高三数学第一轮复习讲义直线与平面平行

1、高三数学第一轮复习讲义直线与平面平行【高考要求】：1掌握空间直线和平面的位置关系；2,掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理，灵活运用线面平行的判定定理和性质定理实现“线线”“线面”平行的转化3,掌握空间两个平面的位置关系，掌握两个平面平行的定义；4掌握两个平面平行的判定定理及性质定理，灵活运用面面平行的判定定理和性质定理实现“线面”“面面”平行的转化【知识点归纳】鲁.直线和平面的位置关系(1)直线在平面内(无数个公共点)；符号表示为：a? 口，(2)直线和平面相交(有且只有一个公共点)；符号表示为：aP|a = A, (3)直线和平面平行(没有公共点)一一用两分法进行两次分类.符号表示为：a

2、 /a .2线面平行的判定定理：判定方法图形符号语后直 线 与 平 面 平 行定义：若一直线与一半囿 没有公共点，则直线与平 面平行。Zaan a =中=a / a_/若平囿外一直线与平囿内 一直线平行，则平面外这 直线平行于平面。a/ b/ab二 aa / b JQ a/ a若幽个平囿平行，则其中 一直线平行于另一平面。Z屋a /，/a /厂a-a_ 1a/ 3一平面外的两条平行线 中，若什-杀平行于半囿， 则另一条直线也平行于平 面。aba、b d a a/ b卜 b/ aa/ a J3.线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行， 经过这条直线的平面 和这个平面相交，那么这条直线和交

3、线平行.推理模式：l / 翼,1 ?：,二 Pl ： = m= l m .【基础训练】a、3表不平面，a、b表布直线，则a/ a的一个充分不必要条件是 A、 a，3 , a，3B、 a n 3 = b，且 a / b C a / b 且 b / a D、 TOC o 1-5 h z a ” 3 且 a u 3 ；()(2)已知直线a,b,c及平面a,具有下列哪个条件时,ab成立？答A. aa且bo(B.a_Lc且b_LcC. a,b与ot 成等角D.ac且 bc()(3)空间四边形 ABCD的两对角线 AC=4,BD=6,则平行于两对角线 的截面四边形的周长的取值范围是 HYPERLINK l

4、 bookmark4 o Current Document (4)四面体A BCD被平行于AB,CD的平面EFGH所截(如图9-9), 其中 AB = AD = BC = BD , AB = 2CD，则当四边形EFGH 面 积最大 时，AH : HC等于()A.1:1B.1:2C.2:1D.1:3(5)若a,b是两条异面直线，则存在唯一确定的平面 P ,满足()A. a/ P 且 b P B. a a p 且 b/ PC. a_LP且b_LP D. auP且b_LP那么这条直ABCDF口 ABEF(6).一条直线若同时平行于两个相交平面, 线与这两个平面的交线的位置关系是A异面B相交C平行D不

5、能确定【典型例题】【例1】如下图，两个全等的正方形MN所在平面相交于 AB, MC AC NC FB且AM=FN求证: /平面BCE【例2】如下图，正方体 ABCD-ABGD中， 侧面对角线 AB、BC上分别有两点 E、F,且BE=CF. 求证：EF/平面ABCD【例3】已知正四棱锥P- ABCD勺底面边长及侧棱长均为 13, M N分别是 PA BDk的点,且 PM： MABN： ND=5 ： 8.(1)求证：直线MM/平面PBC(2)求直线 MNW平面ABC所成白角.【例4】 如图，正方形 ABCD ABEF的边长者B是 互相垂直，点M在直线AC上移动，点N在BF上移动, 若 CM=BN=

6、a （0a 2 ）求证： MN/平面 CBE求MN勺长度当a为何值时，MN的长度最小：分析：证明直线与平面平行的基本方法是，在平面内找一条直线与平面外的已知直线平行1 ,而且平面ABCD ABEF【巩固练习】 TOC o 1-5 h z .a、b是两条异面直线，A是不在a、b上的点，则下列结论成立的是（）A.过A有且只有一个平面平行于a、b B.过A至少有一个平面平行于a、bC.过A有无数个平面平行于 a、b D.过A且平行a、b的平面可能不存在.设有平面a、3和直线m n,则m/ a的一个充分条件是（）A. 且 mLBB.a n 3 =n H mi nC.m/I n 且 n / aD. a

7、/ 3 且 m 3. （2004年北京，3）设m n是两条不同的直线，a、3、丫是三个不同的平面.给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（）若 斤|1，门”“，贝1斤|1 n 若 ”由3,3日丫，斤!”,则斤（1丫 若 m/ a , n / a ,贝U m/ n 若 a y , 3，丫，则00/3A.B.C.D.设D是线段BC上的点，BC/平面a ,从平面a外一定点A （A与BC分居 平面两侧）作ARAD AC分别交平面a于E、F、G三点，BC=a,AB=b,DF=c,则 EG.在四面体 ABCD, M N分别是面4 ACD BCD勺重心，则四面体的四个面中与MN行白是.如图9-11,四面体A

8、BCD被一平面所截，截 面EFGH是一个矩形.（1）求证：CD/平面 EFGH ;（2） 求异面直线AB和CD所成的角.E39-117.如下图，设a、b是异面直线，AB是a、b的公垂线，过 AB的中点O作 平面”与a、b分别平行，M N分别是a、b上的任意两点，Mg “交于点P, 求证：P是MN勺中点.8.如下图，四棱锥 P-ABCD勺底面是边长为 a的正方形， 侧棱PAL底面ABCPI面PBCft有BEL PC于E,且BE=6 a ,3试在AB上找一点F,使EF/平面PADPBD9.如下图，设P为长方形ABC所在平面外一点,为AB PD上的点，且 幽_=DN_,求证：直线 mN/MB NP平

9、面PBCM N分别P10.已知母 ABC勺直角顶点 C在平面a内，斜边 AB/ a BC分别和平面a成45和30角，则AB到平面a的距离为,AB=276 , ACa2BN=_12CMIMPMPQ睡平行四边形又 NQ2参考答案【基础训练】（1）（答：D）（答：线段BC）。）（答：D） （8） 解析：设 a n 3 =L a / a , a / 3 ,过直线a作与a、3都相交的平面丫 ,记 a n 丫 =b, 3 n 丫 =c,贝U a / b 且 a / c,b / c.又 bu “， a n 3=l , b/ l. .,.a/ l.答案：C例1.证法一：过 MPL BC NQL BE P、Q为

10、垂足（如上图），连结PQ MP/ AR NQ/ ARMP/ NQ22. MN/ PQ PQ= W BCE而MN!平面BCE.MN/平面 BCE证法二：过 MG BC交AB于点G （如下图），连结NG. MG BC BL 平面 BCEMG平面BCE.MG 平面 BCEp BG CM BN乂=,GA MA NF GM AF/ BE,同样可证明 GN平面BCE又面M8 NGG平面MNG平面BCE又MN=平面MNG. .MNZ平面BCE特别提不证明直线和平面的平行通常米用如下两种方法：利用直线和平面平行的 判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；利用两平面平行的性质 定理，通过“面面”平行，证得

11、“线面”平行 证法一：分别过 E、F作EML AB于点M, FNL BC于点N,连结 MN. BB，平面 ABCp. . BBAB BBXBCEM/ BB, FN/ BB. EM/ FN 又 BiE=GF, . . EM=FNl 故四边形MNFEi平行四边形.EF/ MN又 MNS平面 ABCDK . EF/平面 ABCD证法二：过E作EG/ AB交BB于点G连结GF则BiE =BiGB1AB1B. BE=CF,BiAfCB,C1F = B1GC1BB BFG/ BiG / BC又.E田 FG=G, ABH BOB,平面EFG/平面 ABCDW EF在平面EF$,EF/ 平面 ABCD评述：证

12、明线面平行的常用方法是：证明直线平行于平面内的一条直线； 证明直线所在的平面与已知平面平行.（1）证明：: P ABCD1正四棱锥，ABCD1正方形.连结AN并延长交BC于点E,连结PE AD/ BC EN： AN=BN： ND又. BN： ND=PM MAEN： AN=PM： MAMN/ PE又 PE在平面PBCrt,MM/平面PBC（2）解：由（1）知MIN/ PE，MN与平面ABC所成的角就是 PE与平面 ABC所成的角.设点P在底面 ABCDb的射影为 Q 连结 OE则/ PEC PE与平面 ABC而 成的角.13. 2由正棱锥的性质知 PG PB2 -OB2 =三.2由（1）知，BE

13、： AD=BN： ND=5 : 8,.BE=65.8,一65在 PEEI43, Z PBE=60 , PB=13, BE=65,8根据余弦定理，得 PE=91. 813291在 RtAPOE, PG132, PE=91 , 28.sin / PEPO- = 42.PE 7故M的平面ABC而成的角为arcsin 4-2 .7证明（1）:作MP/ AB交BC于P,作NQI AB交BE于Q,连结PQ 依题意易 证 CMP2 BNQ所以MP/ NQ从而 MNP0平行四边形，.MN/ PQ从而得MN/平面CBEBQ,2（2）由（1）知 MN=PQ=PB2 +BQ2 ,由 CM=BN=a,CB=AB=BE

14、=1 得 AC=BF=/2 , CP=a ,2 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark12 o Current Document MN=PQ=(a- 2)21 HYPERLINK l bookmark10 o Current Document 222 o 1(3)由(2)有：MN,(a 苴)2 +1一22所以，当a=1时，MN取最小值 （即M, N分别在 AC BF的中点时，MN的长度最小）另解：（1）建立空间直角坐标系如图，则 HYPERLINK l bookmark17 o Current Document 2222 c、M（ a,0,1 - a）, N（a,

15、a,0）, HYPERLINK l bookmark23 o Current Document 22222 、5 MN =（0,a,a -1）2又平面CBE的一个法向量n =（1,0,0）a -1)-0-4 222MN n =1 0 0 a 0 ( i22MN _n又点M正平面CBE,MN /平面CBE（2）由两点距离公式得| mN |= j（；a）2（；a-1）2 = , （a-；）2 10 二 a ：二.2）【巩固练习】.解析：过点A可作直线a /a, b / b,则 a n b =A.a、b可确定一个平面，记为 a .如果 a 辽 a, b 辽 a,则 a/ a , b / a .由于平

16、面a可能过直线a、b之一，因此，过 A且平行于a、b的平面可能 不存在.答案：D答案：D解析：显然正确.中m与n可能相交或异面.考虑长方体的顶点，“与 3可以相交.答案：A解析：解法类同于上题.答案:ab -ac解析：连结AM延长，交CDT E,连结B所延长交CD于F,由重心性质 可知，E、F重合为一点，且该点为 CD勺中点E,由型_ =叫=1得MNF ABMA NB 2因此，MN/平面 ABCM MM平面 ABD答案：平面ABC平面ABD分析 从已知条件中寻求平行关系，可望突破.解(1) 截面EFGH是一个矩形，:EF /GH .又GH u平面ACD , EF值平面ACD，,EF/平面ACD

17、 ,而 EF u 平面 BCD ,平面 BCD 口 平面 ACD =CD，二 EF /CD .C CD S 平面 EFGH ,故 CD/平面 EFGH .(2)由(1)知，EF /CD ,同理，EH /AB .截面EFGH是一个矩形，二EH _L EF ,从而异面直线 AB和CD所 成的角为90.证明：连结 AN,交平面”于点Q连结PQb/ a , b匚平面 ABN 平面 ABNT & =OQ.b/OQ又O为AB的中点,.Q为AN的中点.a/ a , a二平面AMN1平面AM沏a =PQ all PQ P为 MN勺中点.评述：本题重点考查直线与平面平行的性质.解：在面PCDHEGL PDTG连

18、结AG. PAL平面 ABCD CDL AD. CDL PD . CD/ EG又 AB/ CD EG/ AB若有EF/平面PAD贝U EF/ AG四边形AFE的平行四边形，得 EGAF CE: Ja2 -(a)2 =近 a , PBC 为直角三角形，333a -3 a .AB CD PC.3abC=CE- CP=： C3a,=史=走=3一=2.故得 AF： FB=2 ： 1 时，EF/平面 PAD分析：要证直线 MN/平面PBC只需证明 MNZ平面PBCft的一条直线或 MN 所在的某个平面/平面 PBC证法一：过N作NR/ DC交PC于点R,连结RB,依题意得DC NR= DN = AMNR NP MBAB - MB DC -MBMBMB= NMB-NR/ DC/ AB, .四边形 MNR嵬平行四边形. .MN/ RB又 R七平面PBC 直线 MN/平面PBC证法二：过N作NQ/ AD交PA于点Q连结QM