【学习课件】第二章-多元正态分布及其抽样分布

1、第二章多元正态分布及其抽样分布编辑ppt内 容第一节 多元正态分布的定义第二节 多元正态的性质第三节 多元正态参数的极大似然估计第四节 多元正态的样本分布编辑ppt第一节 多元正态分布的定义一、标准多元正态分布 则设随机向量其分量独立同分布于密度函数为编辑ppt其中的均值为编辑ppt 协方差矩阵为编辑ppt 二、一般的正态分布 设随机向量 ,若其的密度函数为编辑ppt其中 的均值为 协方差为称 服从均值为E(X)，协方差为的正态分布。编辑ppt 三、一般的p维正态和p维标准正态的关系 设 ，其中 是一个 阶非退化矩阵， 服从 维标准正态分布，则 服从p维正态分布，且均值向量为编辑ppt x的协

2、方差矩阵为编辑ppt其密度函数为 编辑ppt 若 ，则1存在， 是非退化 元正态分布； 若 ，则 不存在， 是退化 元正态分布，不存在密度函数。 值得注意 设随机向量 ， 是常数向量， 是一个 的常数矩阵，则 服从正态分布，记为 ，其中 编辑ppt 例：设随机向量 ， ， ，则 的分布是退化的三元正态分布。编辑ppt第二节 多元正态分布的性质二、x是一个服从p维正态分布，当且仅当它的任何线性函数 服从一元正态分布 。一、多元正态分布的特征函数 三、 X服从 维正态分布，则 ，其中 为 常数矩阵， 为 维的常数向量，则编辑ppt 四、设 ，则 的任何子向量也服从多元正态分布，其均值为 的相应子向

3、量，协方差为 的相应子矩阵。编辑ppt 五、设 , ， 相互独立，且，则对任意 个常数 ，有编辑ppt 六、 ，则 分布。编辑ppt 七、将 作如下的分块： 子 向量相互独立，当且仅当 。证：必要性编辑ppt编辑ppt编辑ppt编辑ppt 八、设 ， ， ，其中 是 阶矩阵， 是 阶矩阵， ， ，则 与 相互独立，当且仅当 。 编辑ppt 九、设 ， ， ，其中 是 阶矩阵， 是 阶矩阵， ， ，则 与 相互独立，当且仅当 。 同上可证。编辑ppt 十、将 作如下的分块： 则 与 相互独立， 与相互独立 。证：编辑ppt编辑ppt则给定 时 的条件分布为 ，其中 十一、将 作如下的分块： 为

4、给定的条件下 数学期望。编辑ppt 十二、偏相关系数 矩阵 称为条件协方差矩阵，它的元素用表示。是当 给定的条件下， 与 （ ）的偏相关系数，定义为 它度量了在值 给定的条件下， 与（ ）相关性的强弱。编辑ppt例 设XN6( ,)，其协方差矩阵为，计算偏相关系数。编辑ppt编辑ppt求x7给定的条件下，x1， x6的偏协方差矩阵编辑ppt编辑ppt编辑ppt编辑ppt编辑ppt编辑ppt3 实例分析及SAS/CORR 例1 今对31人进行人体测试，考察的7个指标是： x1：年龄 x2：体重 x3：肺活量 x4：1.5英里跑所需时间 x5：休息时的脉搏 x6：跑步时的脉搏 x7：跑步时记录的最

5、大的脉搏 对这些指标进行一些相关分析。编辑pptSAS的程序data a;input x1-x7;cards;44 89.47 44.609 11.37 62 178 18240 75.07 45.313 10.07 62 185 18538 89.02 49.874 9.22 55 178 18047 48 61.24 47.920 11.50 52 170 17652 82.78 47.467 10.50 53 170 172; proc corr nosimpl cov;var x1;with x7;partial x3;run;编辑pptproc corr nosimpl cov;分析

6、相关系数nosimpl是要求不打印描述性统计量。var x1;指定分析相关系数的变量。with x7; with指定变量与var指定的变量之间的相关系数。partial x3;当指定的变量给定时，计算偏相关系数。编辑pptx1x2x3x4x5x6x7 x11.00000-0.23354-0.304590.18875-0.16410-0.33787-0.43292P值 0.20610.09570.30920.37770.06300.0150 x2-0.233541.00000-0.162750.143510.043970.181520.24938P值0.20610.38170.44120.814

7、30.32840.1761 x3-0.30459-0.162751.00000-.86219-0.39936-0.39797-0.23674P值0.09570.3817.00010.02600.02660.1997 x40.188750.14351-0.862191.000000.450380.313650.22610P值0.30920.4412.00010.01100.08580.2213 x5-0.164100.04397-0.399360.450381.000000.352460.30512P值0.37770.81430.02600.01100.05180.0951 x6-0.33787

8、0.18152-0.397970.313650.352461.000000.92975P值0.06300.32840.02660.08580.0518.0001 x7-0.432920.24938-0.236740.226100.305120.929751.00000P值0.01500.17610.19970.22130.0951 |r| under H0: Partial Rho=0 x1 x7 -0.54573 0.0018 编辑ppt第三节 极大似然估计及其性质编辑ppt则总体的密度函数为X1，X2，Xn是从总体中抽取的一个简单随机样本，满足X1，X2，Xn相互独立，且同正态分布称X为样

9、本数据矩阵。一、样本的联合密度函数编辑ppt为样本联合密度函数。编辑ppt所以，似然函数还可以表示为：编辑ppt二、和的极大似然估计 所谓和的极大似然估计，是寻找 和 满足条件 编辑ppt令 编辑ppt可以证明和的极大似然估计为编辑ppt三、相关系数的极大似然估计 （一）极大似然估计的不变性质 设 是的极大似然估计是 ，而且变换f()是一一对应的，则f()的极大似然估计就是 编辑ppt（二）简单相关系数的极大似然估计 其中Sij是样本协方差矩阵S中相应位置上的元素编辑ppt（三）偏相关系数的极大似然估计 则偏相关系数的极大似然估计其中，。 编辑ppt（四）复相关系数的极大似然估计将x和S作如下

10、的分块 编辑ppt的线性函数为 编辑ppt 定义 (复相关系数) 一个变量y与一组变量X1,X2,XK的负相关系数是以y为被解释变量，X1,X2,XK为自变量的回归方程的可决系数。编辑ppt 为了研究四川经济增长的影响因素，欲建立四川省经济增长模型。主要经济指标采用国内生产总值增长率（Y），投资指标资本形成总额增长率（X1），人口指标用自然增长率（X2），就业指标失业率（X3）和消费指标居民消费水平增长率（X4）。分析指标之间的关系。编辑pptdata a;input y x1-x4;cards;数据行;proc corr nosimpl noprob cov;run;编辑pptproc im

11、l;sigma22=76.58605619 2.59407381 -3.45807619 49.03157071, 2.59407381 5.14447619 -0.78252381 4.24046429, -3.45807619 -0.78252381 3.63747619 -2.32063571, 49.03157071 4.24046429 -2.32063571 53.90793143;sigma12= 57.79053524 4.91975476 -2.98844524 52.41117214;fcorr=sigma12*inv(sigma22)*t(sigma12)/54.8989

12、690;print fcorr;proc reg;model y=x1-x4;run;编辑ppt Analysis of Variance Sum of MeanSource DF Squares Square F Value Pr FModel 4 1089.28592 272.32148 501.20 F Wilks Lambda 0.54561620 6.87 4 33 0.0004 Pillais Trace 0.45438380 6.87 4 33 0.0004 Hotelling-Lawley Trace 0.83279015 6.87 4 33 0.0004 Roys Great

13、est Root 0.83279015 6.87 4 33 0.0004直接检验两个总体的均值向量是否相等。编辑ppt Dependent Variable: x1 （对X1进行的检验） Sum of Source DF Squares Mean Square F Value Pr F Model 1 0.87466791 0.87466791 16.90 0.0002 Error 36 1.86300840 0.05175023 Corrected Total 37 2.73767632X1在类间有显著性差异。 Dependent Variable: x2 （对X2进行的检验） Sum of

14、 Source DF Squares Mean Square F Value Pr F Model 1 0.08312077 0.08312077 1.95 0.1710 Error 36 1.53370028 0.04260279 Corrected Total 37 1.61682105X2在类间没有显著性差异。编辑pptDependent Variable: x3（对X3进行的检验） Sum of Source DF Squares Mean Square F Value Pr F Model 1 16.46958443 16.46958443 21.45 F Model 1 0.001

15、12694 0.00112694 0.03 0.8643 Error 36 1.36978095 0.03804947 Corrected Total 37 1.37090789X4在类间没有显著性差异。编辑ppt第四节 抽样分布 一、维希特（Wishart） 1、定义随机矩阵的分布 矩阵中的每一个元素均为随机变量，则矩阵X的分布是其列向量拉长，组成一个长向量编辑ppt 特别当 是 阶对称阵，则 的分布为的下三角部分组成的长向量 在一元正态随机变量中，我们曾经讨论了 分布，在多元正态随机变量也有类似的样本分布。维希特分布（Wishart）相当于一元统计中的 分布。 编辑ppt 定义 维希特（W

16、ishart）分布的统计量 设 个随机向量 独立同分布于 ，则随机矩阵编辑ppt 服从自由度为 的非中心维斯特分布，记为 。编辑ppt 定理1：若 ，且 ， ，则 的分布密度为特别，当 和 时， 服从 分布。维希特（ Wishart）分布的密度函数编辑ppt二、维斯特(Wishart)分布有如下的性质： （1）若A1和A2独立，其分布分别 和 ，则 的分布为 ，即维斯特分布有可加性。（2） ，C为mp阶的矩阵，则 的分布为 分布。编辑ppt 三、 抽样分布 定理1：设X1,X2,Xn是来自多元正态总体Np(,)的简单随机样本，有 则有编辑ppt证明： 独立编辑ppt编辑ppt编辑ppt故且相互

17、独立。编辑ppt独立编辑ppt当 ， 时，由卡方分布的定义可知可见维希特分布是由卡方分布在多元下的推广。服从自由度为 的卡方分布。定理2 设 独立同正态分布，则统计量编辑ppt 证： 由于样本均值 相互独立的标准正态分布的平方和为自由度为 的卡方分布。编辑ppt 在一元正态的情形下，我们有样本的统计量当总体的方差未知时，我们必须用样本的方差来代替总体的方差，则那么在多元正态的情形下，是否有相同的问题呢？回答时肯定的。编辑ppt定义： 称T2服从参数为P和n的非中心霍特林（Hotelling)分布，当。 当 时， 服从自由度为n的中心霍特林分布，记为 。编辑ppt定理：编辑ppt 定理：设 是来自多元正态总体 的简单随机样本，有编辑ppt 定理：设 是来自多元正态总体 的简单随机样本， 编辑ppt