高三数学一轮复习平面向量的数量积及平面向量的应用巩固与练习

1、巩固| a|1.已知向量a与向重b的夹角为120 ,右向重c= a+b,且a, c,则帚的值为（）1A.2B.C. 2D.2,3方312.2.-2解析：选 A.c , a= (a + b) , a= | a| + a , b= | a| + | a| b| , cos120 = | a| 习 a| b|=0,= 2.故选 A.2. （2009年高考陕西卷）在ABC43, M是BC的中点，A阵1,点P在AMh且?t足AP=2 PM 贝 UPA -(PB+ PC 等于(A -9C.3D.4349解析：选A. M是BC的中点，则PA-(PB+ PC = PA- 2 PMk PA- AP= -(PA)

2、2=-(49.3. (2010Oa Ab=(3 2A. 2a。.声年江苏四市调研）已知圆O的半径为a, A, B是其圆周上的两个三等分点，则3 22a解析：选B.结合图形易知两向量夹角为 5,且|OA = a, | AB =J3a,故OAAb= | Oa| x I 丽 x cos5 兀3a24.已知平面向量 a= (2,4) , b= ( -1,2),若 c= a(a b)b,则 | c| =.解析：由 a= (2,4) , b= (1,2),得 a , b= - 2+ 8= 6, c= (2,4) 6( 1,2) =(8, 8), I c| = /82+ (-8)2 = 8m答案：8 25.

3、(原创题)三角形 ABC中AP为BC边上的中线，|前 =3, AP-BC= 2,则| A。=解析：AP- bc= 2(Ab+ AC (AC-届= 2(| AC2T Ae|2) = -21 AC=V5.答案：56.已知|a| =4, | b| =8, a与b的夹角是120 (1)计算 |4a-2b| ;(2)当 k 为何值时，(a+2b)，( kab)?1-斛：由已知，a , b=4X8x( - 2)= 一 16.(1) ,. |4 a-2b|2= 16a216a - b+4b2= 16X1616X( 16)+4X64= 3X162|4 a-2b| = 16-J3.(2)若(a+2b)，( ka

4、b),贝U(a+2b) - (kab)=0, .22. ka + (2 k- 1) a - b 2b = 0.16k- 16(2 k- 1) 2X64= 0,.k=- 7.练习(2009年高考全国卷I )设非零向量a、b、c满足| a| = | b| = | c| , a+b= c,则a,b =( )A. 150B, 120C. 60D, 30解析：选 B. a + b= c,I c| 2= | a+ b| 2= a2+ 2a . b+ b2.又 |a| =|b| = |c| ,2 2 a , b= b ,即 2|a|b|cos a, b= |b|2. TOC o 1-5 h z ,1. co

5、sa, b =2，a, b = 120 .2.共点力F1(lg2 , lg2) , F2(lg5 , lg2)作用在物体 M上，产生位移s=(2lg5,1),则共 点力对物体做的功W的()A. lg2B. lg5C. 1D. 2解析：选 D.F1 与 F2 的合力 F= (lg2 +lg5,2lg2) =(1,2lg2)又 s=(2lg5,1)所以 W=F- s= 2lg5 + 2lg2 = 2.3.已知向量a=(1,2) ,b=(-2, 4), |c|=琳,若(a+b) c=|,则 a 与 c 的夹角为()A. 30 或 150B , 60 或 120C. 120D , 150解析：选C.由

6、题意容易得出向量 a、b共线，且向量a与向量a+b的夹角为 兀，可设-一-，-，5 ，向重 a+ b 与向重 c 的夹角为 a ,则（a+ b） - c= | a+ b| | c| - cos a = 5cos a =,所以1cos a = -, a =60 ,则向量a与向量c所夹的角应为120 .答案为C.4.若向量a与b不共线，a bw0,且c= a- （aa）b,则向量a与c的夹角为（ a - b TOC o 1-5 h z A. 0B.兀兀喧D.5解析：选 D.a c = a a (aa) b = a - a- (aa)( a - b) = 0. a - ba - bac,故选 D.5

7、.设A(a, 1), B(2 , b), C(4,5)为坐标平面上三点，O为坐标原点，若 O巧O在O方向上的投影相等，则 a与b满足的关系式为()A. 4a 5b=3 B . 5a-4b=3C. 4a+ 5b= 14 D . 5a+4b= 14解析：选A.由投影计算公式可得:OA- OC OB- OC，Ioc I OC即：4a+5=8 + 5b,即 4a5b=3,故选 A.在 ABC中，(BC+Ba 於 | AC2,则三角形 ABC勺形状一定是()A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形解析：选C.由(瞅丽 AC- | AC2,得Ab(BCBA-AC = 0,即AC(BBa

8、Ca = 0,.AC-孤 0, .ACiBA,/ A= 90 .已知向量OA= (2,2) , O星(4,1),在x轴上一点 p,使Xk Bhr最小值，则 p点的 坐标是.解析：设 P(x, 0),则 AP= (x-2, 2) , BP= (x-4, - 1).因此，Ap Bp= (x-4)( x-2) +2=x2-6x+10=(x-3)2+1.当x=3时，AP 血得最小值1,此时R3,0).答案：(3,0).关于平面向量a, b, c,有下列三个命题：(a b) c (c a)b = 0 I a| 一 | b| =I a|b|a| b|同_5 |b2又 0 =30 .11.（2009年高考湖

9、北卷）已知向量 （1）求向量b+c的长度的最大值；a= (cos a ,sin a ) , b= (cos 3 ,sin 3 ) ,c= ( 1,0).(2)设 a7t且 a( b+ c),求cos 3的值.解：(1)法一：b+ c= (cos 3 - 1,| b+ c| 2= (cos 3 1) 2+ sin 2 3 =2(1 - cos 3 ).- 1cos 3 1,-0 | b+c| 24,即 0w|b+c|w2.当 cos 3=-1 时，有 |b+c|=2,所以向量b+c的长度的最大值为2.法二：.=b| =1, |c| =1, | b+c| 1 b| +|c| =2,当 cos 3

10、= 1 时，有 b+c=( -2,0),即 | b + c| =2.所以向量b+c的长度的最大值为2.(2)法一：由已知可得b+c= (cos 31, sin 3),a - ( b+ c) = cos a cos 3 + sin s sin 3 cos a = cos( a 3 ) cos a . aX(b+ c), . a - ( b+ c) = 0,即 cos( a - 3 ) = cos a .r兀 /口/兀八、兀由 a =,得 cos( 3 ) = cos - ,rr兀一，兀，即 3 Z= 2k% (k Z),兀 I、3 = 2k% +万或 3 =2kTt ,kCZ,于cos 3 =

11、0 或 cos 3=1.法二:若a =-4，则a=（当又由 b= (cos 3 , sin 3 ), c= ( 1,0)得,2、a ( b+ c)=(亍，) (cos 3 -1, sin22+ 2 sin 3 - 2 .1.1 a( b+ c) , a - ( b+ c) = 0,即 cos 33)+ sin 3 = 1. .sin 3=1- cos 3 ,平方后化简得 cos 3 (cos 3 -1) = 0, 解得 cos 3 = 0 或 cos 3=1.经检验，cos 3 = 0或cos 3 = 1即为所求. 3A3A12.在 ABC中，角A, B, C所对的边分别为 a, b, c.已知 f (cos y, sin y) , n =(cos t sin 2),且满足 | m+ n| = 3.(1)求角A的大小；(2)若|AC + | AB =3|由，试判断 ABC勺形状.解：(1)由|m+ n| =/，得 n2+n2+2m n=3,3A A3AA即 1 +1 + 2(cos -2-cos2 + sin -2sin 2) = 3,A1cAA兀