切线不等式的应用教学文案

1、利用不等式“ x R,ex x 1”解决高考压轴题呼和浩特市第二中学郎砺志x R,ex x 1 ”这一结论频繁地出现在与导数相关的各种教辅材料中，可以说学生很熟悉这个不等式的结论和证明过程，但是大多数人可能仅仅把它当成是一道练习题, 殊不知，就是这样一个看似不起眼的结论，却撑起了近5年高考理科数学导数试题(压轴题)的半边天，所以本文的主要内容就是：分析近几年高考导数试题，诱发新的解题线索， 提供高效而实用的解题方案，最后给出2013年全国理科数学新课标卷第 21题的一种新解法。命题 1.x R, exx 1.可以从两个角度证明这个命题的正确性。角度1.构造函数证明：设 f(x) ex x 1,

2、x R,则 f (x) ex 1令 f (x) ex 1=0,解得 x 0,则当x (,0)时，f (x) 0, f(x)单调递减;则当x (0,)时，f(x) 0, f(x)单调递增;于是由单调性可知,f(x)min f(xL、=f (0) 0 ,即 x R,ex x 1。角度2.数形结合在同一坐标平面内作出两个函数_xf(x) e,g(x) x 1的图象，如下图所示,证完!由上图可知，这个不等式实际上反映的是曲线f(x) ex和其图象上的点(0,1)处的切线图形的高低关系。于是这里得到,定理.x R,ex x 1,当且仅当x 0时取等号。由上面的定理可以立即得到，1 2推论 1. x 0,

3、),e1 x -x证明：让我们换一套思路证明它，tx txt R ,S t 1 ,则 x R , etdt C x)dt,1c根据牛顿-莱布尼茨公式可得 ex 1 x1x2,证完！2这里要点明，这个结论实际上在高等数学中是显然的，根据函数的哥级数展开可得, HYPERLINK l bookmark6 o Current Document 23 HYPERLINK l bookmark42 o Current Document xx HYPERLINK l bookmark2 o Current Document x 2!3!121 x x , x 0,).。2xe 1推论 2. x R ,ln

4、 x x证明：由定理可得，xIn x x1推论 3. x 1,), ln x (x ).xxx证明：t 1, ),lnt t 1,则 x 1,), 1 Intdt 1 (t 1)dt,化简可彳#推论3.x 1时取等号。X 1R ,e x,两边同时取以e为底的对数得,接下来就是高考试题的分析。题1 (2010年全国理科数学n卷第22题节选)设函数f(x) 1 e求证：当x 1时，f(x) 。x 1x 证明：欲证当x 1时，f(x) ，只须证明:x 1v 11 e x 1，即x 1v 1e x ,也即x 1ex x 1,得证。题2.(2013年辽宁理科数学卷第 21题节选)已知函数f(x) (1

5、x)e2x.求证：当x 0,1时，f(x)证明：事实上，等价于证明e2x (x 1)2,也即xe x 1.题3.(2010年理科数学新课标卷第 21题节选) 设函数 f (x) ex 1 x ax2,当x 0时，f (x) 0.求实数a的取值范围。 TOC o 1-5 h z 111解：由推论1可知，a满足条件，于是当a时均满足条件，事实上，当 a时，222f (x) ex 1 2ax, f (x) ex 2a ,故当 x (0, ln(2a)时，f (x) ex 2a 0,此时函数f (x)单调递减，有f (x) f (0) 0,从而函数f (x)单调递减，所以、，一1f (x) f (0)

6、 0,这和题目条件矛盾，综上， a - o这里顺便指出，利用这道题的结论可以轻松断定2012年辽宁理科数学高考第 12题白A A选项是错误的，从而我们也能感受到高考试题的延续性。题4. (2011年湖北省理科数学卷第21题节选)设ak，bk(k 1,2,3,n)均为正数，证明：若 aQ a2b2anbn “ b?bn,则 a；a2b2anbn 1。证明：欲证 a1b1a2b2anbn 1,只须证 ln(aa2b2anbn) In 1 0,即 b1 In a b2 In a2bn In an 0事实上，根据题意即推论 2可知，In ak ak 1,k 1,2,3, ,n,带到式左边可得，b1 I

7、n a b2 In a2bn) 0,证完。bn In anb(a1 1)bz(a2 1)bn(an1)= (b1a1 b2a2bnan) (b1 b2题5. (2010年湖北省理科数学卷 21题节选) TOC o 1-5 h z ，、一111n求证：1ln(n 1)2 3n2(n 1)11证明：由推论3知： x 1,), lnx 1(x 1)；且2x-11、当 x 1, ln x 一(x )； 2 x人 k 1k 11 k 1令 x 1 ,(k 1,2,3, n),有 In(kk 2 k2(11)(1)一一，1 11 、 .一于是有，ln(k 1) Ink -(- -), k 1,2,3,n.

8、将这n个同向不等式相加并整理即可得：111nln( n 1)3 n2(n 1)证完。卜面给出2013年全国新课标卷第21题的一种新解法。题6.已知函数f (x) ex ln( x m)当 m 2时，f (x) 0.证明：很明显，f(x) exln(x 2),若记 g(x) ex ln(x 2),则只 须证明g(x) ex ln(x 2) 0即可，事实上，由推论 2, ln(x 2) x 1知, g(x) ex (x 1),设h(x) ex (x 1),由定理可知h(x) 0成立，但上述等号无法同时取得，综上，利用“”的传递性可得，当 m 2时，f (x) 0.证完!上面的各个例题告诉我们，不等式“x R,ex x 1”及其推论在高考试卷中的应用