差商以及插值多项式

1、关于差商及插值多项式第一张，PPT共二十页，创作于2022年6月一般地，称k-1 阶差商的一阶差商为f(x)关于点 的 k 阶差商。例如，已知f(x)在的函数值为：可以求得第二张，PPT共二十页，创作于2022年6月2.差商的性质性质1：k 阶差商是由函数值的线性组合而成，即其中以k=2进行证明。由得到第三张，PPT共二十页，创作于2022年6月由得到从而第四张，PPT共二十页，创作于2022年6月由性质1立刻可得。 性质2:差商具有对称性,即k阶差商 fx0 , x1 , , xk-1 , xk 中，任意调换 xi , xj 的次序，其值不变。再由数学归纳法可证得：第五张，PPT共二十页，创

2、作于2022年6月 性质3：若f(x)为n 次多项式，则f x,x0为关于x 的n-1次多项式。证明：已知故类似的可以得到：也就是说，对多项式求一次差商，次数降低一次。由于是的根，所以第六张，PPT共二十页，创作于2022年6月3.差商的计算 为构造 Newton 插值多项式方便起见，计算差商时，采用列表的方式进行。 第七张，PPT共二十页，创作于2022年6月 例 2.2 已知函数 y=f(x) 的如下离散数据(1,0)、(2,2)、(4,12)、 (5,20)、(6,70)，试求其各阶差商. 解：列差商表计算xy一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商 1022412520670 2 5 8 50

3、 1 1 21 0 5 1第八张，PPT共二十页，创作于2022年6月二、Newton 插值多项式 对于区间a,b内的离散点 及相应的函数值 ，计算如下差商：可以求得：第九张，PPT共二十页，创作于2022年6月第十张，PPT共二十页，创作于2022年6月依次类推得到：令：则可以将函数 f(x) 表示成：第十一张，PPT共二十页，创作于2022年6月由如上构造，容易验证因此 Nn(x) 满足插值条件，是一个 n 次插值多项式。并称为n次Newton插值多项式。如果 f(x) Nn(x),则误差为： 第十二张，PPT共二十页，创作于2022年6月关于Newton插值多项式，有以下几个特点：1Ne

4、wton插值多项式与同次Lagrange插值多项式相同，因而误差相同因为Newton插值多项式与Lagrange插值多项式满足相同的插值条件，由插值多项式的存在唯一性知因此，Newton插值多项式与Lagrange插值多项式的误差相同。这样，由 Nn(x)=Ln(x)得到第十三张，PPT共二十页，创作于2022年6月这个表达式给出了 n+1 阶差商与 n+1 阶导数之间的关系式。例3 已知，试求其如下差商解：由差商与导数的关系式得到练习：提示：第十四张，PPT共二十页，创作于2022年6月2. Newton插值多项式具有递推式由可知所以，具有递推公式：第十五张，PPT共二十页，创作于2022年

5、6月所以，具有递推公式：由此可知：当求出n次插值多项式后，再增加一个节点时，只需要增加一项的计算即可。由Newton插值多项式的结构可以看出，在构造Newton插值多项式时，必须首先计算各阶差商。3. Newton插值多项式的计算第十六张，PPT共二十页，创作于2022年6月 例4 已知f(x) 的五组数据(1,0)、(2,2)、(3,12)、(4,42)、(5,116),求 N4 (x)。如果再增加一个节点(6,282),求出N5(x)，并计算 N4(1.5)、N5(1.5).解：先由前五组数据列差商表1 02 23 124 425 116210307441022240.5得到：如果，再增加一点(6, 282),就在上表中增加一行计算差商。6 28216646810.1第十七张，PPT共二十页，创作于2022年6月由Newton公式的递推式得到：得到：练习题：已知离散数据(1,0)、(2,2)、(4，12）、(5,20) 求三次Newton插值多项式，增加一点(6,70)后， 再求出四次Newton插值多项式。第十八张，PPT共二十页，创作于2022年6月本节(3 )要点1.掌握差商及其性质，导数与差商的关系2.掌握Newton 插值多项式的构造方法及具体结构3.掌握Newton插值多项式的误差结果4.编写Newton插值多项式计算程序进行实际计算思考