函数可微分,且函数的全微分为全 微 分二、可微的条件6第6页，共30页。证总成立,同理可得上式仍成立,此时的某个邻域如果函数可微分,全 微 分可微分,7第7页，共30页。都不能保证函数在该点连续. 多元函数在某点可微是否保证 事实上,显然,答:由全微分的定义有可得多元函数可微必连续 连续的定义不连续的函数上一节指出,多元函数在某点各个偏导数即使都存在,函数在该点连续如果函数可微分,则

3、函数在该点连续.一定是不可微的.全 微 分8第8页，共30页。多元函数的各偏导数存在 全微分存在如，下面举例说明二元函数可微一定存在两个偏导数.一元函数在某点的导数存在 微分存在回忆:一元函数的可导与可微的关系?但两个偏导数都存在函数也不一定可微.(由偏导数定义可求得)由定理1知全 微 分9第9页，共30页。则说明它不能随着而趋于0,因此,如果考虑点沿直线趋近于全 微 分10第10页，共30页。说明 各偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件. 这也是一元函数推广到多元函数出现的又函数是可微分的. 多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在.一个原则区别.现再假定函数的则可证明全 微

4、分各个偏导数连续,11第11页，共30页。2. 可微分的充分条件定理2(微分充分条件)全 微 分偏导数证明:省略12第12页，共30页。在原点(0,0)可微.并非必要条件.如事实上,注定理2的条件(即两个偏导数在点连续)可微的充分全 微 分仅是函数在点条件,同样, 13第13页，共30页。全 微 分在原点(0,0)可微.于是,14第14页，共30页。即函数f(x,y)在原点(0,0)可微. 但是,事实上,偏导数在原点(0,0)不连续.全 微 分 所以,特别是 不存在.即fx(x,y)在原点(0,0)不连续.极限fy(x,y)在原点(0,0)也不连续.同理可证,函数在一点可微,此题说明:在这点偏

5、导数不一定连续.15第15页，共30页。记全微分为 通常把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和叠加原理也适用于二元以上函数的情况.习惯上,称为二元函数的微分符合叠加原理全 微 分如三元函数则16第16页，共30页。解全 微 分计算函数在点的全微分.所以例17第17页，共30页。解全 微 分例18第18页，共30页。答案练习全 微 分19第19页，共30页。全 微 分解例试比较的值.20第20页，共30页。全 微 分 2002年考研数学一, 3分考虑二元函数 f (x, y)的下面4条性质: f (x, y)在点(x0 , y0)处连续, f (x, y)在点(x0 , y0)处的两个偏导数连

6、续, f (x, y)在点(x0 , y0)处可微,f (x, y)在点(x0 , y0)处的两个偏导数存在.若用“”表示可由性质P推出性质Q,则有(A) . (B) . (C) . (D) . 单项 选择题21第21页，共30页。连续.D全 微 分结论不正确的是( ).都存在,22第22页，共30页。D全 微 分23第23页，共30页。全 微 分填空题24第24页，共30页。(非)事实上,全 微 分是非题25第25页，共30页。全微分的定义全微分的计算多元函数极限、连续、偏导、可微的关系(注意：与一元函数有很大的区别)全 微 分可微分的必要条件、可微分的充分条件三、小结26第26页，共30页。 对一元函数的极限、连续、可导、可微间的关系：可微 可导 连续 有极限 对多元函数的极限、连续、可导、可微的关系：偏导连续 可微 连续 有极限 有偏导全 微 分27第27页，共30页。全 微 分全微分公式恒成立吗?不一定.考虑函数思考题128第28页，共30页。作业习题8-3