清华电机系 《自动控制原理》离散控制系统

1、六、离散(lsn)控制系统6.1 引言6.2 z变换和z反变换6.3 脉冲传递函数6.4 离散系统数学模型 6.5 离散系统性能分析6.6 数字(shz)控制器设计共五十六页6.1 引言一个系统中，如果控制器是离散的，对象是连续的，则称为(chn wi)采样离散控制系统。如图系统，虚框中为离散部分而虚框外为连续部分。迄今，总共有1亿多个离散控制系统。共五十六页数字控制(shzkngzh)的优点：1，占用空间小；2，成本低；3，灵敏、抗干扰性强；4，方便控制算法的重构与复用。在象Boeing757，767自动驾驶系统中没有数字控制器其构成是不可想象的。在离散控制系统的分析中为方便起见引入以下假设

2、：1，定时采样和A/D转换相当于一个每隔T秒瞬时接通一次的理想采样开关，采样时间为0，周期为T。2，D/A相当于保持器，将数字信号变为连续信号。本课程中假设保持器均为0阶保持器：保共五十六页持器输出的值在采样瞬间等于离散(lsn)信号的值，而在两个采样瞬时之间保持为常值且等于前一采样瞬时上的值。若图中虚线所示连续部分为u(t)，采样后为u*(t)，则其对应的拉氏变换为共五十六页零阶保持器的拉氏变换为传递函数是分析(fnx)线性连续系统的有力工具，但对序列u*(t)和零阶保持器的拉氏变换表明：在离散系统中沿用传统的拉氏变换为分析工具在运算中会出现s的超越函数，带来不便，采用z变换则可避免这一问题

3、。6.2 z变换和z反变换共五十六页若令 或 ，则这是一种由s平面到z平面的保角变换，可视为拉氏变换的一种特殊形式。z变换的性质：1，线性 2，位移 3，初值 4，终值 （只有 时x(k)收敛(shulin)情况下才能应用） 5，复位移 共五十六页6，复微分7，差分 后向 前向8，卷积 反变换方法：1，幂级数法（长除法）例，适用于简单函数(hnsh)，但难以求闭式解。2，部分分式法 共五十六页3，留数法6.3 脉冲传递函数及离散动态(dngti)方程1，取差分方程（前向）若差分定义如上，则用差分表示动态系统中动 共五十六页态环节可得到系统的差分方程模型 (6.1)在零初值条件下取z变换，得则

4、(6.2)定义：线性定常离散控制系统，在零初始条件下，输出(shch)序列的z变换与输入序列的z变换之比，称为该系统的脉冲传递函数（或称z传递函数）共五十六页。则所得的时间序列为零状态响应，且仅在采样时刻有效。若取则 R(z)=1, Y(z)=G(z)R(z)=G(z)设系统冲击响应序列为g(k)，则即脉冲传递函数是系统冲击序列的z变换。若输入系统的为非冲击序列r(k), 则2，离散动态方程由描述(mio sh)离散系统动态特性的差分方程 (6.1)和 共五十六页(6.2)，可用状态变量为基础列出系统的离散(lsn)动态方程（单入单出）： (6.3)a，高阶差分方程转为离散状态空间方程算法：方

5、程(6.2)，将输出序列补至m=n，多补出项系数为零。取状态变量为共五十六页 (6.4) 经推导可得下列形式(xngsh)的状态方程： (6.5)式中一般地，m0 和 0.63K0 共五十六页 0K4.35取T=0.1，得 0K r(t)=t*1(t)时若定义(dngy) ，则 Kv ess 0型 01型2型共五十六页3r(t)=0.5t2*1(t)时若定义 ，则令 ，则 Ka ess0型1型2型 说明(shumng)：有差系统的稳态误差除与开环传递函数 共五十六页和输入有关外，还与采样周期有关；2，上述结果仅为采样时刻稳态误差，采样时刻间还将有纹波。3，离散系统动态响应分析若典型(dinxn

6、g)输入信号为1(t)，则 (6.14)故 (6.15)共五十六页设其中A0为阶跃响应稳态值，其余为暂态过程。1， 正实数(shsh)极点， ， 单调发散 单调衰减 等幅序列2，负实数极点， ，振荡频率 发散振荡 衰减振荡 等幅振荡3，共轭复极点， ，ri能控性系统 共五十六页是否存在控制序列U(0),U(1),U(n-1)使系统由任意初始状态 开始转移(zhuny)，在第n步达到由离散状态方程递推解法则 (6.18)则上式有解的充要条件是n个方程线性无关，或 且 p=1时 有唯一解；p1时有无穷多解。 共五十六页例6.9 系统其中(qzhng) 试判别其能控性。解：b*T=1,0,1时则系统

7、能控，b*T=1,2,1时 共五十六页故系统(xtng)不能控。2，系统能观性系统是否能由序列y(0), y(1), , y(n-1)唯一地确定初始状态 ，若能，则称系统可观。由系统方程写成矩阵形式，有 共五十六页 (6.19)q=1时，rankV=n，（6.19)有唯一解。q1时，有唯一解或最小二乘解。例6.10 离散系统其中(qzhng)C*=c*T=0,1,0或 , 判别其能观性。 共五十六页解：C*=0，1，0时系统(xtng)能观。当 ，系统不能观。共五十六页连续系统(xtng)与其离散化的相应离散系统(xtng)关系：* 连续系统A,B,C不能控（或不能观），则A*,B*,C*必不

8、能控（或不能观）。*连续系统A,B,C能控（或能观），则A*,B*,C*不一定能控（或能观），能否能控或能观取决于采样周期T的选择，但符合以上判据。6.6 数字控制器设计如图，若将A-B以下视为连续系统，则系统变为连续系统。若将AB以上视为离散系共五十六页统。 共五十六页1，模拟化设计方法若采样频率比系统工作频率高得多（ ），忽略采保引入的影响，可将离散部分用连续控制器代替，用模拟化方法设计得模拟控制器后，再用适当方法（如双线性变换）离散化得到Gc(z)以便用微机实现。关于系统的截止频率和采样频率关系不一定(ydng)总满足，这种方法有时有较大误差，此处不再展开。2，数字化设计方法采用数字化设

9、计方法，可不忽略采保影响。其思路为首先将连续部分离散化，然后与数字控共五十六页制器Gc(z)串联，把整个系统作为完全的离散系统按数字化方法设计。A，最少拍控制系统的z域设计法如图系统Gp(z)包含零阶保持(boch)器和被控对象， Gc(z)为数字控制器的脉冲传递函数。则 (6.20) (6.21)共五十六页 设 （6.22)代表不同(b tn)的典型输入，若最少拍系统使系统稳态误差为0，则 （6.23)式中MN，F(z)为不含(1-z-1)因子的z-1多项式，通常取M=N, F(z)=1, 则 (6.24)式中B(z)为阶次为（N-1）的z的多项式。则 (6.25)共五十六页为使(6.25)

10、中Gc(z)可实现，设n、m分别为对象Gp(z)分母和分子多项式阶次，则 或 (6.26) 也就是说，对象极点数只能比零点数多1，否则F(z)=1时Gc(z)不可(bk)实现。这种情况下要实现Gc(z)必须使 ，此处不再展开。例6.11系统如图所示，Gh(s)为零阶保持器，共五十六页 ，设采样周期T=1s，当输入为速度信号时，按最少拍设计数字控制器Gc(z)。解：系统连续部分的脉冲传递函数为对速度信号，最少拍系统的闭环脉冲传递函数为因n=2, m=1, Gc(z) 按(6.25)可实现(shxin)，则则单位速度输入作用下有共五十六页单位(dnwi)阶跃输入作用下有 共五十六页内容摘要六、离散控制系统。本课程中假设保持器均为0阶保持器：保。若差分定义如上，则用差分表示动态(dngti)系统中动。脉冲传递函数实现至离散状态