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文档简介
1、方格取数 解题报告东北师大附中 王康宁题目描述有一个N*N的方阵(N2*105),第i行第j列的数为Ai*Bj(1Ai,Bj106),序列A和B均为随机生成的。有T(T5*104)次询问,每次询问从给定的起始位置走到给定的终止位置,每次只能向下或向右走一步,经过的数的最小总和。题目描述题目描述数据范围对于20%的数据,N100,T100。对于50%的数据,N3000,T1000。对于70%的数据,N50000,T20000。对于100%的数据,N200000,T50000,1Ai, Bi106。保证询问合法,所有的Ai, Bi均为随机生成的。 算法一对于每一组询问,用动态规划暴力求解。时间复杂
2、度:O(T*N*N)空间复杂度:O(N*N)期望得分:20分一些想法将矩形沿中间的竖线分为两半,预处理中间竖线上的每个点到两边每个点的答案。递归处理左右两边,交替分割横竖方向。如果询问分别在左右两边,则枚举经过的中间竖线上的点。否则递归处理。时间复杂度:O(N3+T*N)似乎太慢了。一些想法将方阵分成S*S块,预处理每个点到块边界的每个点的答案,以及每个块内每对点的答案。询问时两个点若不在同一块,则枚举其中一个点第一次经过块边界的位置,否则直接回答。时间复杂度:O(N3*(S+N/S2)+T*N/S)同样太慢了。一些想法注意到,序列A和B均为随机生成的。此时,答案的曲线的转折点似乎不会很多。一
3、些想法注意一个转折点,和它相邻的两个转折点之间的部分。假如这个转折点所在列的权值不小于区域中其左边的某列权值,也不小于区域中其右边的某列权值。下面给出一种不更差的方案。一些想法根据两行之间的权值关系,下列方案一定有至少一种不更差。一些想法设转折点分别在L1,L2,Lk行(列),一定存在一种最优方案,使得:Li行的权值,要么小于Li-1至Li-1所有行的权值,要么小于Li+1至Li+1所有行的权值。若前者成立,则Li-1行的权值一定小于Li-2至Li-1-1所有行的权值,而Li-2行的权值一定小于Li-3至Li-2-1所有行的权值,所以Li行权值比之前所有行的权值都小。一些想法因此,任意一个转折
4、点所在行(列)的权值,要比询问区域中左边所有行权值都小,或者比右边所有行权值都小。对于随机数据,第i行的权值比之前所有行权值都小的概率为1/i。因此期望的转折点个数为:1/1+1/2+1/n=O(log n)算法二我们暴力找出所有可能存在转折点的行和列。然后动态规划求解,此时,只有可能存在转折点的行和列才为有效状态。期望行数和列数都是O(logN),而期望的乘积等于乘积的期望,所以期望状态数是O(log2N)。记录数组A和B的部分和来加速转移。算法二时间复杂度(期望):O(T*(N+log2N) 即O(T*N)期望得分:50分算法三上个算法的瓶颈是找出可能存在转折点的行(列),即询问一个序列某区间中比之前(之后)所有数都小的数,只要求出每个数之后(之前)第一个比它小的数即可,而这一工作可以使用单调队列来完成。算法三比如求每个数之后第一个比它小的数,可以从后向前扫描这个序列,将单调队列队尾不小于当前数的部分出队,则这个数
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