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常系数 第七节齐次线性微分方程 基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程(代数方程)之根转化 第七章 二阶常系数齐次线性微分方程:和它的导数只差常数因子,代入得称为微分方程的特征方程,( r 为待定常数 ),所以令的解为 其根称为特征根.1. 当时, 有两个相异实根方程有两个线性无关的特解:因此方程的通解为则微分时, 特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解2. 当设另一特解( u (x) 待定)代入方程得:是特征方程的重根取 u = x , 则得因此原方程的通解为3. 当时, 特征方程有一对共轭复根这时原方程有两个复数解:特征方程 利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:因此原方程的通解为小结:特征方程:实根 特 征 根通 解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .例1. 的通解.解: 特征方程特征根:因此原方程的通解为例2. 求解初值问题解: 特征方程有重根因此原方程的通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解为内容小结特征根:(1) 当时, 通解为(2) 当时, 通解为(3) 当时, 通解为可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解 .

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